MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isepi Structured version   Unicode version

Theorem isepi 13968
Description: Definition of an epimorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isepi  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, B    C, g, z    g, H, z    .x. , g, z   
g, X, z    g, F, z    ph, g, z   
g, Y, z
Allowed substitution hints:    E( z, g)

Proof of Theorem isepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 isepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 13946 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2438 . . 3  |-  (  Hom  `  (oppCat `  C )
)  =  (  Hom  `  (oppCat `  C )
)
5 eqid 2438 . . 3  |-  (comp `  (oppCat `  C ) )  =  (comp `  (oppCat `  C ) )
6 eqid 2438 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
7 isepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
81oppccat 13950 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
10 isepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
11 isepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
123, 4, 5, 6, 9, 10, 11ismon 13961 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  <->  ( F  e.  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C )
) X )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) ) ) ) )
13 isepi.e . . . 4  |-  E  =  (Epi `  C )
141, 7, 6, 13oppcmon 13966 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1514eleq2d 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  <->  F  e.  ( X E Y ) ) )
16 isepi.h . . . . . 6  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
1716, 1oppchom 13943 . . . . 5  |-  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X H Y )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C )
) X )  =  ( X H Y ) )
1918eleq2d 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) X )  <->  F  e.  ( X H Y ) ) )
2016, 1oppchom 13943 . . . . . . . 8  |-  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y H z )
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y H z ) )
22 isepi.o . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (comp `  C )
23 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
2410adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  Y  e.  B )
2511adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  X  e.  B )
262, 22, 1, 23, 24, 25oppcco 13945 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F ( <. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C ) ) X ) g )  =  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
2721, 26mpteq12dv 4289 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) )  =  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )
2827cnveqd 5050 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) )  =  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )
2928funeqd 5477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C )
) Y )  |->  ( F ( <. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C ) ) X ) g ) )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
3029ralbidva 2723 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) )  <->  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
3119, 30anbi12d 693 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C )
) X )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) ) )  <->  ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
3212, 15, 313bitr3d 276 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   <.cop 3819    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   Fun wfun 5450   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471    Hom chom 13542  compcco 13543   Catccat 13891  oppCatcoppc 13939  Monocmon 13956  Epicepi 13957
This theorem is referenced by:  isepi2  13969  epihom  13970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-hom 13555  df-cco 13556  df-cat 13895  df-cid 13896  df-oppc 13940  df-mon 13958  df-epi 13959
  Copyright terms: Public domain W3C validator