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Theorem iscringd 26727
Description: Conditions that determine a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscringd.1  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
iscringd.2  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
iscringd.3  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
iscringd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
iscringd.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
iscringd.6  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
iscringd.7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
iscringd.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x H y )  =  ( y H x ) )
Assertion
Ref Expression
iscringd  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e. CRingOps )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, G, y, z    x, H, y, z    x, X, y, z    x, U, y
Allowed substitution hint:    U( z)

Proof of Theorem iscringd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscringd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
2 iscringd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
3 iscringd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
4 iscringd.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
5 iscringd.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
6 id 19 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) )
763com13 1156 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) )
8 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  X  <->  z  e.  X ) )
983anbi1d 1256 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
)  <->  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) ) )
109anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
( ph  /\  (
w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) ) ) )
11 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( x G y ) H w )  =  ( ( x G y ) H z ) )
12 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
x H w )  =  ( x H z ) )
13 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
y H w )  =  ( y H z ) )
1412, 13oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( x H w ) G ( y H w ) )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
1511, 14eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) )  <->  ( (
x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
1610, 15imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) )  ->  (
( x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
17 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  X  <->  x  e.  X ) )
18173anbi3d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
)  <->  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) ) )
1918anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( ph  /\  (
w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
) ) ) )
20 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z G y )  =  ( x G y ) )
2120oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( z G y ) H w )  =  ( ( x G y ) H w ) )
22 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z H w )  =  ( x H w ) )
2322oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( z H w ) G ( y H w ) )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) )
2421, 23eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) )  <->  ( (
x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) ) )
2519, 24imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) ) ) )
26 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
x  e.  X  <->  w  e.  X ) )
27263anbi1d 1256 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
)  <->  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) ) )
2827anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) ) ) )
29 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
( z G y ) H x )  =  ( ( z G y ) H w ) )
30 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
z H x )  =  ( z H w ) )
31 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
y H x )  =  ( y H w ) )
3230, 31oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
( z H x ) G ( y H x ) )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) )
3329, 32eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( z G y ) H x )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) )  <->  ( (
z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) ) )
3428, 33imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( z G y ) H x )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) ) ) )
351adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  G  e.  AbelOp )
36 simpr3 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
372adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  X  =  ran  G )
3836, 37eleqtrd 2372 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  ran  G
)
39 simpr2 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
4039, 37eleqtrd 2372 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  ran  G
)
41 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  G  =  ran  G
4241ablocom 20968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  z  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G )  -> 
( z G y )  =  ( y G z ) )
4335, 38, 40, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z G y )  =  ( y G z ) )
4443oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z G y ) H x )  =  ( ( y G z ) H x ) )
45 simpr1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
46 ablogrpo 20967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
4735, 46syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  G  e.  GrpOp )
4841grpocl 20883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  y  e.  ran  G  /\  z  e.  ran  G )  -> 
( y G z )  e.  ran  G
)
4947, 40, 38, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y G z )  e.  ran  G
)
5049, 37eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y G z )  e.  X )
5145, 50jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  e.  X  /\  ( y G z )  e.  X ) )
52 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( y G z )  e. 
_V
53 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
w  e.  X  <->  ( y G z )  e.  X ) )
5453anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
( x  e.  X  /\  w  e.  X
)  <->  ( x  e.  X  /\  ( y G z )  e.  X ) ) )
5554anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  X  /\  w  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  ( y G z )  e.  X ) ) ) )
56 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
x H w )  =  ( x H ( y G z ) ) )
57 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
w H x )  =  ( ( y G z ) H x ) )
5856, 57eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
( x H w )  =  ( w H x )  <->  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( y G z ) H x ) ) )
5955, 58imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( y G z )  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
x H w )  =  ( w H x ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  ( y G z )  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( y G z ) H x ) ) ) )
60 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  X  <->  w  e.  X ) )
6160anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  <->  ( x  e.  X  /\  w  e.  X ) ) )
6261anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  w  e.  X
) ) ) )
