MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscygodd Unicode version

Theorem iscygodd 15385
Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscygodd.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscygodd.o  |-  O  =  ( od `  G
)
iscygodd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
iscygodd.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
iscygodd.5  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  =  ( # `  B ) )
Assertion
Ref Expression
iscygodd  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )

Proof of Theorem iscygodd
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscygodd.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 iscygodd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 iscygodd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  =  ( # `  B ) )
4 iscygodd.1 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 iscygodd.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
64, 5odcl 15061 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( O `  X )  e.  NN0 )
72, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  e.  NN0 )
83, 7eqeltrrd 2441 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
9 fvex 5646 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
104, 9eqeltri 2436 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
11 hashclb 11528 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
1210, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
138, 12sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
14 eqid 2366 . . . . . 6  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
15 eqid 2366 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
164, 14, 15, 5cyggenod 15381 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin )  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  ( O `  X )  =  ( # `  B
) ) ) )
171, 13, 16syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  ( O `  X )  =  ( # `  B
) ) ) )
182, 3, 17mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
19 ne0i 3549 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  B  |  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
2018, 19syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
214, 14, 15iscyg2 15379 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
221, 20, 21sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   {crab 2632   _Vcvv 2873   (/)c0 3543    e. cmpt 4179   ran crn 4793   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Fincfn 7006   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   #chash 11505   Basecbs 13356   Grpcgrp 14572  .gcmg 14576   odcod 15050  CycGrpccyg 15374
This theorem is referenced by:  prmcyg  15390  lt6abl  15391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-dvds 12740  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-od 15054  df-cyg 15375
  Copyright terms: Public domain W3C validator