Theorem iscnp 7757

Description: The predicate "F is a continuous function from topology J to topology K at point P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U.J
iscn.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
iscnp	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))

Distinct variable groups:   x,y,F   x,J,y   y,K   x,P,y   y,X   y,Y

Proof of Theorem iscnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn.1	. . . 4 |- X = U.J
2		iscn.2	. . . 4 |- Y = U.K
3	1, 2	cnpval 7756	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> ((J CnP K)` P) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))})
4	3	eleq2d 1544	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))}))
5		elmapg 4339	. . . . . . 7 |- ((Y e. V /\ X e. V) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
6		uniexg 2877	. . . . . . . 8 |- (K e. Top -> U.K e. V)
7	6, 2	syl5eqel 1555	. . . . . . 7 |- (K e. Top -> Y e. V)
8		uniexg 2877	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> U.J e. V)
9	8, 1	syl5eqel 1555	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> X e. V)
10	5, 7, 9	syl2an 456	. . . . . 6 |- ((K e. Top /\ J e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
11	10	ancoms 438	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
12	11	anbi1d 619	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
13		fveq1 3729	. . . . . . . 8 |- (f = F -> (f` P) = (F` P))
14	13	eleq1d 1543	. . . . . . 7 |- (f = F -> ((f` P) e. y <-> (F` P) e. y))
15		imaeq1 3407	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> (f"x) = (F"x))
16	15	sseq1d 2091	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> ((f"x) (_ y <-> (F"x) (_ y))
17	16	anbi2d 618	. . . . . . . 8 |- (f = F -> ((P e. x /\ (f"x) (_ y) <-> (P e. x /\ (F"x) (_ y)))
18	17	rexbidv 1667	. . . . . . 7 |- (f = F -> (E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y) <-> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))
19	14, 18	imbi12d 628	. . . . . 6 |- (f = F -> (((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y)) <-> ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))))
20	19	ralbidv 1666	. . . . 5 |- (f = F -> (A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y)) <-> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))))
21	20	elrab 1908	. . . 4 |- (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))} <-> (F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))))
22	12, 21	syl5bb 534	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))} <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
23	22	3adant3 801	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) (_ y))} <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
24	4, 23	bitrd 530	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  {crab 1651  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507  "cima 3179  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969   ^m cm 4328  Topctop 7590   CnP ccnp 7750

This theorem is referenced by:  iscnp2 7758  cnpf 7760  cnpimaex 7762  cnpco 7766  cnsscnp 7769  cncnp 7775  metcnp 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-map 4330  df-cnp 7752

Copyright terms: Public domain