Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdomn2 Structured version   Unicode version

Theorem isdomn2 16351
 Description: A ring is a domain iff all nonzero elements are non-zero-divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn2.b
isdomn2.t RLReg
isdomn2.z
Assertion
Ref Expression
isdomn2 Domn NzRing

Proof of Theorem isdomn2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdomn2.b . . 3
2 eqid 2435 . . 3
3 isdomn2.z . . 3
41, 2, 3isdomn 16346 . 2 Domn NzRing
5 dfss3 3330 . . . 4
6 isdomn2.t . . . . . . . . 9 RLReg
76, 1, 2, 3isrrg 16340 . . . . . . . 8
87baib 872 . . . . . . 7
98imbi2d 308 . . . . . 6
109ralbiia 2729 . . . . 5
11 eldifsn 3919 . . . . . . . 8
1211imbi1i 316 . . . . . . 7
13 impexp 434 . . . . . . 7
1412, 13bitri 241 . . . . . 6
1514ralbii2 2725 . . . . 5
16 con34b 284 . . . . . . . . 9
17 impexp 434 . . . . . . . . . 10
18 ioran 477 . . . . . . . . . . 11
1918imbi1i 316 . . . . . . . . . 10
20 df-ne 2600 . . . . . . . . . . 11
21 con34b 284 . . . . . . . . . . 11
2220, 21imbi12i 317 . . . . . . . . . 10
2317, 19, 223bitr4i 269 . . . . . . . . 9
2416, 23bitri 241 . . . . . . . 8
2524ralbii 2721 . . . . . . 7
26 r19.21v 2785 . . . . . . 7
2725, 26bitri 241 . . . . . 6
2827ralbii 2721 . . . . 5
2910, 15, 283bitr4i 269 . . . 4
305, 29bitr2i 242 . . 3
3130anbi2i 676 . 2 NzRing NzRing
324, 31bitri 241 1 Domn NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697   cdif 3309   wss 3312  csn 3806  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461  cmulr 13522  c0g 13715  NzRingcnzr 16320  RLRegcrlreg 16331  Domncdomn 16332 This theorem is referenced by:  domnrrg  16352  drngdomn  16355 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-rlreg 16335  df-domn 16336
 Copyright terms: Public domain W3C validator