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Theorem isdir2 25292
Description: Alternate definition of a direction. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
isdir2.1  |-  X  =  dom  D
Assertion
Ref Expression
isdir2  |-  ( D  e.  DirRel 
<->  ( D  e. PresetRel  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  {
x ,  y } ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isdir2
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfdir2 25291 . . 3  |-  DirRel  =  (PresetRel  i^i  { d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } )
21eleq2i 2347 . 2  |-  ( D  e.  DirRel 
<->  D  e.  (PresetRel  i^i  { d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } ) )
3 elin 3358 . 2  |-  ( D  e.  (PresetRel  i^i  { d  |  A. x  e. 
U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } )  <->  ( D  e. PresetRel 
/\  D  e.  {
d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } ) )
4 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  U. d  =  U. D )
54unieqd 3838 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  U. U. d  =  U. U. D
)
6 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
d  ub  { x ,  y } )  =  ( D  ub  { x ,  y } ) )
76eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
z  e.  ( d  ub  { x ,  y } )  <->  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
85, 7rexeqbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } )  <->  E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
95, 8raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } )  <->  A. y  e.  U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
105, 9raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e. 
U. U. d z  e.  ( d  ub  {
x ,  y } )  <->  A. x  e.  U. U. D A. y  e. 
U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1110elabg 2915 . . . 4  |-  ( D  e. PresetRel  ->  ( D  e. 
{ d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) }  <->  A. x  e.  U. U. D A. y  e. 
U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
12 isdir2.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  D
13 preodom2 25226 . . . . 5  |-  ( D  e. PresetRel  ->  dom  D  =  U. U. D )
14 eqtr 2300 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  dom  D  /\  dom  D  =  U. U. D )  ->  X  =  U. U. D )
15 rexeq 2737 . . . . . . . . 9  |-  ( U. U. D  =  X  -> 
( E. z  e. 
U. U. D z  e.  ( D  ub  {
x ,  y } )  <->  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1615raleqbi1dv 2744 . . . . . . . 8  |-  ( U. U. D  =  X  -> 
( A. y  e. 
U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } )  <->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1716raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( U. U. D  =  X  -> 
( A. x  e. 
U. U. D A. y  e.  U. U. D E. z  e.  U. U. D
z  e.  ( D  ub  { x ,  y } )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1817eqcoms 2286 . . . . . 6  |-  ( X  =  U. U. D  ->  ( A. x  e. 
U. U. D A. y  e.  U. U. D E. z  e.  U. U. D
z  e.  ( D  ub  { x ,  y } )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1914, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ( X  =  dom  D  /\  dom  D  =  U. U. D )  ->  ( A. x  e.  U. U. D A. y  e.  U. U. D E. z  e. 
U. U. D z  e.  ( D  ub  {
x ,  y } )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
2012, 13, 19sylancr 644 . . . 4  |-  ( D  e. PresetRel  ->  ( A. x  e.  U. U. D A. y  e.  U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
2111, 20bitrd 244 . . 3  |-  ( D  e. PresetRel  ->  ( D  e. 
{ d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
2221pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( D  e. PresetRel  /\  D  e. 
{ d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } )  <->  ( D  e. PresetRel 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
232, 3, 223bitri 262 1  |-  ( D  e.  DirRel 
<->  ( D  e. PresetRel  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  {
x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   {cpr 3641   U.cuni 3827   dom cdm 4689  (class class class)co 5858   DirRelcdir 14350  PresetRelcpresetrel 25215    ub cub 25218
This theorem is referenced by:  dirpre  25293  dirub  25294  latdir  25295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-dir 14352  df-prs 25223  df-ub 25253
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