Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscvm Structured version   Unicode version

Theorem iscvm 24946
Description: The property of being a covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscvm.1  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
iscvm.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iscvm  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    k, s, u, v, x    C, k, s, u, x    x, X    k, F, s, u, x    k, J, s, u, x
Allowed substitution hints:    C( v)    S( x, v, u, k, s)    F( v)    J( v)    X( v, u, k, s)

Proof of Theorem iscvm
Dummy variables  c 
f  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 631 . 2  |-  ( ( ( ( C  e. 
Top  /\  J  e.  Top )  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) ) )
2 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) ) )
32anbi1i 677 . 2  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J ) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  ( (
( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  F  e.  ( C  Cn  J ) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `
 k )  =/=  (/) ) ) )
4 df-cvm 24943 . . . 4  |- CovMap  =  ( c  e.  Top , 
j  e.  Top  |->  { f  e.  ( c  Cn  j )  | 
A. x  e.  U. j E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) ) } )
54elmpt2cl 6288 . . 3  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  ->  ( C  e.  Top  /\  J  e. 
Top ) )
6 oveq12 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( c  Cn  j
)  =  ( C  Cn  J ) )
7 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  j  =  J )
87unieqd 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  U. J )
9 iscvm.2 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
108, 9syl6eqr 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  U. j  =  X )
11 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  c  =  C )
1211pweqd 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ~P c  =  ~P C )
1312difeq1d 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ~P c  \  { (/) } )  =  ( ~P C  \  { (/) } ) )
14 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  (
ct  u )  =  ( Ct  u ) )
15 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  J  ->  (
jt  k )  =  ( Jt  k ) )
1614, 15oveqan12d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) )  =  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k
) ) )
1716eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )  Homeo  ( jt  k ) )  <->  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )
1817anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) )  <->  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
1918ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) )  <->  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
2019anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( U. s  =  ( `' f
" k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( ct  u )  Homeo  ( jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. s  =  ( `' f "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
2113, 20rexeqbidv 2917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) )  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
2221anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
237, 22rexeqbidv 2917 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) )  <->  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
2410, 23raleqbidv 2916 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  ( A. x  e. 
U. j E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
256, 24rabeqbidv 2951 . . . . . 6  |-  ( ( c  =  C  /\  j  =  J )  ->  { f  e.  ( c  Cn  j )  |  A. x  e. 
U. j E. k  e.  j  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P c  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( ct  u ) 
Homeo  ( jt  k ) ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( C  Cn  J
)  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) } )
26 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( C  Cn  J )  e. 
_V
2726rabex 4354 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( C  Cn  J )  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f
" k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) }  e.  _V
2825, 4, 27ovmpt2a 6204 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( C CovMap  J )  =  { f  e.  ( C  Cn  J
)  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) } )
2928eleq2d 2503 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( C CovMap  J )  <->  F  e.  { f  e.  ( C  Cn  J )  | 
A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) } ) )
30 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  J  ->  k  e.  J )
31 pwexg 4383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  Top  ->  ~P C  e.  _V )
3231adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ~P C  e.  _V )
33 difexg 4351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P C  e.  _V  ->  ( ~P C  \  { (/)
} )  e.  _V )
34 rabexg 4353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ~P C  \  { (/)
} )  e.  _V  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  e.  _V )
3532, 33, 343syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  e.  _V )
36 iscvm.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( k  e.  J  |->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
3736fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  J  /\  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  e.  _V )  ->  ( S `  k
)  =  { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
3830, 35, 37syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( S `  k )  =  {
s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) } )
3938neeq1d 2614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( ( S `  k )  =/=  (/)  <->  { s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  =/=  (/) ) )
40 rabn0 3647 . . . . . . . . . 10  |-  ( { s  e.  ( ~P C  \  { (/) } )  |  ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) }  =/=  (/)  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
4139, 40syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( ( S `  k )  =/=  (/)  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
4241anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  k  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
4342rexbidva 2722 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `
 k )  =/=  (/) )  <->  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
4443ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `
 k )  =/=  (/) )  <->  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
4544anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) ) )
46 cnveq 5046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
4746imaeq1d 5202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " k
)  =  ( `' F " k ) )
4847eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  ( U. s  =  ( `' f " k
)  <->  U. s  =  ( `' F " k ) ) )
49 reseq1 5140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f  |`  u )  =  ( F  |`  u
) )
5049eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  |`  u
)  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) )  <->  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )
5150anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
5251ralbidv 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  s 
( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) )  <->  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )
5348, 52anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( U. s  =  ( `' f "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )  <-> 
( U. s  =  ( `' F "
k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
5453rexbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f
" k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) )  <->  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  (
s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) )
5554anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5655rexbidv 2726 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )  <->  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5756ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5857elrab 3092 . . . . 5  |-  ( F  e.  { f  e.  ( C  Cn  J
)  |  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' f " k
)  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) }  <-> 
( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/) } ) ( U. s  =  ( `' F " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  {
u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( F  |`  u )  e.  ( ( Ct  u ) 
Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) ) )
5945, 58syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) )  <->  F  e.  { f  e.  ( C  Cn  J )  | 
A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  E. s  e.  ( ~P C  \  { (/)
} ) ( U. s  =  ( `' f " k )  /\  A. u  e.  s  ( A. v  e.  ( s  \  { u } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  /\  ( f  |`  u )  e.  ( ( Ct  u )  Homeo  ( Jt  k ) ) ) ) ) } ) )
6029, 59bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( C CovMap  J )  <->  ( F  e.  ( C  Cn  J
)  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  ( x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) ) )
615, 60biadan2 624 . 2  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  ( F  e.  ( C  Cn  J )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) ) )
621, 3, 613bitr4ri 270 1  |-  ( F  e.  ( C CovMap  J
)  <->  ( ( C  e.  Top  /\  J  e.  Top  /\  F  e.  ( C  Cn  J
) )  /\  A. x  e.  X  E. k  e.  J  (
x  e.  k  /\  ( S `  k )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877    |` cres 4880   "cima 4881   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648   Topctop 16958    Cn ccn 17288    Homeo chmeo 17785   CovMap ccvm 24942
This theorem is referenced by:  cvmcn  24949  cvmcov  24950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-cvm 24943
  Copyright terms: Public domain W3C validator