MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscygodd Structured version   Unicode version

Theorem iscygodd 15529
Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscygodd.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscygodd.o  |-  O  =  ( od `  G
)
iscygodd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
iscygodd.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
iscygodd.5  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  =  ( # `  B ) )
Assertion
Ref Expression
iscygodd  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )

Proof of Theorem iscygodd
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscygodd.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 iscygodd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 iscygodd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  =  ( # `  B ) )
4 iscygodd.1 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 iscygodd.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
64, 5odcl 15205 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( O `  X )  e.  NN0 )
72, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  e.  NN0 )
83, 7eqeltrrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
9 fvex 5771 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
104, 9eqeltri 2512 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
11 hashclb 11672 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
138, 12sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
14 eqid 2442 . . . . . 6  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
15 eqid 2442 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
164, 14, 15, 5cyggenod 15525 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin )  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  ( O `  X )  =  ( # `  B
) ) ) )
171, 13, 16syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  ( O `  X )  =  ( # `  B
) ) ) )
182, 3, 17mpbir2and 890 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
19 ne0i 3619 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  B  |  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
214, 14, 15iscyg2 15523 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
221, 20, 21sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   {crab 2715   _Vcvv 2962   (/)c0 3613    e. cmpt 4291   ran crn 4908   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Fincfn 7138   NN0cn0 10252   ZZcz 10313   #chash 11649   Basecbs 13500   Grpcgrp 14716  .gcmg 14720   odcod 15194  CycGrpccyg 15518
This theorem is referenced by:  prmcyg  15534  lt6abl  15535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-acn 7860  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-dvds 12884  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-mulg 14846  df-od 15198  df-cyg 15519
  Copyright terms: Public domain W3C validator