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Theorem isdlat 14312
Description: Property of being a distributive lattice. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdlat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isdlat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
isdlat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
isdlat  |-  ( K  e. DLat 
<->  ( K  e.  Lat  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, K    x, B, y, z    x,  .\/ , y,
z    x,  ./\ , y, z

Proof of Theorem isdlat
Dummy variables  k 
b  j  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  ( Base `  K
) )
2 isdlat.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
31, 2syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( Base `  k )  =  B )
4 dfsbcq 3006 . . . . 5  |-  ( (
Base `  k )  =  B  ->  ( [. ( Base `  k )  /  b ]. [. ( join `  k )  / 
j ]. [. ( meet `  k )  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [. ( join `  k )  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [. ( join `  k )  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
6 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  =  ( join `  K
) )
7 isdlat.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
86, 7syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( join `  k )  = 
.\/  )
9 dfsbcq 3006 . . . . . . 7  |-  ( (
join `  k )  =  .\/  ->  ( [. ( join `  k )  /  j ]. [. ( meet `  k )  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
108, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( meet `  k )  =  ( meet `  K
) )
12 isdlat.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
1311, 12syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( meet `  k )  = 
./\  )
14 dfsbcq 3006 . . . . . . . 8  |-  ( (
meet `  k )  =  ./\  ->  ( [. ( meet `  k )  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1615sbcbidv 3058 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( [.  .\/  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1710, 16bitrd 244 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
1817sbcbidv 3058 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( [. B  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
195, 18bitrd 244 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
20 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
212, 20eqeltri 2366 . . . 4  |-  B  e. 
_V
22 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( join `  K )  e.  _V
237, 22eqeltri 2366 . . . 4  |-  .\/  e.  _V
24 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  e.  _V
2512, 24eqeltri 2366 . . . 4  |-  ./\  e.  _V
26 raleq 2749 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
2726raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
2827raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) ) )
29 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  m  =  ./\  )
30 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  x  =  x )
31 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
j  =  .\/  )
3231oveqd 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( y j z )  =  ( y 
.\/  z ) )
3329, 30, 32oveq123d 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m ( y j z ) )  =  ( x 
./\  ( y  .\/  z ) ) )
3429oveqd 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m y )  =  ( x 
./\  y ) )
3529oveqd 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( x m z )  =  ( x 
./\  z ) )
3631, 34, 35oveq123d 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( ( x m y ) j ( x m z ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) ) )
3733, 36eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <-> 
( x  ./\  (
y  .\/  z )
)  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) ) ) )
3837ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
39382ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
4028, 39sylan9bb 680 . . . . 5  |-  ( ( b  =  B  /\  ( j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )
)  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
41403impb 1147 . . . 4  |-  ( ( b  =  B  /\  j  =  .\/  /\  m  =  ./\  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
4221, 23, 25, 41sbc3ie 3073 . . 3  |-  ( [. B  /  b ]. [.  .\/  /  j ]. [.  ./\  /  m ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
4319, 42syl6bb 252 . 2  |-  ( k  =  K  ->  ( [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
44 df-dlat 14311 . 2  |- DLat  =  {
k  e.  Lat  |  [. ( Base `  k
)  /  b ]. [. ( join `  k
)  /  j ]. [. ( meet `  k
)  /  m ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x m ( y j z ) )  =  ( ( x m y ) j ( x m z ) ) }
4543, 44elrab2 2938 1  |-  ( K  e. DLat 
<->  ( K  e.  Lat  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y 
.\/  z ) )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167  DLatcdlat 14310
This theorem is referenced by:  dlatmjdi  14313  dlatl  14314  odudlatb  14315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-dlat 14311
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