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Theorem iscmet3 19246
Description: The property " D is a complete metric" expressed in terms of functions on  NN (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on 
NN, and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Assertion
Ref Expression
iscmet3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) ) )
Distinct variable groups:    D, f    f, X    f, J    f, Z    f, M    ph, f

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables  g 
i  j  k  n  s  t  u  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21cmetcau 19242 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
32a1d 23 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  (
f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )
43ralrimiva 2789 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
5 iscmet3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
7 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  g  e.  (CauFil `  D ) )
8 1rp 10616 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
9 rphalfcl 10636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
11 rpexpcl 11400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
1210, 11mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
13 cfili 19221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
147, 12, 13syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
1514ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. k  e.  ZZ  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
16 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
17 znnen 12812 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  ~~  NN
18 nnenom 11319 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
1917, 18entri 7161 . . . . . . . 8  |-  ZZ  ~~  om
20 raleq 2904 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( s `  k )  ->  ( A. v  e.  t 
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2120raleqbi1dv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( s `  k )  ->  ( A. u  e.  t  A. v  e.  t 
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2216, 19, 21axcc4 8319 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ZZ  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  ->  E. s
( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2315, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. s
( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2726uzenom 11304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )
28 endom 7134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z 
~~  om  ->  Z  ~<_  om )
2925, 27, 283syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  Z  ~<_  om )
30 dfin5 3328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )  =  {
x  e.  (  _I 
`  X )  |  x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) }
31 fzn0 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M ... k )  =/=  (/)  <->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3231biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
3332, 26eleq2s 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  Z  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
34 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  s : ZZ --> g )
35 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( M ... k )  ->  n  e.  ZZ )
36 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s : ZZ --> g  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( s `  n
)  e.  g )
3734, 35, 36syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( s `  n )  e.  g )
38 metxmet 18364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
395, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
41 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g )  -> 
g  e.  (CauFil `  D ) )
42 cfilfil 19220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  g  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  X ) )
4340, 41, 42syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
44 filelss 17884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  (
s `  n )  e.  g )  ->  (
s `  n )  C_  X )
4543, 44sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  ( s `  n )  e.  g )  ->  ( s `  n )  C_  X
)
4637, 45syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( s `  n )  C_  X
)
4746ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  C_  X )
48 r19.2z 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M ... k
)  =/=  (/)  /\  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  C_  X )  ->  E. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
4933, 47, 48syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
50 iinss 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) 
C_  X  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
526ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
53 elfvdm 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  dom  Met )
54 fvi 5783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  dom  Met  ->  (  _I  `  X )  =  X )
5552, 53, 543syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  (  _I  `  X )  =  X )
5651, 55sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  (  _I  `  X ) )
57 dfss1 3545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  C_  (  _I  `  X )  <-> 
( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )  =  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
5856, 57sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) )  =  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) )
5930, 58syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  { x  e.  (  _I  `  X
)  |  x  e. 
|^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) }  =  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) )
6043adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
6137ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  e.  g )
6261adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  g )
6333adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
64 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( M ... k )  e.  Fin )
65 iinfi 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n )  e.  g  /\  ( M ... k )  =/=  (/)  /\  ( M ... k )  e.  Fin ) )  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  ( fi `  g ) )
6660, 62, 63, 64, 65syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  ( fi `  g ) )
67 filfi 17891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( fi `  g )  =  g )
6860, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( fi `  g )  =  g )
6966, 68eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  g )
70 fileln0 17882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  e.  g )  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  =/=  (/) )
7160, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  =/=  (/) )
7259, 71eqnetrd 2619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  { x  e.  (  _I  `  X
)  |  x  e. 
|^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) }  =/=  (/) )
73 rabn0 3647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x  e.  (  _I 
`  X )  |  x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  (  _I 
`  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
7472, 73sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. x  e.  (  _I  `  X
) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )
7574ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
7675adantrrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
77 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I 
`  X )  e. 
