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Theorem isclo 16824
Description: A set  A is clopen iff for every point  x in the space there is a neighborhood  y such that all the points in  y are in  A iff  x is. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isclo.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isclo  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, J, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isclo
StepHypRef Expression
1 elin 3358 . 2  |-  ( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) ) )
2 isclo.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
32iscld2 16765 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( X  \  A )  e.  J ) )
43anbi2d 684 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  <->  ( A  e.  J  /\  ( X  \  A )  e.  J ) ) )
5 eltop2 16713 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
6 dfss3 3170 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  A  <->  A. z  e.  y  z  e.  A )
7 pm5.501 330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
87ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. z  e.  y 
z  e.  A  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
96, 8syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  C_  A  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
109anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  A
)  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
1110rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
1211ralbiia 2575 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
135, 12syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
14 eltop2 16713 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A ) ) ) )
15 dfss3 3170 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y  z  e.  ( X  \  A ) )
16 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  z  e.  y )
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  y  e.  J )
18 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  J )  ->  z  e.  U. J
)
1916, 17, 18syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  U. J )
2019, 2syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  X )
21 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( X  \  A )  <->  ( z  e.  X  /\  -.  z  e.  A ) )
2221baib 871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  X  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  -.  z  e.  A ) )
2320, 22syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  -.  z  e.  A ) )
24 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
25 nbn2 334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  ( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
2823, 27bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
2928ralbidva 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. z  e.  y  z  e.  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y 
( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
3015, 29syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( y  C_  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
3130anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3231rexbidva 2560 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X 
\  A ) )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
3332ralbiia 2575 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A
) )  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
3414, 33syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3513, 34anbi12d 691 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( A  e.  J  /\  ( X  \  A
)  e.  J )  <-> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) ) )
3635adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  ( X 
\  A )  e.  J )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) ) )
37 ralunb 3356 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  ( X  \  A
) ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
38 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
39 undif 3534 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  <->  ( A  u.  ( X  \  A
) )  =  X )
4038, 39sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  u.  ( X  \  A ) )  =  X )
4140raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A. x  e.  ( A  u.  ( X  \  A ) ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
4237, 41syl5bbr 250 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
434, 36, 423bitrd 270 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
441, 43syl5bb 248 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  isclo2  16825  cvmliftmolem2  23813  cvmlift2lem12  23845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-top 16636  df-cld 16756
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