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Theorem isdrngo2 26692
Description: A division ring is a ring in which  1  =/=  0 and every nonzero element is invertible. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
isdivrng1.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
isdivrng1.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
isdivrng1.3  |-  Z  =  (GId `  G )
isdivrng1.4  |-  X  =  ran  G
isdivrng2.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
isdrngo2  |-  ( R  e.  DivRingOps 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
Distinct variable groups:    x, H, y    x, X, y    x, Z, y    x, R, y   
x, U, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem isdrngo2
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdivrng1.1 . . 3  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 isdivrng1.2 . . 3  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 isdivrng1.3 . . 3  |-  Z  =  (GId `  G )
4 isdivrng1.4 . . 3  |-  X  =  ran  G
51, 2, 3, 4isdrngo1 26690 . 2  |-  ( R  e.  DivRingOps 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp ) )
6 isdivrng2.5 . . . . . . 7  |-  U  =  (GId `  H )
71, 2, 4, 3, 6dvrunz 21116 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)
85, 7sylbir 204 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  U  =/= 
Z )
9 grporndm 20893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  ->  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  =  dom  dom  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )
109adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ran  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  dom  dom  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
11 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X 
\  { Z }
)  C_  X
12 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  \  { Z } )  C_  X  /\  ( X  \  { Z } )  C_  X
)  ->  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) )  C_  ( X  X.  X ) )
1311, 11, 12mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  C_  ( X  X.  X )
141, 2, 4rngosm 21064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
15 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  H  =  ( X  X.  X ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  RingOps  ->  dom  H  =  ( X  X.  X
) )
1713, 16syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) )  C_  dom  H )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  C_  dom  H )
19 ssdmres 4993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  C_  dom  H  <->  dom  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
2018, 19sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  dom  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
2120dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  dom  dom  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  dom  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )
22 dmxpid 4914 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) )  =  ( X  \  { Z } )
2321, 22syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  dom  dom  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  ( X  \  { Z } ) )
2410, 23eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ran  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  ( X  \  { Z } ) )
2524eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  <-> 
x  e.  ( X 
\  { Z }
) ) )
2625biimpar 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
27 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  =  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  ( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )
2927, 28grpoinvcl 20909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  ->  ( ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) `
 x )  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
3029adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ) `  x )  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )
31 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  (GId `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )
3227, 31, 28grpolinv 20911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  ->  ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ) `  x ) ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) )
3332adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) )
342rngomndo 21104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H  e. MndOp )
35 mndomgmid 21025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  e. MndOp  ->  H  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  H  e.  ( Magma  i^i  ExId  )
)
3811, 4sseqtri 3223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X 
\  { Z }
)  C_  ran  G
392, 1rngorn1eq 21103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ran  G  =  ran  H )
4038, 39syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  \  { Z } )  C_  ran  H )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( X 
\  { Z }
)  C_  ran  H )
421rneqi 4921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  G  =  ran  ( 1st `  R
)
434, 42eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  =  ran  ( 1st `  R
)
4443, 2, 6rngo1cl 21112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  U  e.  X
)
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  U  e.  X )
46 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( X  \  { Z } )  <->  ( U  e.  X  /\  U  =/= 
Z ) )
4745, 8, 46sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  U  e.  ( X  \  { Z } ) )
48 grpomndo 21029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  ->  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e. MndOp )
49 mndoismgm 21024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. MndOp  ->  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
Magma )
5048, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp  ->  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  Magma )
5150adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  Magma )
52 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  H  =  ran  H
53 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  =  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
5452, 6, 53exidresid 26672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( H  e.  (
Magma  i^i  ExId  )  /\  ( X  \  { Z } )  C_  ran  H  /\  U  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
Magma )  ->  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  U )
5537, 41, 47, 51, 54syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  (GId `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) )  =  U )
5655adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  (GId `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) )  =  U )
5733, 56eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U )
58 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) `
 x )  -> 
( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x ) )
5958eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( inv `  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ) `
 x )  -> 
( ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  ( (
( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U ) )
6059rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ) `
 x )  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  /\  ( ( ( inv `  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ) `  x ) ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  U )  ->  E. y  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U )
6130, 57, 60syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) )  ->  E. y  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U )
6226, 61syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. y  e.  ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U )
6324adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ran  ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  =  ( X  \  { Z } ) )
6463rexeqdv 2756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U ) )
65 ovres 6003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  ( y H x ) )
6665ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  y  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  ( y H x ) )
6766eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  y  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  ( y H x )  =  U ) )
6867rexbidva 2573 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )
6968adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )
7064, 69bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e. 
