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Theorem isdrs 14068
Description: Property of being a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrs.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isdrs.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
isdrs  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\  B  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  (
x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    x, B, y, z    x,  .<_ , y, z

Proof of Theorem isdrs
Dummy variables  f 
b  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  K
) )
2 isdrs.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
31, 2syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  B )
4 dfsbcq 2993 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  f )  =  B  ->  ( [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  f )  / 
r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  ( x r z  /\  y r z ) )  <->  [. B  / 
b ]. [. ( le
`  f )  / 
r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  ( x r z  /\  y r z ) ) ) )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) )  <->  [. B  /  b ]. [. ( le `  f )  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) ) ) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  K  ->  ( le `  f )  =  ( le `  K
) )
7 isdrs.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
86, 7syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( f  =  K  ->  ( le `  f )  = 
.<_  )
9 dfsbcq 2993 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  f )  =  .<_  ->  ( [. ( le `  f )  /  r ]. (
b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) )  <->  [.  .<_  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) ) ) )
108, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) )  <->  [.  .<_  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) ) ) )
1110sbcbidv 3045 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( [. B  /  b ]. [. ( le `  f )  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) )  <->  [. B  /  b ]. [.  .<_  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) ) ) )
125, 11bitrd 244 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) )  <->  [. B  /  b ]. [.  .<_  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) ) ) )
13 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
142, 13eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
15 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
167, 15eqeltri 2353 . . . . 5  |-  .<_  e.  _V
17 neeq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  =/=  (/)  <->  B  =/=  (/) ) )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( b  =  B  /\  r  =  .<_  )  -> 
( b  =/=  (/)  <->  B  =/=  (/) ) )
19 rexeq 2737 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( E. z  e.  b 
( x r z  /\  y r z )  <->  E. z  e.  B  ( x r z  /\  y r z ) ) )
2019raleqbi1dv 2744 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  E. z  e.  b 
( x r z  /\  y r z )  <->  A. y  e.  B  E. z  e.  B  ( x r z  /\  y r z ) ) )
2120raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b 
( x r z  /\  y r z )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  ( x r z  /\  y r z ) ) )
22 breq 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r z  <->  x  .<_  z ) )
23 breq 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r z  <->  y  .<_  z ) )
2422, 23anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r z  /\  y r z )  <-> 
( x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) )
2524rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  .<_  ->  ( E. z  e.  B  ( x r z  /\  y r z )  <->  E. z  e.  B  ( x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) )
26252ralbidv 2585 . . . . . . 7  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  (
x r z  /\  y r z )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  ( x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) )
2721, 26sylan9bb 680 . . . . . 6  |-  ( ( b  =  B  /\  r  =  .<_  )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  ( x r z  /\  y r z )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  ( x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) )
2818, 27anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( b  =  B  /\  r  =  .<_  )  -> 
( ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  ( x r z  /\  y r z ) )  <->  ( B  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  ( x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) ) )
2914, 16, 28sbc2ie 3058 . . . 4  |-  ( [. B  /  b ]. [.  .<_  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  ( x
r z  /\  y
r z ) )  <-> 
( B  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  (
x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) )
3012, 29syl6bb 252 . . 3  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  (
x r z  /\  y r z ) )  <->  ( B  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  ( x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) ) )
31 df-drs 14063 . . 3  |- Dirset  =  {
f  e.  Preset  |  [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  f )  / 
r ]. ( b  =/=  (/)  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  E. z  e.  b  ( x r z  /\  y r z ) ) }
3230, 31elrab2 2925 . 2  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\  ( B  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  (
x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) ) )
33 3anass 938 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  B  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  ( x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) )  <->  ( K  e.  Preset  /\  ( B  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  ( x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) ) )
3432, 33bitr4i 243 1  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\  B  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  E. z  e.  B  (
x  .<_  z  /\  y  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215    Preset cpreset 14060  Dirsetcdrs 14061
This theorem is referenced by:  drsdir  14069  drsprs  14070  drsbn0  14071  isdrs2  14073  isipodrs  14264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-drs 14063
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