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Theorem isded 25736
Description: The predicate "is a deductive system". (Contributed by FL, 24-Oct-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
isded.1  |-  M  =  dom  D
isded.2  |-  O  =  dom  J
Assertion
Ref Expression
isded  |-  ( ( ( D  e.  A  /\  C  e.  B  /\  J  e.  F
)  /\  R  e.  G )  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  <->  ( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, a,
f, g    D, a,
f, g    J, a    R, f, g
Allowed substitution hints:    A( f, g, a)    B( f, g, a)    R( a)    F( f, g, a)    G( f, g, a)    J( f, g)    M( f, g, a)    O( f, g, a)

Proof of Theorem isded
Dummy variables  c 
d  j  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ded 25735 . . 3  |-  Ded  =  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  = 
<. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  /\  ( ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <.
g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) ) }
21eleq2i 2347 . 2  |-  ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  R >. >.  e.  Ded  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  =  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  /\  (
( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <.
g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) ) } )
3 opeq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  <. d ,  c >.  =  <. D ,  c >. )
43opeq1d 3802 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  c >. , 
<. j ,  r >. >. )
54eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  <->  <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  ) )
6 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  ( j `  a ) )  =  ( D `  (
j `  a )
) )
76eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  (
j `  a )
)  =  a  <->  ( D `  ( j `  a
) )  =  a ) )
87anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  <->  ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a ) ) )
98ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. a  e.  dom  j ( ( d `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a )  <->  A. a  e.  dom  j ( ( D `  ( j `
 a ) )  =  a  /\  (
c `  ( j `  a ) )  =  a ) ) )
10 dmeq 4879 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  dom  D )
11 isded.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  dom  D
1210, 11syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  M )
1312eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
f  e.  dom  d  <->  f  e.  M ) )
1412eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
g  e.  dom  d  <->  g  e.  M ) )
15 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  g )  =  ( D `  g ) )
1615eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  g
)  =  ( c `
 f )  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) )
1716bibi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) ) )
1814, 17imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( g  e.  dom  d  ->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( d `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  <->  ( g  e.  M  ->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) ) ) )
1918ralbidv2 2565 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( A. g  e.  dom  d ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( d `  g
)  =  ( c `
 f ) )  <->  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) ) )
2013, 19imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  A. g  e.  dom  d ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( d `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  <->  ( f  e.  M  ->  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) ) ) )
2120ralbidv2 2565 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( d `  g
)  =  ( c `
 f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) ) )
225, 9, 213anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <.
g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  c >. , 
<. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j ( ( D `  (
j `  a )
)  =  a  /\  ( c `  (
j `  a )
)  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) ) ) )
23 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  ( g
r f ) )  =  ( D `  ( g r f ) ) )
24 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  f )  =  ( D `  f ) )
2523, 24eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  (
g r f ) )  =  ( d `
 f )  <->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) )
2616, 25imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
2714, 26imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( g  e.  dom  d  ->  ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) ) )  <->  ( g  e.  M  ->  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g
r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) ) )
2827ralbidv2 2565 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  <->  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
2913, 28imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) ) )  <->  ( f  e.  M  ->  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g
r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) ) )
3029ralbidv2 2565 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
3116imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )
3214, 31imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( g  e.  dom  d  ->  ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) )  <->  ( g  e.  M  ->  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) )
3332ralbidv2 2565 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )
3413, 33imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) )  <->  ( f  e.  M  ->  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) )
3534ralbidv2 2565 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )
3630, 35anbi12d 691 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( A. f  e. 
dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
d `  ( g
r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) )  <->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  -> 
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) )
3722, 36anbi12d 691 . . 3  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\ 
A. a  e.  dom  j ( ( d `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d (
<. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  c >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  -> 
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) ) )
38 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  <. D , 
c >.  =  <. D ,  C >. )
3938opeq1d 3802 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  C >. , 
<. j ,  r >. >. )
4039eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( <. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  ) )
41 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  ( j `  a ) )  =  ( C `  (
j `  a )
) )
4241eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( c `  (
j `  a )
)  =  a  <->  ( C `  ( j `  a
) )  =  a ) )
4342anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  <->  ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a ) ) )
4443ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a )  <->  A. a  e.  dom  j ( ( D `  ( j `
 a ) )  =  a  /\  ( C `  ( j `  a ) )  =  a ) ) )
45 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  f )  =  ( C `  f ) )
4645eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )
4746bibi2d 309 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( C `
 f ) ) ) )
48472ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) )
4940, 44, 483anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\ 
A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) ) )
5046imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
51502ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
52 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( C `  ( g r f ) ) )
53 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  g )  =  ( C `  g ) )
5452, 53eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( c `  (
g r f ) )  =  ( c `
 g )  <->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) ) )
5546, 54imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )
56552ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )
5751, 56anbi12d 691 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) )  <-> 
( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) )
5849, 57anbi12d 691 . . 3  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\ 
A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  C >. , 
<. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j ( ( D `  (
j `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( j `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
59 opeq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  <. j ,  r >.  =  <. J ,  r >. )
6059opeq2d 3803 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  r >. >. )
6160eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Alg  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Alg  )
)
62 dmeq 4879 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  dom  j  =  dom  J )
63 isded.2 . . . . . . . . 9  |-  O  =  dom  J
6462, 63syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  dom  j  =  O )
6564eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
a  e.  dom  j  <->  a  e.  O ) )
66 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
j `  a )  =  ( J `  a ) )
6766fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( D `  ( j `  a ) )  =  ( D `  ( J `  a )
) )
6867eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( D `  (
j `  a )
)  =  a  <->  ( D `  ( J `  a
) )  =  a ) )
6966fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( C `  ( j `  a ) )  =  ( C `  ( J `  a )
) )
7069eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( C `  (
j `  a )
)  =  a  <->  ( C `  ( J `  a
) )  =  a ) )
7168, 70anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( C `  ( j `  a
) )  =  a )  <->  ( ( D `
 ( J `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( J `  a ) )  =  a ) ) )
7265, 71imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
( a  e.  dom  j  ->  ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a ) )  <->  ( a  e.  O  ->  ( ( D `  ( J `
 a ) )  =  a  /\  ( C `  ( J `  a ) )  =  a ) ) ) )
7372ralbidv2 2565 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a )  <->  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( J `  a ) )  =  a ) ) )
7461, 733anbi12d 1253 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( C `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( C `
 f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) ) )
7574anbi1d 685 . . 3  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\ 
A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  (
( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
76 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  <. J , 
r >.  =  <. J ,  R >. )
7776opeq2d 3803 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  =  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >. )
7877eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Alg  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Alg  )
)
79 dmeq 4879 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
8079eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  <. g ,  f >.  e.  dom  R ) )
8180bibi1d 310 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  <->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <-> 
( D `  g
)  =  ( C `
 f ) ) ) )
82812ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) )
8378, 823anbi13d 1254 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( J `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) ) )
84 oveq 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
g r f )  =  ( g R f ) )
8584fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( D `  ( g
r f ) )  =  ( D `  ( g R f ) ) )
8685eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f )  <->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) ) )
8786imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
88872ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
8984fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  ( g R f ) ) )
9089eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( C `  (
g r f ) )  =  ( C `
 g )  <->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) )
9190imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )
92912ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )
9388, 92anbi12d 691 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) )  <-> 
( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
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9483, 93anbi12d 691 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( J `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
9537, 58, 75, 94elo 25041 . 2  |-  ( ( ( D  e.  A  /\  C  e.  B  /\  J  e.  F
)  /\  R  e.  G )  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  =  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  /\  (
( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <.
g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) ) }  <->  ( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
962, 95syl5bb 248 1  |-  ( ( ( D  e.  A  /\  C  e.  B  /\  J  e.  F
)  /\  R  e.  G )  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  <->  ( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Alg calg 25711   Dedcded 25734
This theorem is referenced by:  1ded  25738  0ded  25757  dualded  25783  setiscat  25979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-ded 25735
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