_V
78 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  ( f `  k )  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) ) )
79 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
80 eliin 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  k )  e.  _V  ->  (
( f `  k
)  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  <->  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k
)  e.  ( s `
 n ) )
8278, 81syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )
8377, 82axcc4dom 8321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  ~<_  om  /\  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X
) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )  ->  E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )
8429, 76, 83syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )
85 df-ral 2710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)  <->  A. f ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
86 19.29 1606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. f ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  ->  E. f ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )
8785, 86sylanb 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  J ) )  /\  E. f
( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )  ->  E. f
( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )
8824ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
895ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
90 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f : Z --> (  _I  `  X ) )
9189, 53, 543syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  (  _I  `  X )  =  X )
92 feq3 5578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  _I  `  X )  =  X  ->  (
f : Z --> (  _I 
`  X )  <->  f : Z
--> X ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( f : Z --> (  _I  `  X )  <->  f : Z
--> X ) )
9490, 93mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f : Z --> X )
95 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
9695simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 k ) A. v  e.  ( s `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
97 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
s `  k )  =  ( s `  i ) )
98 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
i ) )
9998breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) ) )
10097, 99raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( A. v  e.  (
s `  k )
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. v  e.  ( s `  i
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ i ) ) )
10197, 100raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( A. u  e.  (
s `  k ) A. v  e.  (
s `  k )
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. u  e.  ( s `  i
) A. v  e.  ( s `  i
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ i ) ) )
102101cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  <->  A. i  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 i ) A. v  e.  ( s `  i ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) )
10396, 102sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. i  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 i ) A. v  e.  ( s `  i ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) )
104 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) )
105 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  (
s `  n )  =  ( s `  j ) )
106105eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
( f `  k
)  e.  ( s `
 n )  <->  ( f `  k )  e.  ( s `  j ) ) )
107106cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
)  <->  A. j  e.  ( M ... k ) ( f `  k
)  e.  ( s `
 j ) )
108 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  ( M ... k )  =  ( M ... i
) )
109 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
f `  k )  =  ( f `  i ) )
110109eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( f `  k
)  e.  ( s `
 j )  <->  ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
111108, 110raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( A. j  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  j )  <->  A. j  e.  ( M ... i
) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
112107, 111syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  n )  <->  A. j  e.  ( M ... i
) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
113112cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
)  <->  A. i  e.  Z  A. j  e.  ( M ... i ) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) )
114104, 113sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. i  e.  Z  A. j  e.  ( M ... i ) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) )
11589, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
116 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  g  e.  (CauFil `  D ) )
117115, 116, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
11895simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  s : ZZ --> g )
11926, 1, 88, 89, 94, 103, 114iscmet3lem1 19244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) )
120 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
121119, 94, 120mp2d 43 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  J ) )
12226, 1, 88, 89, 94, 103, 114, 117, 118, 121iscmet3lem2 19245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) )
123122ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
124123exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( E. f ( ( f  e.  ( Cau `  D )  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
12587, 124syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )  /\  E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
126125expdimp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  ->  ( E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
127126an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
12884, 127mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) )
129128expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
130129exlimdv 1646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( E. s ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
13123, 130mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) )
132131ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  A. g  e.  (CauFil `  D ) ( J 
fLim  g )  =/=  (/) )
1331iscmet 19237 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. g  e.  (CauFil `  D )
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
1346, 132, 133sylanbrc 646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  (
CMet `  X )
)
135134ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X ) ) )
1364, 135impbid2 196 1  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   |^|_ciin 4094   class class class wbr 4212    _I cid 4493   omcom 4845   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107   Fincfn 7109   ficfi 7415   1c1 8991    < clt 9120    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043   ^cexp 11382   * Metcxmt 16686   Metcme 16687   MetOpencmopn 16691   ~~> tclm 17290   Filcfil 17877    fLim cflim 17966  CauFilccfil 19205   Caucca 19206   CMetcms 19207
This theorem is referenced by:  iscmet2  19247  iscmet3i  19264  heibor1  26519  rrncms  26542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-ntr 17084  df-nei 17162  df-lm 17293  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210
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