Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrngd Unicode version

Theorem isdrngd 15636
 Description: Properties that determine a division ring. (reciprocal) is normally dependent on i.e. read it as ." (Contributed by NM, 2-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrngd.b
isdrngd.t
isdrngd.z
isdrngd.u
isdrngd.r
isdrngd.n
isdrngd.o
isdrngd.i
isdrngd.j
isdrngd.k
Assertion
Ref Expression
isdrngd
Distinct variable groups:   ,,   , ,   ,,   ,   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isdrngd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrngd.r . . 3
2 difss 3379 . . . . . 6
3 isdrngd.b . . . . . 6
42, 3syl5sseq 3302 . . . . 5
5 eqid 2358 . . . . . 6 mulGrps mulGrps
6 eqid 2358 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
7 eqid 2358 . . . . . . 7
86, 7mgpbas 15430 . . . . . 6 mulGrp
95, 8ressbas2 13296 . . . . 5 mulGrps
104, 9syl 15 . . . 4 mulGrps
11 isdrngd.t . . . . 5
12 fvex 5622 . . . . . . 7
133, 12syl6eqel 2446 . . . . . 6
14 difexg 4243 . . . . . 6
15 eqid 2358 . . . . . . . 8
166, 15mgpplusg 15428 . . . . . . 7 mulGrp
175, 16ressplusg 13347 . . . . . 6 mulGrps
1813, 14, 173syl 18 . . . . 5 mulGrps
1911, 18eqtrd 2390 . . . 4 mulGrps
20 eldifsn 3825 . . . . 5
21 eldifsn 3825 . . . . . 6
227, 15rngcl 15453 . . . . . . . . . . . . 13
231, 22syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . 12
24233expib 1154 . . . . . . . . . . 11
253eleq2d 2425 . . . . . . . . . . . 12
263eleq2d 2425 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11
2811oveqd 5962 . . . . . . . . . . . 12
2928, 3eleq12d 2426 . . . . . . . . . . 11
3024, 27, 293imtr4d 259 . . . . . . . . . 10
31303impib 1149 . . . . . . . . 9
32313adant2r 1177 . . . . . . . 8
33323adant3r 1179 . . . . . . 7
34 isdrngd.n . . . . . . 7
35 eldifsn 3825 . . . . . . 7
3633, 34, 35sylanbrc 645 . . . . . 6
3721, 36syl3an3b 1220 . . . . 5
3820, 37syl3an2b 1219 . . . 4
39 eldifi 3374 . . . . . 6
40 eldifi 3374 . . . . . 6
41 eldifi 3374 . . . . . 6
4239, 40, 413anim123i 1137 . . . . 5
437, 15rngass 15456 . . . . . . . . 9
4443ex 423 . . . . . . . 8
451, 44syl 15 . . . . . . 7
463eleq2d 2425 . . . . . . . 8
4725, 26, 463anbi123d 1252 . . . . . . 7
48 eqidd 2359 . . . . . . . . 9
4911, 28, 48oveq123d 5966 . . . . . . . 8
50 eqidd 2359 . . . . . . . . 9
5111oveqd 5962 . . . . . . . . 9
5211, 50, 51oveq123d 5966 . . . . . . . 8
5349, 52eqeq12d 2372 . . . . . . 7
5445, 47, 533imtr4d 259 . . . . . 6
5554imp 418 . . . . 5
5642, 55sylan2 460 . . . 4
57 eqid 2358 . . . . . . . 8
587, 57rngidcl 15460 . . . . . . 7
591, 58syl 15 . . . . . 6
60 isdrngd.u . . . . . . 7
6160, 3eleq12d 2426 . . . . . 6
6259, 61mpbird 223 . . . . 5
63 isdrngd.o . . . . 5
64 eldifsn 3825 . . . . 5
6562, 63, 64sylanbrc 645 . . . 4
667, 15, 57rnglidm 15463 . . . . . . . . . 10
6766ex 423 . . . . . . . . 9
681, 67syl 15 . . . . . . . 8
6911, 60, 50oveq123d 5966 . . . . . . . . 9
7069eqeq1d 2366 . . . . . . . 8
7168, 25, 703imtr4d 259 . . . . . . 7
7271imp 418 . . . . . 6
7372adantrr 697 . . . . 5
7420, 73sylan2b 461 . . . 4
75 isdrngd.i . . . . . 6
76 isdrngd.j . . . . . 6
77 eldifsn 3825 . . . . . 6
7875, 76, 77sylanbrc 645 . . . . 5
7920, 78sylan2b 461 . . . 4
80 isdrngd.k . . . . 5
8120, 80sylan2b 461 . . . 4
8210, 19, 38, 56, 65, 74, 79, 81isgrpd 14606 . . 3 mulGrps
83 isdrngd.z . . . . . . . 8
8483sneqd 3729 . . . . . . 7
853, 84difeq12d 3371 . . . . . 6
8685oveq2d 5961 . . . . 5 mulGrps mulGrps
8786eleq1d 2424 . . . 4 mulGrps mulGrps
8887anbi2d 684 . . 3 mulGrps mulGrps
891, 82, 88mpbi2and 887 . 2 mulGrps
90 eqid 2358 . . 3
91 eqid 2358 . . 3 mulGrps mulGrps
927, 90, 91isdrng2 15621 . 2 mulGrps
9389, 92sylibr 203 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  cvv 2864   cdif 3225   wss 3228  csn 3716  cfv 5337  (class class class)co 5945  cbs 13245   ↾s cress 13246   cplusg 13305  cmulr 13306  c0g 13499  cgrp 14461  mulGrpcmgp 15424  crg 15436  cur 15438  cdr 15611 This theorem is referenced by:  isdrngrd  15637  cndrng  16509  erngdvlem4  31249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-dvr 15564  df-drng 15613
 Copyright terms: Public domain W3C validator