Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdomn Structured version   Unicode version

Theorem isdomn 16385
 Description: Expand definition of a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn.b
isdomn.t
isdomn.z
Assertion
Ref Expression
isdomn Domn NzRing
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isdomn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5771 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 fveq2 5757 . . . 4
4 isdomn.b . . . 4
53, 4syl6eqr 2492 . . 3
6 fvex 5771 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
8 fveq2 5757 . . . . . 6
98adantr 453 . . . . 5
10 isdomn.z . . . . 5
119, 10syl6eqr 2492 . . . 4
12 simplr 733 . . . . 5
13 fveq2 5757 . . . . . . . . . 10
14 isdomn.t . . . . . . . . . 10
1513, 14syl6eqr 2492 . . . . . . . . 9
1615proplem3 13947 . . . . . . . 8
17 id 21 . . . . . . . 8
1816, 17eqeqan12d 2457 . . . . . . 7
19 eqeq2 2451 . . . . . . . . 9
20 eqeq2 2451 . . . . . . . . 9
2119, 20orbi12d 692 . . . . . . . 8
2221adantl 454 . . . . . . 7
2318, 22imbi12d 313 . . . . . 6
2412, 23raleqbidv 2922 . . . . 5
2512, 24raleqbidv 2922 . . . 4
267, 11, 25sbcied2 3204 . . 3
272, 5, 26sbcied2 3204 . 2
28 df-domn 16375 . 2 Domn NzRing
2927, 28elrab2 3100 1 Domn NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  cvv 2962  wsbc 3167  cfv 5483  (class class class)co 6110  cbs 13500  cmulr 13561  c0g 13754  NzRingcnzr 16359  Domncdomn 16371 This theorem is referenced by:  domnnzr  16386  domneq0  16388  isdomn2  16390  opprdomn  16392  abvn0b  16393  znfld  16872  ply1domn  20077  fta1b  20123  isdomn3  27538 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-nul 4363 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-iota 5447  df-fv 5491  df-ov 6113  df-domn 16375
 Copyright terms: Public domain W3C validator