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Theorem isdrs2 14089
Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
drsdirfi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
isdrs2  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    x, B, y, z    x,  .<_ , y, z

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 14086 . . 3  |-  ( K  e. Dirset  ->  K  e.  Preset  )
2 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  K  e. Dirset )
3 inss1 3402 . . . . . . . 8  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
~P B
43sseli 3189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P B )
5 elpwi 3646 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  C_  B )
76adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  B )
8 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
Fin
98sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
109adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
11 drsbn0.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 drsdirfi.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
1311, 12drsdirfi 14088 . . . . 5  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  C_  B  /\  x  e. 
Fin )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
142, 7, 10, 13syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
1514ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( K  e. Dirset  ->  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
161, 15jca 518 . 2  |-  ( K  e. Dirset  ->  ( K  e. 
Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
17 simpl 443 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  K  e.  Preset  )
18 0elpw 4196 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P B
19 0fin 7103 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
20 elin 3371 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P B  /\  (/)  e.  Fin )
)
2118, 19, 20mpbir2an 886 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
22 raleq 2749 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2322rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2423rspcv 2893 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y ) )
2521, 24ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y )
26 rexn0 3569 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  (/)  z  .<_  y  ->  B  =/=  (/) )
2725, 26syl 15 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  ->  B  =/=  (/) )
2827adantl 452 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  B  =/=  (/) )
29 prssi 3787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  C_  B )
30 zfpair 4228 . . . . . . . . . 10  |-  { a ,  b }  e.  _V
3130elpw 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( { a ,  b }  e.  ~P B  <->  { a ,  b }  C_  B )
3229, 31sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ~P B
)
33 prfi 7147 . . . . . . . . 9  |-  { a ,  b }  e.  Fin
3433a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  Fin )
35 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( {
a ,  b }  e.  ~P B  /\  { a ,  b }  e.  Fin ) )
3632, 34, 35sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
3736adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
38 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )
39 raleq 2749 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { a ,  b }  ->  ( A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y ) )
4039rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { a ,  b }  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y ) )
4140rspcva 2895 . . . . . 6  |-  ( ( { a ,  b }  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y )
4237, 38, 41syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z  .<_  y )
43 vex 2804 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
44 vex 2804 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
45 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( z  =  a  ->  (
z  .<_  y  <->  a  .<_  y ) )
46 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  (
z  .<_  y  <->  b  .<_  y ) )
4743, 44, 45, 46ralpr 3699 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y  <->  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4847rexbii 2581 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  A. z  e.  { a ,  b } z 
.<_  y  <->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
4942, 48sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B
) )  ->  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
5049ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. y  e.  B  ( a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) )
5111, 12isdrs 14084 . . 3  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. y  e.  B  (
a  .<_  y  /\  b  .<_  y ) ) )
5217, 28, 50, 51syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y )  ->  K  e. Dirset )
5316, 52impbii 180 1  |-  ( K  e. Dirset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) E. y  e.  B  A. z  e.  x  z  .<_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {cpr 3654   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Fincfn 6879   Basecbs 13164   lecple 13231    Preset cpreset 14076  Dirsetcdrs 14077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-preset 14078  df-drs 14079
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