ran  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( y ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H x )  =  U ) )
7162, 70mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  /\  x  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H x )  =  U )
7271ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )
738, 72jca 518 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  ->  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )
74 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st `  R )  e.  _V
751, 74eqeltri 2366 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
7675rnex 4958 . . . . . . 7  |-  ran  G  e.  _V
774, 76eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
78 difexg 4178 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  \  { Z }
)  e.  _V )
7977, 78mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( X  \  { Z } )  e.  _V )
80 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( H : ( X  X.  X ) --> X  ->  H  Fn  ( X  X.  X ) )
8114, 80syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RingOps  ->  H  Fn  ( X  X.  X ) )
8281adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  ->  H  Fn  ( X  X.  X ) )
83 fnssres 5373 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Fn  ( X  X.  X )  /\  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) )  C_  ( X  X.  X
) )  ->  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  Fn  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
8482, 13, 83sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  Fn  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )
85 ovres 6003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) v )  =  ( u H v ) )
8685adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) v )  =  ( u H v ) )
87 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  ->  u  e.  X )
88 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
v  e.  X )
8987, 88anim12i 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )
901, 2, 4rngocl 21065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  (
u H v )  e.  X )
91903expb 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X )
)  ->  ( u H v )  e.  X )
9289, 91sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  X
)
9392adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  X
)
94 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  (
y H x )  =  ( y H u ) )
9594eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( y H x )  =  U  <->  ( y H u )  =  U ) )
9695rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H x )  =  U  <->  E. y  e.  ( X  \  { Z }
) ( y H u )  =  U ) )
9796rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  ->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )
9897imdistanri 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) ) )
99 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( X  \  { Z } )  <->  ( v  e.  X  /\  v  =/=  Z ) )
100 ssrexv 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  \  { Z } )  C_  X  ->  ( E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U  ->  E. y  e.  X  ( y H u )  =  U ) )
10111, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U  ->  E. y  e.  X  ( y H u )  =  U )
1021, 2, 3, 4, 6zerdivemp1x 26689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X  /\  E. y  e.  X  ( y H u )  =  U )  ->  (
v  e.  X  -> 
( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
103101, 102syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )  ->  (
v  e.  X  -> 
( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
10487, 103syl3an2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  ( X  \  { Z } )  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )  ->  ( v  e.  X  ->  ( (
u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
1051043expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  -> 
( v  e.  X  ->  ( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) ) )
106105imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  v  e.  X )  ->  ( ( u H v )  =  Z  ->  v  =  Z ) )
107106necon3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  v  e.  X )  ->  ( v  =/=  Z  ->  ( u H v )  =/=  Z ) )
108107impr 602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  ( v  e.  X  /\  v  =/=  Z
) )  ->  (
u H v )  =/=  Z )
10999, 108sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U ) )  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( u H v )  =/= 
Z )
110109an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  /\  E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U ) )  ->  (
u H v )  =/=  Z )
111110ancom2s 777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
11298, 111sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) )  /\  ( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
113112an42s 800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A. x  e.  ( X 
\  { Z }
) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
114113adantlrl 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  =/=  Z
)
115 eldifsn 3762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u H v )  e.  ( X  \  { Z } )  <->  ( (
u H v )  e.  X  /\  (
u H v )  =/=  Z ) )
11693, 114, 115sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  ( X  \  { Z } ) )
11786, 116eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) v )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
118117ralrimivva 2648 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  ->  A. u  e.  ( X  \  { Z }
) A. v  e.  ( X  \  { Z } ) ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
119 ffnov 5964 . . . . . 6  |-  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } )  <->  ( ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  Fn  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) )  /\  A. u  e.  ( X 
\  { Z }
) A. v  e.  ( X  \  { Z } ) ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v )  e.  ( X 
\  { Z }
) ) )
12084, 118, 119sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } ) )
1211163adantr3 1116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H v )  e.  ( X  \  { Z } ) )
122 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  w  e.  ( X  \  { Z } ) )
123121, 122ovresd 6004 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u H v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  =  ( ( u H v ) H w ) )
124853adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) v )  =  ( u H v ) )
125124adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) v )  =  ( u H v ) )
