MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscss Unicode version

Theorem iscss 16583
Description: The predicate "is a closed subspace" (of a pre-Hilbert space). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
cssval.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
iscss  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )

Proof of Theorem iscss
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssval.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2 cssval.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssval 16582 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  C  =  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } )
43eleq2d 2350 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } ) )
5 id 19 . . . 4  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
6 fvex 5539 . . . 4  |-  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  e.  _V
75, 6syl6eqel 2371 . . 3  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  e.  _V )
8 id 19 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
9 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  s )  =  (  ._|_  `  S ) )
109fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
118, 10eqeq12d 2297 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) )  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
127, 11elab3 2921 . 2  |-  ( S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) }  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
134, 12syl6bb 252 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   _Vcvv 2788   ` cfv 5255   ocvcocv 16560   CSubSpccss 16561
This theorem is referenced by:  cssi  16584  iscss2  16586  obslbs  16630  hlhillcs  32151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-ocv 16563  df-css 16564
  Copyright terms: Public domain W3C validator