Theorem iscn 7755

Description: The predicate "F is a continuous function from topology J to topology K." Definition of continuous function in [Munkres] p. 102.

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U.J
iscn.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
iscn	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))

Distinct variable groups:   y,F   y,J   y,K   y,X   y,Y

Proof of Theorem iscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn.1	. . . 4 |- X = U.J
2		iscn.2	. . . 4 |- Y = U.K
3	1, 2	cnfval 7753	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J Cn K) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})
4	3	eleq2d 1544	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J}))
5		elmapg 4339	. . . . . 6 |- ((Y e. V /\ X e. V) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
6		uniexg 2877	. . . . . . 7 |- (K e. Top -> U.K e. V)
7	6, 2	syl5eqel 1555	. . . . . 6 |- (K e. Top -> Y e. V)
8		uniexg 2877	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> U.J e. V)
9	8, 1	syl5eqel 1555	. . . . . 6 |- (J e. Top -> X e. V)
10	5, 7, 9	syl2an 456	. . . . 5 |- ((K e. Top /\ J e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
11	10	ancoms 438	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
12	11	anbi1d 619	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K (`'F"y) e. J) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
13		cnveq 3298	. . . . . . 7 |- (f = F -> `'f = `'F)
14	13	imaeq1d 3409	. . . . . 6 |- (f = F -> (`'f"y) = (`'F"y))
15	14	eleq1d 1543	. . . . 5 |- (f = F -> ((`'f"y) e. J <-> (`'F"y) e. J))
16	15	ralbidv 1666	. . . 4 |- (f = F -> (A.y e. K (`'f"y) e. J <-> A.y e. K (`'F"y) e. J))
17	16	elrab 1908	. . 3 |- (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J} <-> (F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K (`'F"y) e. J))
18	12, 17	syl5bb 534	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J} <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
19	4, 18	bitrd 530	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  {crab 1651  Vcvv 1814  U.cuni 2507  `'ccnv 3175  "cima 3179  -->wf 3184  (class class class)co 3969   ^m cm 4328  Topctop 7590   Cn ccn 7749

This theorem is referenced by:  cnf 7759  idcn 7763  cnima 7764  cnco 7765  iscncl 7767  cnsscnp 7769  cncnp 7775  cnconst 7777  cnrsfin 10495  cnrscoa 10496  mapdiscn 10497  mapudiscn 10498  hmeobc 10528

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-map 4330  df-cn 7751

Copyright terms: Public domain