MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscss2 Structured version   Unicode version

Theorem iscss2 16913
Description: It is sufficient to prove that the double orthocomplement is a subset of the target set to show that the set is a closed subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cssss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cssss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
ocvcss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
iscss2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)

Proof of Theorem iscss2
StepHypRef Expression
1 ocvcss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2 cssss.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
31, 2iscss 16910 . . 3  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
43adantr 452 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
5 cssss.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
65, 1ocvocv 16898 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
7 eqss 3363 . . . 4  |-  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <-> 
( S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  S
) )
87baib 872 . . 3  |-  ( S 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)
96, 8syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) 
C_  S ) )
104, 9bitrd 245 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ` cfv 5454   Basecbs 13469   PreHilcphl 16855   ocvcocv 16887   CSubSpccss 16888
This theorem is referenced by:  ocvcss  16914  lsmcss  16919  cssmre  16920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-ghm 15004  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-rnghom 15819  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-phl 16857  df-ocv 16890  df-css 16891
  Copyright terms: Public domain W3C validator