Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdomn Unicode version

Theorem isdomn 16134
 Description: Expand definition of a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn.b
isdomn.t
isdomn.z
Assertion
Ref Expression
isdomn Domn NzRing
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isdomn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5622 . . . 4
21a1i 10 . . 3
3 fveq2 5608 . . . 4
4 isdomn.b . . . 4
53, 4syl6eqr 2408 . . 3
6 fvex 5622 . . . . 5
76a1i 10 . . . 4
8 fveq2 5608 . . . . . 6
98adantr 451 . . . . 5
10 isdomn.z . . . . 5
119, 10syl6eqr 2408 . . . 4
12 simplr 731 . . . . 5
13 fveq2 5608 . . . . . . . . . . 11
14 isdomn.t . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl6eqr 2408 . . . . . . . . . 10
1615oveqd 5962 . . . . . . . . 9
1716adantr 451 . . . . . . . 8
18 id 19 . . . . . . . 8
1917, 18eqeqan12d 2373 . . . . . . 7
20 eqeq2 2367 . . . . . . . . 9
21 eqeq2 2367 . . . . . . . . 9
2220, 21orbi12d 690 . . . . . . . 8
2322adantl 452 . . . . . . 7
2419, 23imbi12d 311 . . . . . 6
2512, 24raleqbidv 2824 . . . . 5
2612, 25raleqbidv 2824 . . . 4
277, 11, 26sbcied2 3104 . . 3
282, 5, 27sbcied2 3104 . 2
29 df-domn 16124 . 2 Domn NzRing
3028, 29elrab2 3001 1 Domn NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  wral 2619  cvv 2864  wsbc 3067  cfv 5337  (class class class)co 5945  cbs 13245  cmulr 13306  c0g 13499  NzRingcnzr 16108  Domncdomn 16120 This theorem is referenced by:  domnnzr  16135  domneq0  16137  isdomn2  16139  opprdomn  16141  abvn0b  16142  znfld  16620  ply1domn  19613  fta1b  19659  isdomn3  26846 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-nul 4230 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-iota 5301  df-fv 5345  df-ov 5948  df-domn 16124
 Copyright terms: Public domain W3C validator