Theorem iscld4 7693

Description: A subset is closed iff it contains its own closure.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
iscld4	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. (Clsd` J) <-> ((cls` J)` S) (_ S))

Proof of Theorem iscld4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U.J
2	1	iscld3 7692	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. (Clsd` J) <-> ((cls` J)` S) = S))
3	1	sscls 7686	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S (_ ((cls` J)` S))
4	3	biantrud 728	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (((cls` J)` S) (_ S <-> (((cls` J)` S) (_ S /\ S (_ ((cls` J)` S))))
5		eqss 2080	. . 3 |- (((cls` J)` S) = S <-> (((cls` J)` S) (_ S /\ S (_ ((cls` J)` S)))
6	4, 5	syl6rbbr 541	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (((cls` J)` S) = S <-> ((cls` J)` S) (_ S))
7	2, 6	bitrd 530	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. (Clsd` J) <-> ((cls` J)` S) (_ S))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  Clsdccld 7657  clsccl 7659

This theorem is referenced by:  metcld 7964  cmsss 7994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-top 7594  df-cld 7660  df-cls 7662

Copyright terms: Public domain