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Theorem iscmet3lem1 18717
Description: Lemma for iscmet3 18719. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
iscmet3.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
iscmet3.9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
iscmet3.10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    k, n, u, v, D    k, F, n, u, v    k, X, n    k, J, n    S, k, n, u, v   
k, Z, n    k, M, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    J( v, u)    M( v, u)    X( v, u)    Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem1
Dummy variables  j 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 iscmet3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32iscmet3lem3 18716 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  r )
41, 3sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  r )
52r19.2uz 11835 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  E. k  e.  Z  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  Z  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )
7 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
k  e.  Z )
87adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  Z
)
98, 2syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
10 eluzfz2 10804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ( M ... k ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... k ) )
12 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
14 rsp 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `
 k )  e.  ( S `  n
)  ->  ( k  e.  Z  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) ) )
1513, 8, 14sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k
)  e.  ( S `
 n ) )
16 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( S `  n )  =  ( S `  k ) )
1716eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) ) )
1817rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... k )  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) ) )
1911, 15, 18sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) )
20 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )
21 elfzuzb 10792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... j )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
229, 20, 21sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... j ) )
232uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
j  e.  Z )
2423adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  j  e.  Z
)
25 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( M ... k )  =  ( M ... j
) )
26 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
2726eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
2825, 27raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... j
) ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
2928rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  A. n  e.  ( M ... j
) ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
3024, 13, 29sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. n  e.  ( M ... j ) ( F `  j
)  e.  ( S `
 n ) )
3116eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  j
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) ) )
3231rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( A. n  e.  ( M ... j ) ( F `  j )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  j )  e.  ( S `  k
) ) )
3322, 30, 32sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) )
34 iscmet3.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
3534ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
36 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
3736, 2eleq2s 2375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
39 rsp 2603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
4035, 38, 39sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. u  e.  ( S `  k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
41 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 k ) D v ) )
4241breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
43 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F `  j )  ->  (
( F `  k
) D v )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )
4443breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  j )  ->  (
( ( F `  k ) D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
4542, 44rspc2va 2891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  k )  e.  ( S `  k )  /\  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) )  /\  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
4619, 33, 40, 45syl21anc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
47 iscmet3.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4847ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
49 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> X )
51 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
5250, 7, 51syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
53 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j
)  e.  X )
5450, 23, 53syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
55 metcl 17897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  e.  RR )
5648, 52, 54, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR )
57 1rp 10358 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
58 rphalfcl 10378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
60 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
6159, 38, 60sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  e.  RR+ )
6261rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  e.  RR )
63 rpre 10360 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
6463ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  r  e.  RR )
65 lttr 8899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  /\  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  r ) )
6656, 62, 64, 65syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  <  r )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
6746, 66mpand 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
6867anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
6968ralrimdva 2633 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  r  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
7069reximdva 2655 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  Z  (
( 1  /  2
) ^ k )  <  r  ->  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
716, 70mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r )
7271ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r )
73 metxmet 17899 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7447, 73syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
75 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
76 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
772, 74, 1, 75, 76, 49iscauf 18706 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
7872, 77mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    < clt 8867    / cdiv 9423   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782   ^cexp 11104   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   Caucca 18679
This theorem is referenced by:  iscmet3  18719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-fz 10783  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-cau 18682
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