MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscss Structured version   Unicode version

Theorem iscss 16912
Description: The predicate "is a closed subspace" (of a pre-Hilbert space). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
cssval.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
iscss  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )

Proof of Theorem iscss
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssval.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2 cssval.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssval 16911 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  C  =  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } )
43eleq2d 2505 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } ) )
5 id 21 . . . 4  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
6 fvex 5744 . . . 4  |-  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  e.  _V
75, 6syl6eqel 2526 . . 3  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  e.  _V )
8 id 21 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
9 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  s )  =  (  ._|_  `  S ) )
109fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
118, 10eqeq12d 2452 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) )  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
127, 11elab3 3091 . 2  |-  ( S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) }  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
134, 12syl6bb 254 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   _Vcvv 2958   ` cfv 5456   ocvcocv 16889   CSubSpccss 16890
This theorem is referenced by:  cssi  16913  iscss2  16915  obslbs  16959  hlhillcs  32821
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-ocv 16892  df-css 16893
  Copyright terms: Public domain W3C validator