Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs2 Unicode version

Theorem isdrs2 14089
 Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b
drsdirfi.l
Assertion
Ref Expression
isdrs2 Dirset
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   , ,,

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 14086 . . 3 Dirset
2 simpl 443 . . . . 5 Dirset Dirset
3 inss1 3402 . . . . . . . 8
43sseli 3189 . . . . . . 7
5 elpwi 3646 . . . . . . 7
64, 5syl 15 . . . . . 6
76adantl 452 . . . . 5 Dirset
8 inss2 3403 . . . . . . 7
98sseli 3189 . . . . . 6
109adantl 452 . . . . 5 Dirset
11 drsbn0.b . . . . . 6
12 drsdirfi.l . . . . . 6
1311, 12drsdirfi 14088 . . . . 5 Dirset
142, 7, 10, 13syl3anc 1182 . . . 4 Dirset
1514ralrimiva 2639 . . 3 Dirset
161, 15jca 518 . 2 Dirset
17 simpl 443 . . 3
18 0elpw 4196 . . . . . . 7
19 0fin 7103 . . . . . . 7
20 elin 3371 . . . . . . 7
2118, 19, 20mpbir2an 886 . . . . . 6
22 raleq 2749 . . . . . . . 8
2322rexbidv 2577 . . . . . . 7
2423rspcv 2893 . . . . . 6
2521, 24ax-mp 8 . . . . 5
26 rexn0 3569 . . . . 5
2725, 26syl 15 . . . 4
29 prssi 3787 . . . . . . . . 9
30 zfpair 4228 . . . . . . . . . 10
3130elpw 3644 . . . . . . . . 9
3229, 31sylibr 203 . . . . . . . 8
33 prfi 7147 . . . . . . . . 9
3433a1i 10 . . . . . . . 8
35 elin 3371 . . . . . . . 8
3632, 34, 35sylanbrc 645 . . . . . . 7
3736adantl 452 . . . . . 6
38 simplr 731 . . . . . 6
39 raleq 2749 . . . . . . . 8
4039rexbidv 2577 . . . . . . 7
4140rspcva 2895 . . . . . 6
4237, 38, 41syl2anc 642 . . . . 5
43 vex 2804 . . . . . . 7
44 vex 2804 . . . . . . 7
45 breq1 4042 . . . . . . 7
46 breq1 4042 . . . . . . 7
4743, 44, 45, 46ralpr 3699 . . . . . 6
4847rexbii 2581 . . . . 5
4942, 48sylib 188 . . . 4
5049ralrimivva 2648 . . 3
5111, 12isdrs 14084 . . 3 Dirset
5217, 28, 50, 51syl3anbrc 1136 . 2 Dirset
5316, 52impbii 180 1 Dirset
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  cpr 3654   class class class wbr 4039  cfv 5271  cfn 6879  cbs 13164  cple 13231   cpreset 14076  Dirsetcdrs 14077 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-preset 14078  df-drs 14079
 Copyright terms: Public domain W3C validator