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Theorem iscmet3 18735
Description: The property " D is a complete metric" expressed in terms of functions on  NN (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on 
NN, and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Assertion
Ref Expression
iscmet3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) ) )
Distinct variable groups:    D, f    f, X    f, J    f, Z    f, M    ph, f

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables  g 
i  j  k  n  s  t  u  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21cmetcau 18731 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
32a1d 22 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  (
f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )
43ralrimiva 2639 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
5 iscmet3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
7 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  g  e.  (CauFil `  D ) )
8 1rp 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
9 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
11 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
1210, 11mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
13 cfili 18710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
147, 12, 13syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
1514ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. k  e.  ZZ  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
16 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
17 znnen 12507 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  ~~  NN
18 nnenom 11058 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
1917, 18entri 6931 . . . . . . . 8  |-  ZZ  ~~  om
20 raleq 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( s `  k )  ->  ( A. v  e.  t 
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2120raleqbi1dv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( s `  k )  ->  ( A. u  e.  t  A. v  e.  t 
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2216, 19, 21axcc4 8081 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ZZ  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  ->  E. s
( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2315, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. s
( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2524ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2726uzenom 11043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )
28 endom 6904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z 
~~  om  ->  Z  ~<_  om )
2925, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  Z  ~<_  om )
30 dfin5 3173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )  =  {
x  e.  (  _I 
`  X )  |  x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) }
31 fzn0 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M ... k )  =/=  (/)  <->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3231biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
3332, 26eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  Z  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
34 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  s : ZZ --> g )
35 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( M ... k )  ->  n  e.  ZZ )
36 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s : ZZ --> g  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( s `  n
)  e.  g )
3734, 35, 36syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( s `  n )  e.  g )
38 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
395, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
41 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g )  -> 
g  e.  (CauFil `  D ) )
42 cfilfil 18709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  g  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  X ) )
4340, 41, 42syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
44 filelss 17563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  (
s `  n )  e.  g )  ->  (
s `  n )  C_  X )
4543, 44sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  ( s `  n )  e.  g )  ->  ( s `  n )  C_  X
)
4637, 45syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( s `  n )  C_  X
)
4746ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  C_  X )
48 r19.2z 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M ... k
)  =/=  (/)  /\  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  C_  X )  ->  E. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
4933, 47, 48syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
50 iinss 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) 
C_  X  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
526ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
53 elfvdm 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  dom  Met )
54 fvi 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  dom  Met  ->  (  _I  `  X )  =  X )
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  (  _I  `  X )  =  X )
5651, 55sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  (  _I  `  X ) )
57 dfss1 3386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  C_  (  _I  `  X )  <-> 
( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )  =  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
5856, 57sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) )  =  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) )
5930, 58syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  { x  e.  (  _I  `  X
)  |  x  e. 
|^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) }  =  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) )
6043adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
6137ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  e.  g )
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  g )
6333adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
64 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( M ... k )  e.  Fin )
65 iinfi 7187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n )  e.  g  /\  ( M ... k )  =/=  (/)  /\  ( M ... k )  e.  Fin ) )  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  ( fi `  g ) )
6660, 62, 63, 64, 65syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  ( fi `  g ) )
67 filfi 17570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( fi `  g )  =  g )
6860, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( fi `  g )  =  g )
6966, 68eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  g )
70 fileln0 17561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  e.  g )  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  =/=  (/) )
7160, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  =/=  (/) )
7259, 71eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  { x  e.  (  _I  `  X
)  |  x  e. 
|^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) }  =/=  (/) )
73 rabn0 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x  e.  (  _I 
`  X )  |  x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  (  _I 
`  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
7472, 73sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. x  e.  (  _I  `  X
) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )
7574ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
7675adantrrr 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
77 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I 
`  X )  e. 
_V
78 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  ( f `  k )  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) ) )
79 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
80 eliin 3926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  k )  e.  _V  ->  (
( f `  k
)  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  <->  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k
)  e.  ( s `
 n ) )
8278, 81syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )
8377, 82axcc4dom 8083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  ~<_  om  /\  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X
) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )  ->  E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )
8429, 76, 83syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )
85 df-ral 2561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)  <->  A. f ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
86 19.29 1586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. f ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  ->  E. f ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )
8785, 86sylanb 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  J ) )  /\  E. f
( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )  ->  E. f
( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )
8824ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
895ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
90 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f : Z --> (  _I  `  X ) )
9189, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  (  _I  `  X )  =  X )
92 feq3 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  _I  `  X )  =  X  ->  (
f : Z --> (  _I 
`  X )  <->  f : Z
--> X ) )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( f : Z --> (  _I  `  X )  <->  f : Z
--> X ) )
9490, 93mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f : Z --> X )
95 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
9695simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 k ) A. v  e.  ( s `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
97 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
s `  k )  =  ( s `  i ) )
98 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
i ) )
9998breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) ) )
10097, 99raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( A. v  e.  (
s `  k )
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. v  e.  ( s `  i
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ i ) ) )
10197, 100raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( A. u  e.  (
s `  k ) A. v  e.  (
s `  k )
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. u  e.  ( s `  i
) A. v  e.  ( s `  i
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ i ) ) )
102101cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  <->  A. i  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 i ) A. v  e.  ( s `  i ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) )
10396, 102sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. i  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 i ) A. v  e.  ( s `  i ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) )
104 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) )
105 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  (
s `  n )  =  ( s `  j ) )
106105eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
( f `  k
)  e.  ( s `
 n )  <->  ( f `  k )  e.  ( s `  j ) ) )
107106cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
)  <->  A. j  e.  ( M ... k ) ( f `  k
)  e.  ( s `
 j ) )
108 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  ( M ... k )  =  ( M ... i
) )
109 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
f `  k )  =  ( f `  i ) )
110109eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( f `  k
)  e.  ( s `
 j )  <->  ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
111108, 110raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( A. j  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  j )  <->  A. j  e.  ( M ... i
) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
112107, 111syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  n )  <->  A. j  e.  ( M ... i
) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
113112cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
)  <->  A. i  e.  Z  A. j  e.  ( M ... i ) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) )
114104, 113sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. i  e.  Z  A. j  e.  ( M ... i ) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) )
11589, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
116 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  g  e.  (CauFil `  D ) )
117115, 116, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
11895simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  s : ZZ --> g )
11926, 1, 88, 89, 94, 103, 114iscmet3lem1 18733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) )
120 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
121119, 94, 120mp2d 41 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  J ) )
12226, 1, 88, 89, 94, 103, 114, 117, 118, 121iscmet3lem2 18734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) )
123122ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
124123exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( E. f ( ( f  e.  ( Cau `  D )  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
12587, 124syl5 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )  /\  E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
126125expdimp 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  ->  ( E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
127126an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
12884, 127mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) )
129128expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
130129exlimdv 1626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( E. s ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
13123, 130mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) )
132131ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  A. g  e.  (CauFil `  D ) ( J 
fLim  g )  =/=  (/) )
1331iscmet 18726 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. g  e.  (CauFil `  D )
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
1346, 132, 133sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  (
CMet `  X )
)
135134ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X ) ) )
1364, 135impbid2 195 1  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   |^|_ciin 3922   class class class wbr 4039    _I cid 4320   omcom 4672   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879   ficfi 7180   1c1 8754    < clt 8883    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798   ^cexp 11120   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388   ~~> tclm 16972   Filcfil 17556    fLim cflim 17645  CauFilccfil 18694   Caucca 18695   CMetcms 18696
This theorem is referenced by:  iscmet2  18736  iscmet3i  18753  heibor1  26637  rrncms  26660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-lm 16975  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699
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