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Theorem iscmet3lem2 18734
Description: Lemma for iscmet3 18735. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
iscmet3.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
iscmet3.9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
iscmet3.10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
iscmet3.7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
iscmet3.8  |-  ( ph  ->  S : ZZ --> G )
iscmet3.5  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem2  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  G
)  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    k, n, u, v, D    k, G    k, F, n, u, v   
k, X, n    k, J, n    S, k, n, u, v    k, Z, n    k, M, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    G( v, u, n)    J( v, u)    M( v, u)    X( v, u)    Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem2
Dummy variables  j 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
2 eldmg 4890 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ( ~~> t `  J )  ->  ( F  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  E. x  F ( ~~> t `  J ) x ) )
32ibi 232 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ( ~~> t `  J )  ->  E. x  F ( ~~> t `  J ) x )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  F ( ~~> t `  J ) x )
5 iscmet3.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
6 metxmet 17915 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
75, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
8 iscmet3.2 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
98mopntopon 18001 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
107, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
11 lmcl 17041 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  X )
1210, 11sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  X )
137adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
148mopni2 18055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
15143expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J
)  ->  ( x  e.  y  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
) )
1613, 15sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  ( x  e.  y  ->  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )
17 iscmet3.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
1817ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
19 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2019ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
21 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
2221adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR+ )
23 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2423iscmet3lem3 18732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 ) )
2520, 22, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 ) )
2613adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2712adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  X )
28 blcntr 17980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
2926, 27, 22, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
30 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> t `  J ) x )
3122rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR* )
328blopn 18062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
3326, 27, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
3423, 29, 20, 30, 33lmcvg 17008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
3523rexanuz2 11849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
3623r19.2uz 11851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  Z  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
3717ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
38 iscmet3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S : ZZ --> G )
3938ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  ->  S : ZZ --> G )
40 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
4140, 23eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
4241ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
k  e.  ZZ )
43 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S : ZZ --> G  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S `  k
)  e.  G )
4439, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( S `  k
)  e.  G )
45 rpxr 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR* )
47 blssm 17984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4826, 27, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
5041adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  k  e.  ZZ )
51 1rp 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  1  e.  RR+
52 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
54 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
5553, 54mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
5650, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e.  RR+ )
5756rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
5822adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
60 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
( r  /  2
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  <_ 
( r  /  2
) ) )
6157, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 ) ) )
62 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ph )
63 eluzfz2 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ( M ... k ) )
6463, 23eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( M ... k
) )
6564adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( M ... k
) )
66 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
6766r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
68 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( n  =  k  ->  ( S `  n )  =  ( S `  k ) )
6968eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) ) )
7069rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ( M ... k )  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) ) )
7165, 67, 70sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
7271adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
73 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  y  e.  ( S `  k
) )
74 iscmet3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
7574ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
7641ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  k  e.  ZZ )
77 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
7875, 76, 77sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
79 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 k ) D v ) )
8079breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
81 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( v  =  y  ->  (
( F `  k
) D v )  =  ( ( F `
 k ) D y ) )
8281breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( F `  k ) D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
8380, 82rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( F `  k )  e.  ( S `  k )  /\  y  e.  ( S `  k ) )  /\  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
8472, 73, 78, 83syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  (
( F `  k
) D y )  <  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
857ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8641, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
8786rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR* )
8887ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR* )
89 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
90 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F : Z --> X  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
9189, 90sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  X )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
9317adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  G  e.  ( Fil `  X
) )
9438, 41, 43syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( S `  k )  e.  G )
95 filelss 17563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  ( S `  k )  e.  G )  ->  ( S `  k )  C_  X )
9693, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( S `  k )  C_  X )
9796sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  y  e.  X )
98 elbl2 17966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e. 
RR* )  /\  (
( F `  k
)  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  <-> 
( ( F `  k ) D y )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
9985, 88, 92, 97, 98syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  (
y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  <->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
10084, 99mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
101100ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
y  e.  ( S `
 k )  -> 
y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) ) ) )
102101ssrdv 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( S `  k )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
10362, 102sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( S `  k )  C_  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) ) )
10426adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
10589ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z --> X )
106105, 90sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  e.  X
)
10756rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e. 
RR* )
10831adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
109 ssbl 17987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR*  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) 
C_  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
1101093expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR*  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* ) )  -> 
( ( ( 1  /  2 ) ^
k )  <_  (
r  /  2 )  ->  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  C_  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
111104, 106, 107, 108, 110syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 )  ->  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
112 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S `  k
)  C_  ( ( F `  k )
( ball `  D )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  /\  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( S `  k )  C_  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
113103, 111, 112ee12an 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 )  ->  ( S `  k )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
11461, 113syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  ->  ( S `  k )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
115114adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  -> 
( S `  k
)  C_  ( ( F `  k )
( ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )
116115impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( S `  k
)  C_  ( ( F `  k )
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
11727adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  x  e.  X )
118 blcom 17968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( r  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  X  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
119104, 108, 117, 106, 118syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
120 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
121120ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  r  e.  RR )
122 blhalf 17976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( r  e.  RR  /\  x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )  ->  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) )
123122expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  r  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) )  ->  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) )
124104, 106, 121, 123syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
125119, 124sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
126125adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) )
127126impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
128116, 127sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( S `  k
)  C_  ( x
( ball `  D )
r ) )
129 filss 17564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( S `  k
)  e.  G  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X  /\  ( S `  k )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) r )  e.  G )
13037, 44, 49, 128, 129syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G )
131130expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G ) )
132131rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. k  e.  Z  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
( r  /  2
)  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  G
) )
13336, 132syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( 1  /  2 ) ^
k )  <  (
r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  G
) )
13435, 133syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
r )  e.  G
) )
13525, 34, 134mp2and 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G )
136135ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G )
13710adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
138 toponss 16683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
139137, 138sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
140139adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  C_  X )
141 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y )
142 filss 17564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  G  /\  y  C_  X  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  G )
14318, 136, 140, 141, 142syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  G )
144143expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
x ( ball `  D
) r )  C_  y  ->  y  e.  G
) )
145144rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y  ->  y  e.  G ) )
14616, 145syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  ( x  e.  y  ->  y  e.  G
) )
147146ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  G ) )
148 flimopn 17686 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  G )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  G ) ) ) )
14910, 17, 148syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( J  fLim  G )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  -> 
y  e.  G ) ) ) )
150149adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  G )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  G ) ) ) )
15112, 147, 150mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  ( J  fLim  G
) )
152 ne0i 3474 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( J  fLim  G )  ->  ( J  fLim  G )  =/=  (/) )
153151, 152syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  ( J  fLim  G )  =/=  (/) )
154153ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) x  -> 
( J  fLim  G
)  =/=  (/) ) )
155154exlimdv 1626 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  F ( ~~> t `  J
) x  ->  ( J  fLim  G )  =/=  (/) ) )
1564, 155mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  G
)  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   1c1 8754   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798   ^cexp 11120   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388  TopOnctopon 16648   ~~> tclm 16972   Filcfil 17556    fLim cflim 17645
This theorem is referenced by:  iscmet3  18735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-lm 16975  df-fbas 17536  df-fil 17557  df-flim 17650
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