Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdrs2 Structured version   Unicode version

Theorem isdrs2 14398
 Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b
drsdirfi.l
Assertion
Ref Expression
isdrs2 Dirset
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   , ,,

Proof of Theorem isdrs2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drsprs 14395 . . 3 Dirset
2 simpl 445 . . . . 5 Dirset Dirset
3 inss1 3563 . . . . . . . 8
43sseli 3346 . . . . . . 7
54elpwid 3810 . . . . . 6
65adantl 454 . . . . 5 Dirset
7 inss2 3564 . . . . . . 7
87sseli 3346 . . . . . 6
98adantl 454 . . . . 5 Dirset
10 drsbn0.b . . . . . 6
11 drsdirfi.l . . . . . 6
1210, 11drsdirfi 14397 . . . . 5 Dirset
132, 6, 9, 12syl3anc 1185 . . . 4 Dirset
1413ralrimiva 2791 . . 3 Dirset
151, 14jca 520 . 2 Dirset
16 simpl 445 . . 3
17 0elpw 4371 . . . . . . 7
18 0fin 7338 . . . . . . 7
19 elin 3532 . . . . . . 7
2017, 18, 19mpbir2an 888 . . . . . 6
21 raleq 2906 . . . . . . . 8
2221rexbidv 2728 . . . . . . 7
2322rspcv 3050 . . . . . 6
2420, 23ax-mp 8 . . . . 5
25 rexn0 3732 . . . . 5
2624, 25syl 16 . . . 4
28 prelpwi 4413 . . . . . . . 8
29 prfi 7383 . . . . . . . . 9
3029a1i 11 . . . . . . . 8
31 elin 3532 . . . . . . . 8
3228, 30, 31sylanbrc 647 . . . . . . 7
3332adantl 454 . . . . . 6
34 simplr 733 . . . . . 6
35 raleq 2906 . . . . . . . 8
3635rexbidv 2728 . . . . . . 7
3736rspcva 3052 . . . . . 6
3833, 34, 37syl2anc 644 . . . . 5
39 vex 2961 . . . . . . 7
40 vex 2961 . . . . . . 7
41 breq1 4217 . . . . . . 7
42 breq1 4217 . . . . . . 7
4339, 40, 41, 42ralpr 3863 . . . . . 6
4443rexbii 2732 . . . . 5
4538, 44sylib 190 . . . 4
4645ralrimivva 2800 . . 3
4710, 11isdrs 14393 . . 3 Dirset
4816, 27, 46, 47syl3anbrc 1139 . 2 Dirset
4915, 48impbii 182 1 Dirset
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  cpr 3817   class class class wbr 4214  cfv 5456  cfn 7111  cbs 13471  cple 13538   cpreset 14385  Dirsetcdrs 14386 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-fin 7115  df-preset 14387  df-drs 14388
 Copyright terms: Public domain W3C validator