126125oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( ( u H v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )
127 ovres 6003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( v H w ) )
1281273adant1 973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( v H w ) )
129128adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  =  ( v H w ) )
130129oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u H ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )  =  ( u H ( v H w ) ) )
131 simpr1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  u  e.  ( X  \  { Z } ) )
132 fovrn 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } )  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  e.  ( X  \  { Z } ) )
1331323adant3r1 1160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) : ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) --> ( X  \  { Z } )  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
134120, 133sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) w )  e.  ( X 
\  { Z }
) )
135131, 134ovresd 6004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )  =  ( u H ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) ) )
136 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( X  \  { Z } )  ->  w  e.  X )
13787, 88, 1363anim123i 1137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( u  e.  X  /\  v  e.  X  /\  w  e.  X
) )
1381, 2, 4rngoass 21070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  X  /\  v  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
u H v ) H w )  =  ( u H ( v H w ) ) )
139137, 138sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u H v ) H w )  =  ( u H ( v H w ) ) )
140139adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u H v ) H w )  =  ( u H ( v H w ) ) )
141130, 135, 1403eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) )  =  ( ( u H v ) H w ) )
142123, 126, 1413eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  ( u  e.  ( X  \  { Z }
)  /\  v  e.  ( X  \  { Z } )  /\  w  e.  ( X  \  { Z } ) ) )  ->  ( ( u ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) v ) ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w )  =  ( u ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) ( v ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) w ) ) )
14344anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  ( U  e.  X  /\  U  =/=  Z ) )
144143, 46sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  U  e.  ( X  \  { Z } ) )
145144adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  ->  U  e.  ( X  \  { Z } ) )
146 ovres 6003 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( U ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) u )  =  ( U H u ) )
147144, 146sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  ( U H u ) )
1482, 43, 6rngolidm 21107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  X )  ->  ( U H u )  =  u )
14987, 148sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( U H u )  =  u )
150149adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U H u )  =  u )
151147, 150eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  u )
152151adantlrr 701 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  ( U
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  u )
15396rspcva 2895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  ->  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )
154 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y H u )  =  ( z H u ) )
155154eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( y H u )  =  U  <->  ( z H u )  =  U ) )
156155cbvrexv 2778 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  ( X 
\  { Z }
) ( y H u )  =  U  <->  E. z  e.  ( X  \  { Z }
) ( z H u )  =  U )
157 ovres 6003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) ) u )  =  ( z H u ) )
158157eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U  <->  ( z H u )  =  U ) )
159158ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  z  e.  ( X  \  { Z } ) )  -> 
( ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U  <->  ( z H u )  =  U ) )
160159rexbidva 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( X  \  { Z } )  -> 
( E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U  <->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z H u )  =  U ) )
161160biimpar 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z H u )  =  U )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
162156, 161sylan2b 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H u )  =  U )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
163153, 162syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( X 
\  { Z }
)  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
164163ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z }
) ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U )
165164adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A. x  e.  ( X 
\  { Z }
) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z }
) ( z ( H  |`  ( ( X  \  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) ) u )  =  U )
166165adantlrl 700 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  /\  u  e.  ( X  \  { Z } ) )  ->  E. z  e.  ( X  \  { Z } ) ( z ( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) ) u )  =  U )
16779, 120, 142, 145, 152, 166isgrpda 20980 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) )  -> 
( H  |`  (
( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )
16873, 167impbida 805 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp 
<->  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
169168pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( H  |`  ( ( X 
\  { Z }
)  X.  ( X 
\  { Z }
) ) )  e. 
GrpOp )  <->  ( R  e.  RingOps 
/\  ( U  =/= 
Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
1705, 169bitri 240 1  |-  ( R  e.  DivRingOps 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  ( U  =/=  Z  /\  A. x  e.  ( X  \  { Z } ) E. y  e.  ( X  \  { Z } ) ( y H x )  =  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   GrpOpcgr 20869  GIdcgi 20870   invcgn 20871    ExId cexid 20997   Magmacmagm 21001  MndOpcmndo 21020   RingOpscrngo 21058   DivRingOpscdrng 21088
This theorem is referenced by:  isdrngo3  26693  divrngidl  26756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-ablo 20965  df-ass 20996  df-exid 20998  df-mgm 21002  df-sgr 21014  df-mndo 21021  df-rngo 21059  df-drngo 21089
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