MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscygodd Unicode version

Theorem iscygodd 15461
Description: Show that a group with an element the same order as the group is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscygodd.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
iscygodd.o  |-  O  =  ( od `  G
)
iscygodd.3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
iscygodd.4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
iscygodd.5  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  =  ( # `  B ) )
Assertion
Ref Expression
iscygodd  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )

Proof of Theorem iscygodd
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscygodd.3 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 iscygodd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 iscygodd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  =  ( # `  B ) )
4 iscygodd.1 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 iscygodd.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
64, 5odcl 15137 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( O `  X )  e.  NN0 )
72, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  X
)  e.  NN0 )
83, 7eqeltrrd 2487 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
9 fvex 5709 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
104, 9eqeltri 2482 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
11 hashclb 11604 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
1210, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
138, 12sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
14 eqid 2412 . . . . . 6  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
15 eqid 2412 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
164, 14, 15, 5cyggenod 15457 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin )  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  ( O `  X )  =  ( # `  B
) ) ) )
171, 13, 16syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  <->  ( X  e.  B  /\  ( O `  X )  =  ( # `  B
) ) ) )
182, 3, 17mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
19 ne0i 3602 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  B  |  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
214, 14, 15iscyg2 15455 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
221, 20, 21sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   {crab 2678   _Vcvv 2924   (/)c0 3596    e. cmpt 4234   ran crn 4846   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Fincfn 7076   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   #chash 11581   Basecbs 13432   Grpcgrp 14648  .gcmg 14652   odcod 15126  CycGrpccyg 15450
This theorem is referenced by:  prmcyg  15466  lt6abl  15467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-od 15130  df-cyg 15451
  Copyright terms: Public domain W3C validator