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Theorem iscmet3lem1 18770
Description: Lemma for iscmet3 18772. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
iscmet3.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
iscmet3.9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
iscmet3.10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    k, n, u, v, D    k, F, n, u, v    k, X, n    k, J, n    S, k, n, u, v   
k, Z, n    k, M, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    J( v, u)    M( v, u)    X( v, u)    Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem1
Dummy variables  j 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 iscmet3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32iscmet3lem3 18769 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  r )
41, 3sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  r )
52r19.2uz 11882 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  E. k  e.  Z  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  Z  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )
7 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
k  e.  Z )
87adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  Z
)
98, 2syl6eleq 2406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
10 eluzfz2 10851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ( M ... k ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... k ) )
12 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
14 rsp 2637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `
 k )  e.  ( S `  n
)  ->  ( k  e.  Z  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) ) )
1513, 8, 14sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k
)  e.  ( S `
 n ) )
16 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( S `  n )  =  ( S `  k ) )
1716eleq2d 2383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) ) )
1817rspcv 2914 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... k )  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) ) )
1911, 15, 18sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) )
20 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )
21 elfzuzb 10839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... j )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
229, 20, 21sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... j ) )
232uztrn2 10292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
j  e.  Z )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  j  e.  Z
)
25 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( M ... k )  =  ( M ... j
) )
26 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
2726eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
2825, 27raleqbidv 2782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... j
) ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
2928rspcv 2914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  A. n  e.  ( M ... j
) ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
3024, 13, 29sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. n  e.  ( M ... j ) ( F `  j
)  e.  ( S `
 n ) )
3116eleq2d 2383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  j
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) ) )
3231rspcv 2914 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( A. n  e.  ( M ... j ) ( F `  j )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  j )  e.  ( S `  k
) ) )
3322, 30, 32sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) )
34 iscmet3.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
3534ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
36 eluzelz 10285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
3736, 2eleq2s 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
39 rsp 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
4035, 38, 39sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. u  e.  ( S `  k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
41 oveq1 5907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 k ) D v ) )
4241breq1d 4070 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
43 oveq2 5908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F `  j )  ->  (
( F `  k
) D v )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )
4443breq1d 4070 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  j )  ->  (
( ( F `  k ) D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
4542, 44rspc2va 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  k )  e.  ( S `  k )  /\  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) )  /\  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
4619, 33, 40, 45syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
47 iscmet3.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4847ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
49 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> X )
51 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
5250, 7, 51syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
53 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j
)  e.  X )
5450, 23, 53syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
55 metcl 17949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  e.  RR )
5648, 52, 54, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR )
57 1rp 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
58 rphalfcl 10425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
60 rpexpcl 11169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
6159, 38, 60sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  e.  RR+ )
6261rpred 10437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  e.  RR )
63 rpre 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
6463ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  r  e.  RR )
65 lttr 8944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  /\  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  r ) )
6656, 62, 64, 65syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  <  r )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
6746, 66mpand 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
6867anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
6968ralrimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  r  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
7069reximdva 2689 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  Z  (
( 1  /  2
) ^ k )  <  r  ->  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
716, 70mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r )
7271ralrimiva 2660 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r )
73 metxmet 17951 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7447, 73syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
75 eqidd 2317 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
76 eqidd 2317 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
772, 74, 1, 75, 76, 49iscauf 18759 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
7872, 77mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   class class class wbr 4060   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   1c1 8783    < clt 8912    / cdiv 9468   2c2 9840   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   RR+crp 10401   ...cfz 10829   ^cexp 11151   * Metcxmt 16418   Metcme 16419   MetOpencmopn 16423   Caucca 18732
This theorem is referenced by:  iscmet3  18772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-fz 10830  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-cau 18735
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