Theorem iscnp2 7758

Description: The predicate "F is a continuous function from topology J to topology K at point P."

Hypotheses

Ref	Expression
iscnp2.1	|- X = U.J
iscnp2.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
iscnp2	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))))

Distinct variable groups:   x,y,F   x,J,y   x,K,y   x,X,y   x,Y,y   x,P,y

Proof of Theorem iscnp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnp2.1	. . 3 |- X = U.J
2		iscnp2.2	. . 3 |- Y = U.K
3	1, 2	iscnp 7757	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)))))
4		funimass3 3812	. . . . . . . . 9 |- ((Fun F /\ x (_ dom F) -> ((F"x) (_ y <-> x (_ (`'F"y)))
5		ffun 3635	. . . . . . . . . 10 |- (F:X-->Y -> Fun F)
6	5	ad2antlr 407	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> Fun F)
7	1	eltopss 7604	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ x e. J) -> x (_ X)
8	7	adantlr 395	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> x (_ X)
9		fdm 3637	. . . . . . . . . . 11 |- (F:X-->Y -> dom F = X)
10	9	ad2antlr 407	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> dom F = X)
11	8, 10	sseqtr4d 2101	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> x (_ dom F)
12	4, 6, 11	sylanc 473	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> ((F"x) (_ y <-> x (_ (`'F"y)))
13	12	anbi2d 618	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. J) -> ((P e. x /\ (F"x) (_ y) <-> (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))
14	13	rexbidva 1663	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y) <-> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))
15	14	imbi2d 614	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)) <-> ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y)))))
16	15	ralbidv 1666	. . . 4 |- ((J e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y)) <-> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y)))))
17	16	pm5.32da 651	. . 3 |- (J e. Top -> ((F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))))
18	17	3ad2ant1 802	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> ((F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) (_ y))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))))
19	3, 18	bitrd 530	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ x (_ (`'F"y))))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050  U.cuni 2507  `'ccnv 3175  dom cdm 3176  "cima 3179  Fun wfun 3182  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Topctop 7590   CnP ccnp 7750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-map 4330  df-cnp 7752

Copyright terms: Public domain