Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Structured version   Unicode version

Theorem isdrngd 15865
 Description: Properties that determine a division ring. (reciprocal) is normally dependent on i.e. read it as ." (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b
isdrngd.t
isdrngd.z
isdrngd.u
isdrngd.r
isdrngd.n
isdrngd.o
isdrngd.i
isdrngd.j
isdrngd.k
Assertion
Ref Expression
isdrngd
Distinct variable groups:   ,,   , ,   ,,   ,   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3
2 difss 3476 . . . . . 6
3 isdrngd.b . . . . . 6
42, 3syl5sseq 3398 . . . . 5
5 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrps mulGrps
6 eqid 2438 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
7 eqid 2438 . . . . . . 7
86, 7mgpbas 15659 . . . . . 6 mulGrp
95, 8ressbas2 13525 . . . . 5 mulGrps
104, 9syl 16 . . . 4 mulGrps
11 isdrngd.t . . . . 5
12 fvex 5745 . . . . . . 7
133, 12syl6eqel 2526 . . . . . 6
14 difexg 4354 . . . . . 6
15 eqid 2438 . . . . . . . 8
166, 15mgpplusg 15657 . . . . . . 7 mulGrp
175, 16ressplusg 13576 . . . . . 6 mulGrps
1813, 14, 173syl 19 . . . . 5 mulGrps
1911, 18eqtrd 2470 . . . 4 mulGrps
20 eldifsn 3929 . . . . 5
21 eldifsn 3929 . . . . . 6
227, 15rngcl 15682 . . . . . . . . . . . . 13
231, 22syl3an1 1218 . . . . . . . . . . . 12
24233expib 1157 . . . . . . . . . . 11
253eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12
263eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11
2811oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12
2928, 3eleq12d 2506 . . . . . . . . . . 11
3024, 27, 293imtr4d 261 . . . . . . . . . 10
31303impib 1152 . . . . . . . . 9
32313adant2r 1180 . . . . . . . 8
33323adant3r 1182 . . . . . . 7
34 isdrngd.n . . . . . . 7
35 eldifsn 3929 . . . . . . 7
3633, 34, 35sylanbrc 647 . . . . . 6
3721, 36syl3an3b 1223 . . . . 5
3820, 37syl3an2b 1222 . . . 4
39 eldifi 3471 . . . . . 6
40 eldifi 3471 . . . . . 6
41 eldifi 3471 . . . . . 6
4239, 40, 413anim123i 1140 . . . . 5
437, 15rngass 15685 . . . . . . . . 9
4443ex 425 . . . . . . . 8
451, 44syl 16 . . . . . . 7
463eleq2d 2505 . . . . . . . 8
4725, 26, 463anbi123d 1255 . . . . . . 7
48 eqidd 2439 . . . . . . . . 9
4911, 28, 48oveq123d 6105 . . . . . . . 8
50 eqidd 2439 . . . . . . . . 9
5111oveqd 6101 . . . . . . . . 9
5211, 50, 51oveq123d 6105 . . . . . . . 8
5349, 52eqeq12d 2452 . . . . . . 7
5445, 47, 533imtr4d 261 . . . . . 6
5554imp 420 . . . . 5
5642, 55sylan2 462 . . . 4
57 eqid 2438 . . . . . . . 8
587, 57rngidcl 15689 . . . . . . 7
591, 58syl 16 . . . . . 6
60 isdrngd.u . . . . . 6
6159, 60, 33eltr4d 2519 . . . . 5
62 isdrngd.o . . . . 5
63 eldifsn 3929 . . . . 5
6461, 62, 63sylanbrc 647 . . . 4
657, 15, 57rnglidm 15692 . . . . . . . . . 10
6665ex 425 . . . . . . . . 9
671, 66syl 16 . . . . . . . 8
6811, 60, 50oveq123d 6105 . . . . . . . . 9
6968eqeq1d 2446 . . . . . . . 8
7067, 25, 693imtr4d 261 . . . . . . 7
7170imp 420 . . . . . 6
7271adantrr 699 . . . . 5
7320, 72sylan2b 463 . . . 4
74 isdrngd.i . . . . . 6
75 isdrngd.j . . . . . 6
76 eldifsn 3929 . . . . . 6
7774, 75, 76sylanbrc 647 . . . . 5
7820, 77sylan2b 463 . . . 4
79 isdrngd.k . . . . 5
8020, 79sylan2b 463 . . . 4
8110, 19, 38, 56, 64, 73, 78, 80isgrpd 14835 . . 3 mulGrps
82 isdrngd.z . . . . . . . 8
8382sneqd 3829 . . . . . . 7
843, 83difeq12d 3468 . . . . . 6
8584oveq2d 6100 . . . . 5 mulGrps mulGrps
8685eleq1d 2504 . . . 4 mulGrps mulGrps
8786anbi2d 686 . . 3 mulGrps mulGrps
881, 81, 87mpbi2and 889 . 2 mulGrps
89 eqid 2438 . . 3
90 eqid 2438 . . 3 mulGrps mulGrps
917, 89, 90isdrng2 15850 . 2 mulGrps
9288, 91sylibr 205 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  csn 3816  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   ↾s cress 13475   cplusg 13534  cmulr 13535  c0g 13728  cgrp 14690  mulGrpcmgp 15653  crg 15665  cur 15667  cdr 15840 This theorem is referenced by:  isdrngrd  15866  cndrng  16735  erngdvlem4  31862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842
 Copyright terms: Public domain W3C validator