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Theorem isclo2 16841
Description: A set  A is clopen iff for every point  x in the space there is a neighborhood  y of  x which is either disjoint from  A or contained in  A. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isclo.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isclo2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, J, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isclo2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isclo.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21isclo 16840 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  A  <->  w  e.  A ) )
43bibi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) ) )
54cbvralv 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  A. w  e.  y  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) )
65anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  A. w  e.  y  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) ) )
7 pm4.24 624 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
8 raaanv 3575 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  <-> 
( A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
)  /\  A. w  e.  y  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) ) )
96, 7, 83bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) ) )
10 bibi1 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  <->  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  <->  w  e.  A )  <->  ( z  e.  A  <->  w  e.  A
) ) )
1110biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  ( z  e.  A  <->  w  e.  A
) )
1211biimpcd 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  ->  (
( ( x  e.  A  <->  z  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) )  ->  w  e.  A ) )
1312ralimdv 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. w  e.  y 
( ( x  e.  A  <->  z  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) )  ->  A. w  e.  y  w  e.  A ) )
1413com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  ( z  e.  A  ->  A. w  e.  y  w  e.  A ) )
15 dfss3 3183 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  <->  A. w  e.  y  w  e.  A )
1614, 15syl6ibr 218 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) )
1716ralimi 2631 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A )
)
189, 17sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) )
19 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  A  <->  x  e.  A ) )
2019imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  <->  ( x  e.  A  -> 
y  C_  A )
) )
2120rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  ( x  e.  A  ->  y  C_  A )
) )
22 dfss3 3183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  <->  A. z  e.  y  z  e.  A )
2322imbi2i 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  -> 
y  C_  A )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z  e.  y 
z  e.  A ) )
24 r19.21v 2643 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  -> 
z  e.  A )  <-> 
( x  e.  A  ->  A. z  e.  y  z  e.  A ) )
2523, 24bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  -> 
y  C_  A )  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  -> 
z  e.  A ) )
2621, 25syl6ib 217 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
27 ssel 3187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  A )
)
2827com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  C_  A  ->  x  e.  A ) )
2928imim2d 48 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  ->  (
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  ( z  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3029ralimdv 2635 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3126, 30jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  y  ( x  e.  A  ->  z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  (
z  e.  A  ->  x  e.  A )
) ) )
32 ralbiim 2693 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  -> 
z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3331, 32syl6ibr 218 . . . . . 6  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
3418, 33impbid2 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
3534pm5.32i 618 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
3635rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
3736ralbii 2580 . 2  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
382, 37syl6bb 252 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647   Clsdccld 16769
This theorem is referenced by:  conpcon  23781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-top 16652  df-cld 16772
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