MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isepi Unicode version

Theorem isepi 13659
Description: Definition of an epimorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isepi  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, B    C, g, z    g, H, z    .x. , g, z   
g, X, z    g, F, z    ph, g, z   
g, Y, z
Allowed substitution hints:    E( z, g)

Proof of Theorem isepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 isepi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 13637 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2296 . . 3  |-  (  Hom  `  (oppCat `  C )
)  =  (  Hom  `  (oppCat `  C )
)
5 eqid 2296 . . 3  |-  (comp `  (oppCat `  C ) )  =  (comp `  (oppCat `  C ) )
6 eqid 2296 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
7 isepi.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
81oppccat 13641 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppCat `  C )  e.  Cat )
10 isepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
11 isepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
123, 4, 5, 6, 9, 10, 11ismon 13652 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  <->  ( F  e.  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C )
) X )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) ) ) ) )
13 isepi.e . . . 4  |-  E  =  (Epi `  C )
141, 7, 6, 13oppcmon 13657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
1514eleq2d 2363 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  <->  F  e.  ( X E Y ) ) )
16 isepi.h . . . . . 6  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
1716, 1oppchom 13634 . . . . 5  |-  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X H Y )
1817a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C )
) X )  =  ( X H Y ) )
1918eleq2d 2363 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) X )  <->  F  e.  ( X H Y ) ) )
2016, 1oppchom 13634 . . . . . . . 8  |-  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y H z )
2120a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  =  ( Y H z ) )
22 isepi.o . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (comp `  C )
23 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
2410adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  Y  e.  B )
2511adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  X  e.  B )
262, 22, 1, 23, 24, 25oppcco 13636 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F ( <. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C ) ) X ) g )  =  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
2721, 26mpteq12dv 4114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) )  =  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )
2827cnveqd 4873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) )  =  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )
2928funeqd 5292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C )
) Y )  |->  ( F ( <. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C ) ) X ) g ) )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
3029ralbidva 2572 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) )  <->  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
3119, 30anbi12d 691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( Y (  Hom  `  (oppCat `  C )
) X )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z (  Hom  `  (oppCat `  C ) ) Y )  |->  ( F (
<. z ,  Y >. (comp `  (oppCat `  C )
) X ) g ) ) )  <->  ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
3212, 15, 313bitr3d 274 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   <.cop 3656    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   Fun wfun 5265   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582  oppCatcoppc 13630  Monocmon 13647  Epicepi 13648
This theorem is referenced by:  isepi2  13660  epihom  13661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-hom 13248  df-cco 13249  df-cat 13586  df-cid 13587  df-oppc 13631  df-mon 13649  df-epi 13650
  Copyright terms: Public domain W3C validator