MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscyggen2 Unicode version

Theorem iscyggen2 15450
Description: The property of being a cyclic generator for a group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscyg.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
iscyg3.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
Assertion
Ref Expression
iscyggen2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    y, E    n, X, x, y    n, G, x, y    .x. , n, x, y
Allowed substitution hints:    E( x, n)

Proof of Theorem iscyggen2
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 iscyg.2 . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 iscyg3.e . . 3  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyggen 15449 . 2  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
51, 2mulgcl 14866 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
n  .x.  X )  e.  B )
653expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ )  /\  X  e.  B
)  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
76an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  .x.  X )  e.  B
)
8 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )
97, 8fmptd 5856 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B )
10 frn 5560 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) : ZZ --> B  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B )
11 eqss 3327 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  /\  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) ) ) )
1211baib 872 . . . . 5  |-  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  C_  B  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
139, 10, 123syl 19 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  B  C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) ) )
14 dfss3 3302 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) ) )
15 ovex 6069 . . . . . . 7  |-  ( n 
.x.  X )  e. 
_V
168, 15elrnmpti 5084 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  <->  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1716ralbii 2694 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1814, 17bitri 241 . . . 4  |-  ( B 
C_  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) )
1913, 18syl6bb 253 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  X ) )  =  B  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) )
2019pm5.32da 623 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( X  e.  B  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B )  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
214, 20syl5bb 249 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. y  e.  B  E. n  e.  ZZ  y  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   {crab 2674    C_ wss 3284    e. cmpt 4230   ran crn 4842   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   ZZcz 10242   Basecbs 13428   Grpcgrp 14644  .gcmg 14648
This theorem is referenced by:  cyggeninv  15452  iscygd  15456  cygznlem3  16809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-seq 11283  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-mulg 14774
  Copyright terms: Public domain W3C validator