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Theorem iscldtop 16832
Description: A family is the closed sets of a topology iff it is a Moore collection and closed under finite union. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscldtop  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, K, y

Proof of Theorem iscldtop
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fncld 16759 . . . . 5  |-  Clsd  Fn  Top
2 fnfun 5341 . . . . 5  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  Fun  Clsd )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  Clsd
4 fvelima 5574 . . . 4  |-  ( ( Fun  Clsd  /\  K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) ) )  ->  E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K )
53, 4mpan 651 . . 3  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  ->  E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K )
6 cldmreon 16831 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  a )  e.  (Moore `  B ) )
7 topontop 16664 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  a  e.  Top )
8 0cld 16775 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  a )
)
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  (/)  e.  (
Clsd `  a )
)
10 uncld 16778 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( Clsd `  a )  /\  y  e.  ( Clsd `  a
) )  ->  (
x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
) )
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  (TopOn `  B )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  a )  /\  y  e.  ( Clsd `  a
) ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ( Clsd `  a ) )
1211ralrimivva 2635 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  A. x  e.  ( Clsd `  a
) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )
)
136, 9, 123jca 1132 . . . . 5  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( ( Clsd `  a )  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  ( Clsd `  a )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )
) )
14 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( (
Clsd `  a )  e.  (Moore `  B )  <->  K  e.  (Moore `  B
) ) )
15 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( (/)  e.  ( Clsd `  a
)  <->  (/)  e.  K ) )
16 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
)  <->  ( x  u.  y )  e.  K
) )
1716raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( A. y  e.  ( Clsd `  a ) ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
)  <->  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K ) )
1817raleqbi1dv 2744 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )  <->  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
1914, 15, 183anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( ( ( Clsd `  a
)  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  (
Clsd `  a )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a ) ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) ) )
2013, 19syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( ( Clsd `  a )  =  K  ->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) ) )
2120rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K  ->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
225, 21syl 15 . 2  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  -> 
( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K ) )
23 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  e.  (Moore `  B ) )
24 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  (/)  e.  K )
25 uneq1 3322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x  u.  y )  =  ( b  u.  y ) )
2625eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  u.  y
)  e.  K  <->  ( b  u.  y )  e.  K
) )
27 uneq2 3323 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (
b  u.  y )  =  ( b  u.  c ) )
2827eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  c  ->  (
( b  u.  y
)  e.  K  <->  ( b  u.  c )  e.  K
) )
2926, 28rspc2v 2890 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  K  /\  c  e.  K )  ->  ( A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y )  e.  K  ->  ( b  u.  c
)  e.  K ) )
3029com12 27 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K  ->  (
( b  e.  K  /\  c  e.  K
)  ->  ( b  u.  c )  e.  K
) )
31303ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( ( b  e.  K  /\  c  e.  K )  ->  (
b  u.  c )  e.  K ) )
32313impib 1149 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  /\  b  e.  K  /\  c  e.  K
)  ->  ( b  u.  c )  e.  K
)
33 eqid 2283 . . . . 5  |-  { a  e.  ~P B  | 
( B  \  a
)  e.  K }  =  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K }
3423, 24, 32, 33mretopd 16829 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( { a  e.  ~P B  | 
( B  \  a
)  e.  K }  e.  (TopOn `  B )  /\  K  =  ( Clsd `  { a  e. 
~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } ) ) )
3534simprd 449 . . 3  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  =  (
Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } ) )
3634simpld 445 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  { a  e. 
~P B  |  ( B  \  a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B ) )
377ssriv 3184 . . . . . 6  |-  (TopOn `  B )  C_  Top
38 fndm 5343 . . . . . . 7  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  dom  Clsd  =  Top )
391, 38ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  Clsd  =  Top
4037, 39sseqtr4i 3211 . . . . 5  |-  (TopOn `  B )  C_  dom  Clsd
41 funfvima2 5754 . . . . 5  |-  ( ( Fun  Clsd  /\  (TopOn `  B )  C_  dom  Clsd )  ->  ( {
a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) ) )
423, 40, 41mp2an 653 . . . 4  |-  ( { a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4336, 42syl 15 . . 3  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( Clsd `  {
a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4435, 43eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4522, 44impbii 180 1  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  Moorecmre 13484   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-mre 13488  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756
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