MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscld4 Structured version   Unicode version

Theorem iscld4 17121
Description: A subset is closed iff it contains its own closure. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iscld4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  S ) )

Proof of Theorem iscld4
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21iscld3 17120 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J
) `  S )  =  S ) )
31sscls 17112 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
43biantrud 494 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S  <->  ( (
( cls `  J
) `  S )  C_  S  /\  S  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) )
5 eqss 3355 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  =  S  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  C_  S  /\  S  C_  (
( cls `  J
) `  S )
) )
64, 5syl6rbbr 256 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  =  S  <->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  S
) )
72, 6bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Topctop 16950   Clsdccld 17072   clsccl 17074
This theorem is referenced by:  cncls2  17329  concompcld  17489  1stckgen  17578  metcld  19250  cmetss  19259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-top 16955  df-cld 17075  df-cls 17077
  Copyright terms: Public domain W3C validator