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Theorem isclo 17143
Description: A set  A is clopen iff for every point  x in the space there is a neighborhood  y such that all the points in  y are in  A iff  x is. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isclo.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isclo  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, J, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isclo
StepHypRef Expression
1 elin 3522 . 2  |-  ( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) ) )
2 isclo.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
32iscld2 17084 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( X  \  A )  e.  J ) )
43anbi2d 685 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  <->  ( A  e.  J  /\  ( X  \  A )  e.  J ) ) )
5 eltop2 17032 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
6 dfss3 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  A  <->  A. z  e.  y  z  e.  A )
7 pm5.501 331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
87ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. z  e.  y 
z  e.  A  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
96, 8syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  C_  A  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
109anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  A
)  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
1110rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
1211ralbiia 2729 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
135, 12syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
14 eltop2 17032 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A ) ) ) )
15 dfss3 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y  z  e.  ( X  \  A ) )
16 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  z  e.  y )
17 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  y  e.  J )
18 elunii 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  J )  ->  z  e.  U. J
)
1916, 17, 18syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  U. J )
2019, 2syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  X )
21 eldif 3322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( X  \  A )  <->  ( z  e.  X  /\  -.  z  e.  A ) )
2221baib 872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  X  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  -.  z  e.  A ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  -.  z  e.  A ) )
24 eldifn 3462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
25 nbn2 335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  ( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
2823, 27bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
2928ralbidva 2713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. z  e.  y  z  e.  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y 
( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
3015, 29syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( y  C_  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
3130anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3231rexbidva 2714 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X 
\  A ) )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
3332ralbiia 2729 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A
) )  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
3414, 33syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3513, 34anbi12d 692 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( A  e.  J  /\  ( X  \  A
)  e.  J )  <-> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) ) )
3635adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  ( X 
\  A )  e.  J )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) ) )
37 ralunb 3520 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  ( X  \  A
) ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
38 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
39 undif 3700 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  <->  ( A  u.  ( X  \  A
) )  =  X )
4038, 39sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  u.  ( X  \  A ) )  =  X )
4140raleqdv 2902 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A. x  e.  ( A  u.  ( X  \  A ) ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
4237, 41syl5bbr 251 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
434, 36, 423bitrd 271 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
441, 43syl5bb 249 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Topctop 16950   Clsdccld 17072
This theorem is referenced by:  isclo2  17144  cvmliftmolem2  24961  cvmlift2lem12  24993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659  df-top 16955  df-cld 17075
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