Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet Structured version   Unicode version

Theorem iscmet 19229
 Description: The property " is a complete metric." meaning all Cauchy filters converge to a point in the space. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet.1
Assertion
Ref Expression
iscmet CauFil
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem iscmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5750 . 2
2 elfvex 5750 . . 3
4 fveq2 5720 . . . . . 6
5 rabeq 2942 . . . . . 6 CauFil CauFil
64, 5syl 16 . . . . 5 CauFil CauFil
7 df-cmet 19202 . . . . 5 CauFil
8 fvex 5734 . . . . . 6
98rabex 4346 . . . . 5 CauFil
106, 7, 9fvmpt 5798 . . . 4 CauFil
1110eleq2d 2502 . . 3 CauFil
12 fveq2 5720 . . . . 5 CauFil CauFil
13 fveq2 5720 . . . . . . . 8
14 iscmet.1 . . . . . . . 8
1513, 14syl6eqr 2485 . . . . . . 7
1615oveq1d 6088 . . . . . 6
1716neeq1d 2611 . . . . 5
1812, 17raleqbidv 2908 . . . 4 CauFil CauFil
1918elrab 3084 . . 3 CauFil CauFil
2011, 19syl6bb 253 . 2 CauFil
211, 3, 20pm5.21nii 343 1 CauFil
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  crab 2701  cvv 2948  c0 3620  cfv 5446  (class class class)co 6073  cme 16679  cmopn 16683   cflim 17958  CauFilccfil 19197  cms 19199 This theorem is referenced by:  cmetcvg  19230  cmetmet  19231  iscmet3  19238  cmetss  19259  equivcmet  19260  relcmpcmet  19261  cmetcusp1OLD  19297  cmetcusp1  19298 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-cmet 19202
 Copyright terms: Public domain W3C validator