MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isclo2 Unicode version

Theorem isclo2 16825
Description: A set  A is clopen iff for every point  x in the space there is a neighborhood  y of  x which is either disjoint from  A or contained in  A. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isclo.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isclo2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, J, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isclo2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isclo.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21isclo 16824 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  A  <->  w  e.  A ) )
43bibi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) ) )
54cbvralv 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  A. w  e.  y  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) )
65anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  A. w  e.  y  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) ) )
7 pm4.24 624 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
8 raaanv 3562 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  <-> 
( A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
)  /\  A. w  e.  y  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) ) )
96, 7, 83bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) ) )
10 bibi1 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  <->  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  <->  w  e.  A )  <->  ( z  e.  A  <->  w  e.  A
) ) )
1110biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  ( z  e.  A  <->  w  e.  A
) )
1211biimpcd 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  ->  (
( ( x  e.  A  <->  z  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) )  ->  w  e.  A ) )
1312ralimdv 2622 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. w  e.  y 
( ( x  e.  A  <->  z  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) )  ->  A. w  e.  y  w  e.  A ) )
1413com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  ( z  e.  A  ->  A. w  e.  y  w  e.  A ) )
15 dfss3 3170 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  <->  A. w  e.  y  w  e.  A )
1614, 15syl6ibr 218 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) )
1716ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A )
)
189, 17sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) )
19 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  A  <->  x  e.  A ) )
2019imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  <->  ( x  e.  A  -> 
y  C_  A )
) )
2120rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  ( x  e.  A  ->  y  C_  A )
) )
22 dfss3 3170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  <->  A. z  e.  y  z  e.  A )
2322imbi2i 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  -> 
y  C_  A )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z  e.  y 
z  e.  A ) )
24 r19.21v 2630 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  -> 
z  e.  A )  <-> 
( x  e.  A  ->  A. z  e.  y  z  e.  A ) )
2523, 24bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  -> 
y  C_  A )  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  -> 
z  e.  A ) )
2621, 25syl6ib 217 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
27 ssel 3174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  A )
)
2827com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  C_  A  ->  x  e.  A ) )
2928imim2d 48 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  ->  (
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  ( z  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3029ralimdv 2622 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3126, 30jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  y  ( x  e.  A  ->  z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  (
z  e.  A  ->  x  e.  A )
) ) )
32 ralbiim 2680 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  -> 
z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3331, 32syl6ibr 218 . . . . . 6  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
3418, 33impbid2 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
3534pm5.32i 618 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
3635rexbii 2568 . . 3  |-  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
3736ralbii 2567 . 2  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
382, 37syl6bb 252 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  conpcon  23766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-top 16636  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator