Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isdir2 Unicode version

Theorem isdir2 25395
Description: Alternate definition of a direction. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
isdir2.1  |-  X  =  dom  D
Assertion
Ref Expression
isdir2  |-  ( D  e.  DirRel 
<->  ( D  e. PresetRel  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  {
x ,  y } ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isdir2
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfdir2 25394 . . 3  |-  DirRel  =  (PresetRel  i^i  { d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } )
21eleq2i 2360 . 2  |-  ( D  e.  DirRel 
<->  D  e.  (PresetRel  i^i  { d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } ) )
3 elin 3371 . 2  |-  ( D  e.  (PresetRel  i^i  { d  |  A. x  e. 
U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } )  <->  ( D  e. PresetRel 
/\  D  e.  {
d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } ) )
4 unieq 3852 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  U. d  =  U. D )
54unieqd 3854 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  U. U. d  =  U. U. D
)
6 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
d  ub  { x ,  y } )  =  ( D  ub  { x ,  y } ) )
76eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
z  e.  ( d  ub  { x ,  y } )  <->  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
85, 7rexeqbidv 2762 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } )  <->  E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
95, 8raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } )  <->  A. y  e.  U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
105, 9raleqbidv 2761 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e. 
U. U. d z  e.  ( d  ub  {
x ,  y } )  <->  A. x  e.  U. U. D A. y  e. 
U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1110elabg 2928 . . . 4  |-  ( D  e. PresetRel  ->  ( D  e. 
{ d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) }  <->  A. x  e.  U. U. D A. y  e. 
U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
12 isdir2.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  D
13 preodom2 25329 . . . . 5  |-  ( D  e. PresetRel  ->  dom  D  =  U. U. D )
14 eqtr 2313 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  dom  D  /\  dom  D  =  U. U. D )  ->  X  =  U. U. D )
15 rexeq 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( U. U. D  =  X  -> 
( E. z  e. 
U. U. D z  e.  ( D  ub  {
x ,  y } )  <->  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1615raleqbi1dv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( U. U. D  =  X  -> 
( A. y  e. 
U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } )  <->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1716raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( U. U. D  =  X  -> 
( A. x  e. 
U. U. D A. y  e.  U. U. D E. z  e.  U. U. D
z  e.  ( D  ub  { x ,  y } )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1817eqcoms 2299 . . . . . 6  |-  ( X  =  U. U. D  ->  ( A. x  e. 
U. U. D A. y  e.  U. U. D E. z  e.  U. U. D
z  e.  ( D  ub  { x ,  y } )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
1914, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ( X  =  dom  D  /\  dom  D  =  U. U. D )  ->  ( A. x  e.  U. U. D A. y  e.  U. U. D E. z  e. 
U. U. D z  e.  ( D  ub  {
x ,  y } )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
2012, 13, 19sylancr 644 . . . 4  |-  ( D  e. PresetRel  ->  ( A. x  e.  U. U. D A. y  e.  U. U. D E. z  e.  U. U. D z  e.  ( D  ub  { x ,  y } )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
2111, 20bitrd 244 . . 3  |-  ( D  e. PresetRel  ->  ( D  e. 
{ d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
2221pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( D  e. PresetRel  /\  D  e. 
{ d  |  A. x  e.  U. U. d A. y  e.  U. U. d E. z  e.  U. U. d z  e.  ( d  ub  { x ,  y } ) } )  <->  ( D  e. PresetRel 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  { x ,  y } ) ) )
232, 3, 223bitri 262 1  |-  ( D  e.  DirRel 
<->  ( D  e. PresetRel  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  z  e.  ( D  ub  {
x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   {cpr 3654   U.cuni 3843   dom cdm 4705  (class class class)co 5874   DirRelcdir 14366  PresetRelcpresetrel 25318    ub cub 25321
This theorem is referenced by:  dirpre  25396  dirub  25397  latdir  25398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-dir 14368  df-prs 25326  df-ub 25356
  Copyright terms: Public domain W3C validator