MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyg3 Structured version   Unicode version

Theorem iscyg3 15488
Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
iscyg3  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    n, G, x, y    .x. , n, x, y

Proof of Theorem iscyg3
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 iscyg.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2iscyg 15481 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B ) )
41, 2mulgcl 14899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
543expa 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ )  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  .x.  x )  e.  B
)
65an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  .x.  x )  e.  B
)
7 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )
86, 7fmptd 5885 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) : ZZ --> B )
9 frn 5589 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) : ZZ --> B  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  C_  B )
10 eqss 3355 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B  <->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  C_  B  /\  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) ) ) )
1110baib 872 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  C_  B  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B  <->  B  C_  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) ) )
128, 9, 113syl 19 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  =  B  <->  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) ) )
13 dfss3 3330 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) )
14 ovex 6098 . . . . . . . 8  |-  ( n 
.x.  x )  e. 
_V
157, 14elrnmpti 5113 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  <->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) )
1615ralbii 2721 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) )
1713, 16bitri 241 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) )
1812, 17syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  =  B  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
1918rexbidva 2714 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B  <->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
2019pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B )  <-> 
( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
213, 20bitri 241 1  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312    e. cmpt 4258   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ZZcz 10274   Basecbs 13461   Grpcgrp 14677  .gcmg 14681  CycGrpccyg 15479
This theorem is referenced by:  cygabl  15492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-cyg 15480
  Copyright terms: Public domain W3C validator