MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyggen2 Unicode version

Theorem iscyggen2 15378
Description: The property of being a cyclic generator for a group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
iscyg3.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
Assertion
Ref Expression
iscyggen2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    y, E    n, X, x, y    n, G, x, y    .x. , n, x, y
Allowed substitution hints:    E( x, n)

Proof of Theorem iscyggen2
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 iscyg.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 iscyg3.e . . 3  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyggen 15377 . 2  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
51, 2mulgcl 14794 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
n  .x.  X )  e.  B )
653expa 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ )  /\  X  e.  B
)  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
76an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
8 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )
97, 8fmptd 5795 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B )
10 frn 5501 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B )
11 eqss 3280 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  /\  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) ) ) )
1211baib 871 . . . . 5  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
139, 10, 123syl 18 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
14 dfss3 3256 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) )
15 ovex 6006 . . . . . . 7  |-  ( n 
.x.  X )  e. 
_V
168, 15elrnmpti 5033 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  <->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1716ralbii 2652 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1814, 17bitri 240 . . . 4  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1913, 18syl6bb 252 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) )
2019pm5.32da 622 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( X  e.  B  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B )  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
214, 20syl5bb 248 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   {crab 2632    C_ wss 3238    e. cmpt 4179   ran crn 4793   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   ZZcz 10175   Basecbs 13356   Grpcgrp 14572  .gcmg 14576
This theorem is referenced by:  cyggeninv  15380  iscygd  15384  cygznlem3  16740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-seq 11211  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-mulg 14702
  Copyright terms: Public domain W3C validator