MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscld4 Unicode version

Theorem iscld4 17053
Description: A subset is closed iff it contains its own closure. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iscld4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  S ) )

Proof of Theorem iscld4
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21iscld3 17052 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J
) `  S )  =  S ) )
31sscls 17044 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
43biantrud 494 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S  <->  ( (
( cls `  J
) `  S )  C_  S  /\  S  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) )
5 eqss 3307 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  =  S  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  C_  S  /\  S  C_  (
( cls `  J
) `  S )
) )
64, 5syl6rbbr 256 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  =  S  <->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  S
) )
72, 6bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   U.cuni 3958   ` cfv 5395   Topctop 16882   Clsdccld 17004   clsccl 17006
This theorem is referenced by:  cncls2  17260  concompcld  17419  1stckgen  17508  metcld  19130  cmetss  19139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-top 16887  df-cld 17007  df-cls 17009
  Copyright terms: Public domain W3C validator