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Theorem iscnp4 17332
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K at point  P." in terms of neighborhoods. (Contributed by FL, 18-Jul-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscnp4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    x, P, y   
x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem iscnp4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 17319 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
213expa 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
323adantl3 1116 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F : X
--> Y )
4 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
5 simpll2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
6 topontop 16996 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  K  e.  Top )
8 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
98neii1 17175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  y  C_  U. K )
107, 9sylancom 650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
y  C_  U. K )
118ntropn 17118 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K )  ->  ( ( int `  K ) `  y
)  e.  K )
127, 10, 11syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( ( int `  K
) `  y )  e.  K )
13 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } ) )
143adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  F : X --> Y )
15 simpll3 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  P  e.  X )
1614, 15ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
17 toponuni 16997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
185, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  Y  =  U. K )
1916, 18eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( F `  P
)  e.  U. K
)
2019snssd 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  { ( F `  P ) }  C_  U. K )
218neiint 17173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  { ( F `  P
) }  C_  U. K  /\  y  C_  U. K
)  ->  ( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } )  <->  { ( F `  P ) }  C_  ( ( int `  K ) `  y
) ) )
227, 20, 10, 21syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } )  <->  { ( F `  P ) }  C_  ( ( int `  K ) `  y
) ) )
2313, 22mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  { ( F `  P ) }  C_  ( ( int `  K
) `  y )
)
24 fvex 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 P )  e. 
_V
2524snss 3928 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  P )  e.  ( ( int `  K ) `  y
)  <->  { ( F `  P ) }  C_  ( ( int `  K
) `  y )
)
2623, 25sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( F `  P
)  e.  ( ( int `  K ) `
 y ) )
27 cnpimaex 17325 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  ( ( int `  K
) `  y )  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  ( ( int `  K
) `  y )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  ( ( int `  K
) `  y )
) )
284, 12, 26, 27syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) )
29 simpl1 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3029ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
31 topontop 16996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
33 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  x  e.  J )
34 simprrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  P  e.  x )
35 opnneip 17188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  P  e.  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) )
37 simprrr 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  ( F " x )  C_  (
( int `  K
) `  y )
)
388ntrss2 17126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K )  ->  ( ( int `  K ) `  y
)  C_  y )
397, 10, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( ( int `  K
) `  y )  C_  y )
4039adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  ( ( int `  K ) `  y )  C_  y
)
4137, 40sstrd 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  ( F " x )  C_  y
)
4236, 41jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  ( ( int `  K ) `  y ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )
4342ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( ( x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  ( ( int `  K
) `  y )
) )  ->  (
x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { P }
)  /\  ( F " x )  C_  y
) ) )
4443reximdv2 2817 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  -> 
( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  ( ( int `  K
) `  y )
)  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y ) )
4528, 44mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  /\  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )
4645ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )
473, 46jca 520 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y ) )
4847ex 425 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y ) ) )
49 simpll2 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
5049, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  K  e.  Top )
51 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  y  e.  K )
52 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  ( F `  P )  e.  y )
53 opnneip 17188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  e.  K  /\  ( F `  P )  e.  y )  -> 
y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } ) )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) )
55 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5655ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
5756, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  J  e.  Top )
58 simprl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )
59 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
6059neii1 17175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) )  ->  x  C_  U. J
)
6157, 58, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  x  C_  U. J )
6259ntropn 17118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  x
)  e.  J )
6357, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( ( int `  J
) `  x )  e.  J )
64 simpll3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  P  e.  X )
6564adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  P  e.  X )
66 toponuni 16997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
6756, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  X  =  U. J )
6865, 67eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  P  e.  U. J )
6968snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  { P }  C_  U. J
)
7059neiint 17173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  U. J  /\  x  C_  U. J
)  ->  ( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  x
) ) )
7157, 69, 61, 70syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } )  <->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  x
) ) )
7258, 71mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  { P }  C_  (
( int `  J
) `  x )
)
73 snssg 3934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  X  ->  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  x )  <->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  x
) ) )
7465, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( P  e.  ( ( int `  J
) `  x )  <->  { P }  C_  (
( int `  J
) `  x )
) )
7572, 74mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  P  e.  ( ( int `  J ) `  x ) )
7659ntrss2 17126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  x
)  C_  x )
7757, 61, 76syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( ( int `  J
) `  x )  C_  x )
78 imass2 5243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( int `  J
) `  x )  C_  x  ->  ( F " ( ( int `  J
) `  x )
)  C_  ( F " x ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( F " (
( int `  J
) `  x )
)  C_  ( F " x ) )
80 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( F " x
)  C_  y )
8179, 80sstrd 3360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  -> 
( F " (
( int `  J
) `  x )
)  C_  y )
82 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( int `  J ) `  x
)  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
( int `  J
) `  x )
) )
83 imaeq2 5202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( int `  J ) `  x
)  ->  ( F " z )  =  ( F " ( ( int `  J ) `
 x ) ) )
8483sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( int `  J ) `  x
)  ->  ( ( F " z )  C_  y 
<->  ( F " (
( int `  J
) `  x )
)  C_  y )
)
8582, 84anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( int `  J ) `  x
)  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  x )  /\  ( F " (
( int `  J
) `  x )
)  C_  y )
) )
8685rspcev 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  x )  e.  J  /\  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  x )  /\  ( F " ( ( int `  J ) `  x
) )  C_  y
) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) )
8763, 75, 81, 86syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `
 P )  e.  y ) )  /\  ( x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } )  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
)
8887rexlimdvaa 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  ( E. x  e.  ( ( nei `  J ) `  { P } ) ( F " x ) 
C_  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
8954, 88embantd 53 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y ) )  ->  ( (
y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } )  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
9089ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y )  ->  ( ( y  e.  ( ( nei `  K ) `  {
( F `  P
) } )  ->  E. x  e.  (
( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) ) )
9190com23 75 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } )  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  (
( y  e.  K  /\  ( F `  P
)  e.  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) ) )
9291exp4a 591 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } )  ->  E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  (
y  e.  K  -> 
( ( F `  P )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) ) ) )
9392ralimdv2 2788 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y  ->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) ) )
9493imdistanda 676 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) ) ) )
95 iscnp 17306 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) ) ) )
9694, 95sylibrd 227 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K ) `
 { ( F `
 P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) ) )
9748, 96impbid 185 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( ( nei `  K
) `  { ( F `  P ) } ) E. x  e.  ( ( nei `  J
) `  { P } ) ( F
" x )  C_  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   intcnt 17086   neicnei 17166    CnP ccnp 17294
This theorem is referenced by:  cnnei  17351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-top 16968  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-cnp 17297
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