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Theorem iscmet3lem1 19244
Description: Lemma for iscmet3 19246. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
iscmet3.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
iscmet3.9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
iscmet3.10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    k, n, u, v, D    k, F, n, u, v    k, X, n    k, J, n    S, k, n, u, v   
k, Z, n    k, M, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    J( v, u)    M( v, u)    X( v, u)    Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem1
Dummy variables  j 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 iscmet3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32iscmet3lem3 19243 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  r )
41, 3sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  r )
52r19.2uz 12155 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  E. k  e.  Z  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  Z  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )
7 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
k  e.  Z )
87adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  Z
)
98, 2syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
10 eluzfz2 11065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ( M ... k ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... k ) )
12 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
1312ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
14 rsp 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `
 k )  e.  ( S `  n
)  ->  ( k  e.  Z  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) ) )
1513, 8, 14sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k
)  e.  ( S `
 n ) )
16 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( S `  n )  =  ( S `  k ) )
1716eleq2d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) ) )
1817rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... k )  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) ) )
1911, 15, 18sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) )
20 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )
21 elfzuzb 11053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... j )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
229, 20, 21sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... j ) )
232uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
j  e.  Z )
2423adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  j  e.  Z
)
25 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( M ... k )  =  ( M ... j
) )
26 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
2726eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
2825, 27raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... j
) ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
2928rspcv 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  A. n  e.  ( M ... j
) ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
3024, 13, 29sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. n  e.  ( M ... j ) ( F `  j
)  e.  ( S `
 n ) )
3116eleq2d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  j
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) ) )
3231rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( A. n  e.  ( M ... j ) ( F `  j )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  j )  e.  ( S `  k
) ) )
3322, 30, 32sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) )
34 iscmet3.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
3534ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
36 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
3736, 2eleq2s 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
3837ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
39 rsp 2766 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
4035, 38, 39sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. u  e.  ( S `  k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
41 oveq1 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 k ) D v ) )
4241breq1d 4222 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
43 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F `  j )  ->  (
( F `  k
) D v )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )
4443breq1d 4222 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  j )  ->  (
( ( F `  k ) D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
4542, 44rspc2va 3059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  k )  e.  ( S `  k )  /\  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) )  /\  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
4619, 33, 40, 45syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
47 iscmet3.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4847ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
49 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> X )
51 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
5250, 7, 51syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
53 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j
)  e.  X )
5450, 23, 53syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
55 metcl 18362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  e.  RR )
5648, 52, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR )
57 1rp 10616 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
58 rphalfcl 10636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
60 rpexpcl 11400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
6159, 38, 60sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  e.  RR+ )
6261rpred 10648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  e.  RR )
63 rpre 10618 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
6463ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  r  e.  RR )
65 lttr 9152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  /\  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  r ) )
6656, 62, 64, 65syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  <  r )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
6746, 66mpand 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
6867anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
6968ralrimdva 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  r  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
7069reximdva 2818 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  Z  (
( 1  /  2
) ^ k )  <  r  ->  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
716, 70mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r )
7271ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r )
73 metxmet 18364 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7447, 73syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
75 eqidd 2437 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
76 eqidd 2437 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
772, 74, 1, 75, 76, 49iscauf 19233 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
7872, 77mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   1c1 8991    < clt 9120    / cdiv 9677   2c2 10049   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043   ^cexp 11382   * Metcxmt 16686   Metcme 16687   MetOpencmopn 16691   Caucca 19206
This theorem is referenced by:  iscmet3  19246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-fz 11044  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-cau 19209
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