MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyg3 Unicode version

Theorem iscyg3 15173
Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
iscyg3  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    n, G, x, y    .x. , n, x, y

Proof of Theorem iscyg3
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 iscyg.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2iscyg 15166 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B ) )
41, 2mulgcl 14584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
543expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ )  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  .x.  x )  e.  B
)
65an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  .x.  x )  e.  B
)
7 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )
86, 7fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) : ZZ --> B )
9 frn 5395 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) : ZZ --> B  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  C_  B )
10 eqss 3194 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B  <->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  C_  B  /\  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) ) ) )
1110baib 871 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  C_  B  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B  <->  B  C_  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) ) )
128, 9, 113syl 18 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  =  B  <->  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) ) )
13 dfss3 3170 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) ) )
14 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( n 
.x.  x )  e. 
_V
157, 14elrnmpti 4930 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  <->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) )
1615ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) )
1713, 16bitri 240 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) )
1812, 17syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  x ) )  =  B  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
1918rexbidva 2560 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B  <->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
2019pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B )  <-> 
( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
213, 20bitri 240 1  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ZZcz 10024   Basecbs 13148   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366  CycGrpccyg 15164
This theorem is referenced by:  cygabl  15177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cyg 15165
  Copyright terms: Public domain W3C validator