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Theorem isdrs2 14398
Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
drsdirfi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
isdrs2  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    x, B, y, z    x,  .<_ , y, z

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 14395 . . 3  |-  ( K  e. Dirset  ->  K  e.  Preset  )
2 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  K  e. Dirset )
3 inss1 3563 . . . . . . . 8  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
~P B
43sseli 3346 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P B )
54elpwid 3810 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  C_  B )
65adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  B )
7 inss2 3564 . . . . . . 7  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
Fin
87sseli 3346 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
98adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
10 drsbn0.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 drsdirfi.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
1210, 11drsdirfi 14397 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  C_  B  /\  x  e. 
Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
132, 6, 9, 12syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
1413ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( K  e. Dirset  ->  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
151, 14jca 520 . 2  |-  ( K  e. Dirset  ->  ( K  e. 
Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
16 simpl 445 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  K  e.  Preset  )
17 0elpw 4371 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P B
18 0fin 7338 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
19 elin 3532 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P B  /\  (/)  e.  Fin )
)
2017, 18, 19mpbir2an 888 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
21 raleq 2906 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2221rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2322rspcv 3050 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2420, 23ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
25 rexn0 3732 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y  ->  B  =/=  (/) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  B  =/=  (/) )
2726adantl 454 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  B  =/=  (/) )
28 prelpwi 4413 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ~P B
)
29 prfi 7383 . . . . . . . . 9  |-  { a ,  b }  e.  Fin
3029a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  Fin )
31 elin 3532 . . . . . . . 8  |-  ( { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( {
a ,  b }  e.  ~P B  /\  { a ,  b }  e.  Fin ) )
3228, 30, 31sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
3332adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
34 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
35 raleq 2906 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { a ,  b }  ->  ( A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y ) )
3635rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { a ,  b }  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y ) )
3736rspcva 3052 . . . . . 6  |-  ( ( { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y )
3833, 34, 37syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y )
39 vex 2961 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
40 vex 2961 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
41 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  (
z  .<_  y  <->  a  .<_  y ) )
42 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  (
z  .<_  y  <->  b  .<_  y ) )
4339, 40, 41, 42ralpr 3863 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y  <->  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4443rexbii 2732 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y  <->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4538, 44sylib 190 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4645ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4710, 11isdrs 14393 . . 3  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. y  e.  B  (
a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) ) )
4816, 27, 46, 47syl3anbrc 1139 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  K  e. Dirset )
4915, 48impbii 182 1  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {cpr 3817   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   Fincfn 7111   Basecbs 13471   lecple 13538    Preset cpreset 14385  Dirsetcdrs 14386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-preset 14387  df-drs 14388
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