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Theorem isdlat 14296
Description: Property of being a distributive lattice. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdlat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isdlat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
isdlat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
isdlat  |-  ( K  e. DLat 
<->  ( K  e.  Lat  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, K    x, B, y, z    x,  .\/ , y,
z    x,  ./\ , y, z

Proof of Theorem isdlat
Dummy variables  k 
b  j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  ( Base `  K
) )
2 isdlat.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
31, 2syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  B )
4 dfsbcq 2993 . . . . 5  |-  ( (
Base `  k )  =  B  ->  ( [. ( Base `  k )  /  b ]. [. ( join `  k )  / 
j ]. [. ( meet `  k )  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [. ( join `  k )  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [. ( join `  k )  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  =  ( join `  K
) )
7 isdlat.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
86, 7syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  = 
.\/  )
9 dfsbcq 2993 . . . . . . 7  |-  ( (
join `  k )  =  .\/  ->  ( [. ( join `  k )  /  j ]. [. ( meet `  k )  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
108, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
11 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( meet `  k )  =  ( meet `  K
) )
12 isdlat.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
1311, 12syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( meet `  k )  = 
./\  )
14 dfsbcq 2993 . . . . . . . 8  |-  ( (
meet `  k )  =  ./\  ->  ( [. ( meet `  k )  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1615sbcbidv 3045 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( [.  .\/  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1710, 16bitrd 244 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1817sbcbidv 3045 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( [. B  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
195, 18bitrd 244 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
20 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
212, 20eqeltri 2353 . . . 4  |-  B  e. 
_V
22 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( join `  K )  e.  _V
237, 22eqeltri 2353 . . . 4  |-  .\/  e.  _V
24 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  e.  _V
2512, 24eqeltri 2353 . . . 4  |-  ./\  e.  _V
26 raleq 2736 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
2726raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
2827raleqbi1dv 2744 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
29 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  m  =  ./\  )
30 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  x  =  x )
31 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
j  =  .\/  )
3231oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( y j z )  =  ( y 
.\/  z ) )
3329, 30, 32oveq123d 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m ( y j z ) )  =  ( x 
./\  ( y  .\/  z ) ) )
3429oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m y )  =  ( x 
./\  y ) )
3529oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m z )  =  ( x 
./\  z ) )
3631, 34, 35oveq123d 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( ( x m y ) j ( x m z ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) ) )
3733, 36eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <-> 
( x  ./\  (
y  .\/  z )
)  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) ) ) )
3837ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
39382ralbidv 2585 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
4028, 39sylan9bb 680 . . . . 5  |-  ( ( b  =  B  /\  ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )
)  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
41403impb 1147 . . . 4  |-  ( ( b  =  B  /\  j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
4221, 23, 25, 41sbc3ie 3060 . . 3  |-  ( [. B  /  b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
4319, 42syl6bb 252 . 2  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
44 df-dlat 14295 . 2  |- DLat  =  {
k  e.  Lat  |  [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) }
4543, 44elrab2 2925 1  |-  ( K  e. DLat 
<->  ( K  e.  Lat  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151  DLatcdlat 14294
This theorem is referenced by:  dlatmjdi  14297  dlatl  14298  odudlatb  14299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-dlat 14295
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