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Theorem isepi2 13644
Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isepi.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isepi.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
isepi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isepi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isepi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isepi2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, B    C, g, z    g, h, H, z    .x. , g, h, z    g, X, h, z    g, F, h, z    ph, g, z    g, Y, h, z
Allowed substitution hints:    ph( h)    B( h)    C( h)    E( z,
g, h)

Proof of Theorem isepi2
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isepi.h . . 3  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
3 isepi.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 isepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
5 isepi.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 isepi.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 isepi.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isepi 13643 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) ) )
95ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
106ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  X  e.  B )
117ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  Y  e.  B )
12 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  z  e.  B )
13 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  F  e.  ( X H Y ) )
14 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  g  e.  ( Y H z ) )
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 13587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( Y H z ) ) )  ->  ( g
( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1615anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  /\  g  e.  ( Y H z ) )  ->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
1716ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  A. g  e.  ( Y H z ) ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z ) )
18 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  =  ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
1918fmpt 5681 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  <-> 
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z ) )
20 df-f1 5260 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( (
g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  /\  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2120baib 871 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) --> ( X H z )  ->  (
( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
2219, 21sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) ) )
23 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )
2418, 23f1mpt 5785 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z ) -1-1-> ( X H z )  <->  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  /\  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2524baib 871 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) : ( Y H z )
-1-1-> ( X H z )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2622, 25bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( A. g  e.  ( Y H z ) ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  e.  ( X H z )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2717, 26syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2827ralbidva 2559 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z ) 
|->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) )  <->  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h (
<. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) )
2928pm5.32da 622 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( Y H z )  |->  ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
308, 29bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X E Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( Y H z ) A. h  e.  ( Y H z ) ( ( g ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  =  ( h ( <. X ,  Y >.  .x.  z ) F )  ->  g  =  h ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566  Epicepi 13632
This theorem is referenced by:  setcepi  13920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-oppc 13615  df-mon 13633  df-epi 13634
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