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Theorem iscldtop 17161
Description: A family is the closed sets of a topology iff it is a Moore collection and closed under finite union. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscldtop  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, K, y

Proof of Theorem iscldtop
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fncld 17088 . . . . 5  |-  Clsd  Fn  Top
2 fnfun 5544 . . . . 5  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  Fun  Clsd )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  Clsd
4 fvelima 5780 . . . 4  |-  ( ( Fun  Clsd  /\  K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) ) )  ->  E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K )
53, 4mpan 653 . . 3  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  ->  E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K )
6 cldmreon 17160 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  a )  e.  (Moore `  B ) )
7 topontop 16993 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  a  e.  Top )
8 0cld 17104 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  a )
)
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  (/)  e.  (
Clsd `  a )
)
10 uncld 17107 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( Clsd `  a )  /\  y  e.  ( Clsd `  a
) )  ->  (
x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
) )
1110adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  (TopOn `  B )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  a )  /\  y  e.  ( Clsd `  a
) ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ( Clsd `  a ) )
1211ralrimivva 2800 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  A. x  e.  ( Clsd `  a
) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )
)
136, 9, 123jca 1135 . . . . 5  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( ( Clsd `  a )  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  ( Clsd `  a )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )
) )
14 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( (
Clsd `  a )  e.  (Moore `  B )  <->  K  e.  (Moore `  B
) ) )
15 eleq2 2499 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( (/)  e.  ( Clsd `  a
)  <->  (/)  e.  K ) )
16 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
)  <->  ( x  u.  y )  e.  K
) )
1716raleqbi1dv 2914 . . . . . . 7  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( A. y  e.  ( Clsd `  a ) ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
)  <->  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K ) )
1817raleqbi1dv 2914 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )  <->  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
1914, 15, 183anbi123d 1255 . . . . 5  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( ( ( Clsd `  a
)  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  (
Clsd `  a )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a ) ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) ) )
2013, 19syl5ibcom 213 . . . 4  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( ( Clsd `  a )  =  K  ->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) ) )
2120rexlimiv 2826 . . 3  |-  ( E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K  ->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
225, 21syl 16 . 2  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  -> 
( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K ) )
23 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  e.  (Moore `  B ) )
24 simp2 959 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  (/)  e.  K )
25 uneq1 3496 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x  u.  y )  =  ( b  u.  y ) )
2625eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  u.  y
)  e.  K  <->  ( b  u.  y )  e.  K
) )
27 uneq2 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (
b  u.  y )  =  ( b  u.  c ) )
2827eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  c  ->  (
( b  u.  y
)  e.  K  <->  ( b  u.  c )  e.  K
) )
2926, 28rspc2v 3060 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  K  /\  c  e.  K )  ->  ( A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y )  e.  K  ->  ( b  u.  c
)  e.  K ) )
3029com12 30 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K  ->  (
( b  e.  K  /\  c  e.  K
)  ->  ( b  u.  c )  e.  K
) )
31303ad2ant3 981 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( ( b  e.  K  /\  c  e.  K )  ->  (
b  u.  c )  e.  K ) )
32313impib 1152 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  /\  b  e.  K  /\  c  e.  K
)  ->  ( b  u.  c )  e.  K
)
33 eqid 2438 . . . . 5  |-  { a  e.  ~P B  | 
( B  \  a
)  e.  K }  =  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K }
3423, 24, 32, 33mretopd 17158 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( { a  e.  ~P B  | 
( B  \  a
)  e.  K }  e.  (TopOn `  B )  /\  K  =  ( Clsd `  { a  e. 
~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } ) ) )
3534simprd 451 . . 3  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  =  (
Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } ) )
3634simpld 447 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  { a  e. 
~P B  |  ( B  \  a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B ) )
377ssriv 3354 . . . . . 6  |-  (TopOn `  B )  C_  Top
38 fndm 5546 . . . . . . 7  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  dom  Clsd  =  Top )
391, 38ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  Clsd  =  Top
4037, 39sseqtr4i 3383 . . . . 5  |-  (TopOn `  B )  C_  dom  Clsd
41 funfvima2 5976 . . . . 5  |-  ( ( Fun  Clsd  /\  (TopOn `  B )  C_  dom  Clsd )  ->  ( {
a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) ) )
423, 40, 41mp2an 655 . . . 4  |-  ( { a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4336, 42syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( Clsd `  {
a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4435, 43eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4522, 44impbii 182 1  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   dom cdm 4880   "cima 4883   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  Moorecmre 13809   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   Clsdccld 17082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-fv 5464  df-mre 13813  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085
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