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Theorem isdlat 14611
Description: Property of being a distributive lattice. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdlat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isdlat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
isdlat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
isdlat  |-  ( K  e. DLat 
<->  ( K  e.  Lat  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, K    x, B, y, z    x,  .\/ , y,
z    x,  ./\ , y, z

Proof of Theorem isdlat
Dummy variables  k 
b  j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  ( Base `  K
) )
2 isdlat.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
31, 2syl6eqr 2485 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  B )
4 dfsbcq 3155 . . . . 5  |-  ( (
Base `  k )  =  B  ->  ( [. ( Base `  k )  /  b ]. [. ( join `  k )  / 
j ]. [. ( meet `  k )  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [. ( join `  k )  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [. ( join `  k )  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
6 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  =  ( join `  K
) )
7 isdlat.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
86, 7syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  = 
.\/  )
9 dfsbcq 3155 . . . . . . 7  |-  ( (
join `  k )  =  .\/  ->  ( [. ( join `  k )  /  j ]. [. ( meet `  k )  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
11 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( meet `  k )  =  ( meet `  K
) )
12 isdlat.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
1311, 12syl6eqr 2485 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( meet `  k )  = 
./\  )
14 dfsbcq 3155 . . . . . . . 8  |-  ( (
meet `  k )  =  ./\  ->  ( [. ( meet `  k )  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1615sbcbidv 3207 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( [.  .\/  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1710, 16bitrd 245 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1817sbcbidv 3207 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( [. B  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
195, 18bitrd 245 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
20 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
212, 20eqeltri 2505 . . . 4  |-  B  e. 
_V
22 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( join `  K )  e.  _V
237, 22eqeltri 2505 . . . 4  |-  .\/  e.  _V
24 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  e.  _V
2512, 24eqeltri 2505 . . . 4  |-  ./\  e.  _V
26 raleq 2896 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
2726raleqbi1dv 2904 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
2827raleqbi1dv 2904 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
29 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  m  =  ./\  )
30 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  x  =  x )
31 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
j  =  .\/  )
3231oveqd 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( y j z )  =  ( y 
.\/  z ) )
3329, 30, 32oveq123d 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m ( y j z ) )  =  ( x 
./\  ( y  .\/  z ) ) )
3429oveqd 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m y )  =  ( x 
./\  y ) )
3529oveqd 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m z )  =  ( x 
./\  z ) )
3631, 34, 35oveq123d 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( ( x m y ) j ( x m z ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) ) )
3733, 36eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <-> 
( x  ./\  (
y  .\/  z )
)  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) ) ) )
3837ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
39382ralbidv 2739 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
4028, 39sylan9bb 681 . . . . 5  |-  ( ( b  =  B  /\  ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )
)  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
41403impb 1149 . . . 4  |-  ( ( b  =  B  /\  j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
4221, 23, 25, 41sbc3ie 3222 . . 3  |-  ( [. B  /  b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
4319, 42syl6bb 253 . 2  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
44 df-dlat 14610 . 2  |- DLat  =  {
k  e.  Lat  |  [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) }
4543, 44elrab2 3086 1  |-  ( K  e. DLat 
<->  ( K  e.  Lat  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   [.wsbc 3153   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   joincjn 14393   meetcmee 14394   Latclat 14466  DLatcdlat 14609
This theorem is referenced by:  dlatmjdi  14612  dlatl  14613  odudlatb  14614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-dlat 14610
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