MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscss Unicode version

Theorem iscss 16599
Description: The predicate "is a closed subspace" (of a pre-Hilbert space). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssval.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
cssval.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
iscss  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )

Proof of Theorem iscss
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cssval.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2 cssval.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2cssval 16598 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  C  =  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } )
43eleq2d 2363 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) } ) )
5 id 19 . . . 4  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
6 fvex 5555 . . . 4  |-  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  e.  _V
75, 6syl6eqel 2384 . . 3  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  S  e.  _V )
8 id 19 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
9 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  s )  =  (  ._|_  `  S ) )
109fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
118, 10eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) )  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
127, 11elab3 2934 . 2  |-  ( S  e.  { s  |  s  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  s ) ) }  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
134, 12syl6bb 252 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   _Vcvv 2801   ` cfv 5271   ocvcocv 16576   CSubSpccss 16577
This theorem is referenced by:  cssi  16600  iscss2  16602  obslbs  16646  hlhillcs  32773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-ocv 16579  df-css 16580
  Copyright terms: Public domain W3C validator