MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet2 Structured version   Unicode version

Theorem iscmet2 19249
Description: A metric  D is complete iff all Cauchy sequences converge to a point in the space. The proof uses countable choice. Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet2.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
iscmet2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  (
~~> t `  J ) ) )

Proof of Theorem iscmet2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 19241 . . 3  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 iscmet2.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
32cmetcau 19244 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
43ex 425 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J
) ) )
54ssrdv 3356 . . 3  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( Cau `  D )  C_  dom  (
~~> t `  J ) )
61, 5jca 520 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  (
~~> t `  J ) ) )
7 ssel2 3345 . . . . . 6  |-  ( ( ( Cau `  D
)  C_  dom  ( ~~> t `  J )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
87a1d 24 . . . . 5  |-  ( ( ( Cau `  D
)  C_  dom  ( ~~> t `  J )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  (
f : NN --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )
98ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ( Cau `  D ) 
C_  dom  ( ~~> t `  J )  ->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
109adantl 454 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
11 nnuz 10523 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10313 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  1  e.  ZZ )
14 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1511, 2, 13, 14iscmet3 19248 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
1610, 15mpbird 225 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
176, 16impbii 182 1  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  (
~~> t `  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   dom cdm 4880   -->wf 5452   ` cfv 5456   1c1 8993   NNcn 10002   ZZcz 10284   Metcme 16689   MetOpencmopn 16693   ~~> tclm 17292   Caucca 19208   CMetcms 19209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-ntr 17086  df-nei 17164  df-lm 17295  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-cfil 19210  df-cau 19211  df-cmet 19212
  Copyright terms: Public domain W3C validator