63 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
x H y )  =  ( x H w ) )
64 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y H x )  =  ( w H x ) )
6563, 64eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( x H y )  =  ( y H x )  <->  ( x H w )  =  ( w H x ) ) )
6662, 65imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x H y )  =  ( y H x ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( x H w )  =  ( w H x ) ) ) )
67 iscringd.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x H y )  =  ( y H x ) )
6866, 67chvarv 1966 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( x H w )  =  ( w H x ) )
6952, 59, 68vtocl 2851 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y G z )  e.  X ) )  ->  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( y G z ) H x ) )
7051, 69syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( y G z ) H x ) )
71673adantr3 1116 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H y )  =  ( y H x ) )
72 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  X  <->  z  e.  X ) )
7372anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) ) )
7473anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X
) ) ) )
75 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
x H y )  =  ( x H z ) )
76 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
y H x )  =  ( z H x ) )
7775, 76eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( x H y )  =  ( y H x )  <->  ( x H z )  =  ( z H x ) ) )
7874, 77imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x H y )  =  ( y H x ) )  <->  ( ( ph  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H z )  =  ( z H x ) ) ) )
7978, 67chvarv 1966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H z )  =  ( z H x ) )
80793adantr2 1115 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H z )  =  ( z H x ) )
8171, 80oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) G ( x H z ) )  =  ( ( y H x ) G ( z H x ) ) )
823adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
83 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H : ( X  X.  X ) --> X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( y H x )  e.  X )
8482, 39, 45, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y H x )  e.  X )
8584, 37eleqtrd 2372 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y H x )  e.  ran  G
)
86 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H : ( X  X.  X ) --> X  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( z H x )  e.  X )
8782, 36, 45, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z H x )  e.  X )
8887, 37eleqtrd 2372 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z H x )  e.  ran  G
)
8941ablocom 20968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  (
y H x )  e.  ran  G  /\  ( z H x )  e.  ran  G
)  ->  ( (
y H x ) G ( z H x ) )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
9035, 85, 88, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y H x ) G ( z H x ) )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
915, 81, 903eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
9244, 70, 913eqtr2d 2334 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z G y ) H x )  =  ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
9334, 92chvarv 1966 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( z G y ) H w )  =  ( ( z H w ) G ( y H w ) ) )
9425, 93chvarv 1966 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H w )  =  ( ( x H w ) G ( y H w ) ) )
9516, 94chvarv 1966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  X  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
967, 95sylan2 460 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
97 iscringd.6 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
9897adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  e.  X )
99 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U  ->  (
x H y )  =  ( U H y ) )
100 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U  ->  (
y H x )  =  ( y H U ) )
10199, 100eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  (
( x H y )  =  ( y H x )  <->  ( U H y )  =  ( y H U ) ) )
102101imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  U  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  X )  ->  ( x H y )  =  ( y H x ) )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  ( y H U ) ) ) )
10367an12s 776 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ph  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x H y )  =  ( y H x ) )
104103ex 423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  ->  (
( ph  /\  y  e.  X )  ->  (
x H y )  =  ( y H x ) ) )
105102, 104vtoclga 2862 . . . . 5  |-  ( U  e.  X  ->  (
( ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  ( y H U ) ) )
10698, 105mpcom 32 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  ( y H U ) )
107 iscringd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
108106, 107eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  y )
1091, 2, 3, 4, 5, 96, 97, 108, 107isrngod 21062 . 2  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e.  RingOps )
1102eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  <->  x  e.  ran  G ) )
1112eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  ran  G ) )
112110, 111anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  <->  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) ) )
113112biimpar 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )
114113, 67syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ran  G  /\  y  e.  ran  G ) )  ->  ( x H y )  =  ( y H x ) )
115114ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( x H y )  =  ( y H x ) )
116 rnexg 4956 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  ran  G  e.  _V )
1171, 116syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
1182, 117eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
119 xpexg 4816 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
120118, 118, 119syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
121 fex 5765 . . . . 5  |-  ( ( H : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( X  X.  X )  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
1223, 120, 121syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
123 iscom2 21095 . . . 4  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H  e.  _V )  ->  ( <. G ,  H >.  e. 
Com2 
<-> 
A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( x H y )  =  ( y H x ) ) )
1241, 122, 123syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. G ,  H >.  e.  Com2  <->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( x H y )  =  ( y H x ) ) )
125115, 124mpbird 223 . 2  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e. 
Com2 )
126 iscrngo 26725 . 2  |-  ( <. G ,  H >.  e. CRingOps  <->  (
<. G ,  H >.  e.  RingOps 
/\  <. G ,  H >.  e.  Com2 ) )
127109, 125, 126sylanbrc 645 1  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e. CRingOps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   <.cop 3656    X. cxp 4703   ran crn 4706   -->wf 5267  (class class class)co 5874   GrpOpcgr 20869   AbelOpcablo 20964   RingOpscrngo 21058   Com2ccm2 21093  CRingOpsccring 26723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-grpo 20874  df-ablo 20965  df-rngo 21059  df-com2 21094  df-crngo 26724
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