MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet2 Unicode version

Theorem iscmet2 18736
Description: A metric  D is complete iff all Cauchy sequences converge to a point in the space. The proof uses countable choice. Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet2.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
iscmet2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  (
~~> t `  J ) ) )

Proof of Theorem iscmet2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 18728 . . 3  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 iscmet2.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
32cmetcau 18731 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
43ex 423 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J
) ) )
54ssrdv 3198 . . 3  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( Cau `  D )  C_  dom  (
~~> t `  J ) )
61, 5jca 518 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  (
~~> t `  J ) ) )
7 ssel2 3188 . . . . . 6  |-  ( ( ( Cau `  D
)  C_  dom  ( ~~> t `  J )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
87a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( ( Cau `  D
)  C_  dom  ( ~~> t `  J )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  (
f : NN --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )
98ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( Cau `  D ) 
C_  dom  ( ~~> t `  J )  ->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
109adantl 452 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
11 nnuz 10279 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  1  e.  ZZ )
14 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
1511, 2, 13, 14iscmet3 18735 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
1610, 15mpbird 223 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  ( ~~> t `  J
) )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
176, 16impbii 180 1  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  ( Cau `  D )  C_  dom  (
~~> t `  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271   1c1 8754   NNcn 9762   ZZcz 10040   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388   ~~> tclm 16972   Caucca 18695   CMetcms 18696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-lm 16975  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699
  Copyright terms: Public domain W3C validator