MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isclo Unicode version

Theorem isclo 17074
Description: A set  A is clopen iff for every point  x in the space there is a neighborhood  y such that all the points in  y are in  A iff  x is. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isclo.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isclo  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, J, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isclo
StepHypRef Expression
1 elin 3473 . 2  |-  ( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) ) )
2 isclo.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
32iscld2 17015 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( X  \  A )  e.  J ) )
43anbi2d 685 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  <->  ( A  e.  J  /\  ( X  \  A )  e.  J ) ) )
5 eltop2 16963 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
6 dfss3 3281 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  A  <->  A. z  e.  y  z  e.  A )
7 pm5.501 331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
87ralbidv 2669 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. z  e.  y 
z  e.  A  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
96, 8syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  C_  A  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
109anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  A
)  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
1110rexbidv 2670 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
1211ralbiia 2681 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
135, 12syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
14 eltop2 16963 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A ) ) ) )
15 dfss3 3281 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y  z  e.  ( X  \  A ) )
16 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  z  e.  y )
17 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  y  e.  J )
18 elunii 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  J )  ->  z  e.  U. J
)
1916, 17, 18syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  U. J )
2019, 2syl6eleqr 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  X )
21 eldif 3273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( X  \  A )  <->  ( z  e.  X  /\  -.  z  e.  A ) )
2221baib 872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  X  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  -.  z  e.  A ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  -.  z  e.  A ) )
24 eldifn 3413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
25 nbn2 335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  ( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
2823, 27bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
2928ralbidva 2665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. z  e.  y  z  e.  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y 
( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
3015, 29syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( y  C_  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
3130anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3231rexbidva 2666 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X 
\  A ) )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
3332ralbiia 2681 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A
) )  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
3414, 33syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3513, 34anbi12d 692 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( A  e.  J  /\  ( X  \  A
)  e.  J )  <-> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) ) )
3635adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  ( X 
\  A )  e.  J )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) ) )
37 ralunb 3471 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  ( X  \  A
) ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
38 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
39 undif 3651 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  <->  ( A  u.  ( X  \  A
) )  =  X )
4038, 39sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  u.  ( X  \  A ) )  =  X )
4140raleqdv 2853 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A. x  e.  ( A  u.  ( X  \  A ) ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
4237, 41syl5bbr 251 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
434, 36, 423bitrd 271 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
441, 43syl5bb 249 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    \ cdif 3260    u. cun 3261    i^i cin 3262    C_ wss 3263   U.cuni 3957   ` cfv 5394   Topctop 16881   Clsdccld 17003
This theorem is referenced by:  isclo2  17075  cvmliftmolem2  24748  cvmlift2lem12  24780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-topgen 13594  df-top 16886  df-cld 17006
  Copyright terms: Public domain W3C validator