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Theorem isepic 25824
Description: The predicate "is an epimorphism" when the morphism belongs to a homset. (Contributed by FL, 27-Oct-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
isepic.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
isepic.2  |-  H  =  ( hom `  T
)
isepic.3  |-  R  =  ( o_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
isepic  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( F  e.  (Epic `  T )  <->  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
Distinct variable groups:    A, c,
g, h    B, c,
g, h    F, c,
g, h    H, c,
g, h    O, c,
g, h    R, c    T, c, g, h
Allowed substitution hints:    R( g, h)

Proof of Theorem isepic
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
4 isepic.3 . . . 4  |-  R  =  ( o_ `  T
)
51, 2, 3, 4isepib 25820 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( F  e.  (Epic `  T )  <->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
653ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( F  e.  (Epic `  T )  <->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
7 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )
8 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
9 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )
108, 9nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
117, 10nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
12 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )
13 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ h  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
14 nfra2 2597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ h A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )
1513, 14nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h
( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
1612, 15nfan 1771 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ h
( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
17 rsp2 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) )  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
18 pm3.31 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  (
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  /\  (
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
19 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  T  e.  Cat OLD  )
20 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  ->  B  e.  O )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  B  e.  O )
22 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  c  e.  O )
23 isepic.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
24 isepic.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  H  =  ( hom `  T
)
2523, 1, 2, 3, 24ishomd 25790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  c  e.  O )  ->  ( g  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  <->  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  c ) ) )
2625biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  c  e.  O )  ->  ( g  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  ->  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c ) ) )
2723, 1, 2, 3, 24ishomd 25790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  c  e.  O )  ->  ( h  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  <->  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) ) )
2827biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  c  e.  O )  ->  ( h  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  ->  (
h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  c ) ) )
2926, 28anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  c  e.  O )  ->  ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  c )  /\  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) ) ) )
3019, 21, 22, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. B ,  c
>. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) ) ) )
31 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  ->  g  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
32 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  c )  ->  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
3331, 32anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) ) )
3523, 3, 24cehm 25793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B ) )
36 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  c  /\  c  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )
)
3736expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h ) ) )
3837eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  c  ->  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  c  ->  ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )
) )
39383ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  c )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h ) ) )
4039com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  c  ->  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  c )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )
) )
41403ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  ->  ( (
h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  c )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )
) )
4241imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )
)
4342adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) ) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )
)
44 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  B  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)
4544expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( B  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  g )  =  B  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F ) ) )
4645eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  ->  ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )
4746com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  ->  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )
48473ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F ) ) )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F ) ) )
5049impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) ) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)
51 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  B  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)
5251expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( B  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  ->  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F ) ) )
5352eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  ->  ( (
dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )
5453com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  ->  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( (
dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) )
55543ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  c )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F ) ) )
5655adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  F ) ) )
5756impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) ) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)
5843, 50, 573jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) ) )  ->  (
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )
5958ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) )
6035, 59syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  (
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  c )  /\  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) ) )
61603expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  c )  /\  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) ) ) )
62613imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  c )  /\  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) )
6362ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
) ) )
6434, 63jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  c )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  B  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  c ) )  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) ) ) )
6530, 64syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. B ,  c
>. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ( ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
cod_ `  T ) `  h )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) ) ) )
6665imim1d 69 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  /\  (
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
6766ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  c  e.  O )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  /\  (
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
6867com13 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  /\  (
( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  ->  ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
6917, 18, 683syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  ->  ( (
( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  c  e.  O )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
7069impcom 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  (
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  ->  ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
7170impcom 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. B ,  c
>. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
7216, 71alrimi 1745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )  ->  A. h
( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
7311, 72alrimi 1745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  /\  c  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  h )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >.
)  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
7473exp31 587 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( c  e.  O  ->  ( ( F  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >.
)  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
7574com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( F  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  (
c  e.  O  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
7675imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )  -> 
( c  e.  O  ->  A. g A. h
( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
7776alrimiv 1617 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )  ->  A. c ( c  e.  O  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >.
)  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
78 r2al 2580 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( H `  <. B ,  c
>. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )  <->  A. g A. h
( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
7978ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c
>. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )  <->  A. c  e.  O  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. B , 
c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
80 df-ral 2548 . . . . . 6  |-  ( A. c  e.  O  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `
 <. B ,  c
>. )  /\  h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
)  ->  ( (
g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )  <->  A. c
( c  e.  O  ->  A. g A. h
( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >. )  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
8179, 80bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c
>. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )  <->  A. c ( c  e.  O  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. B ,  c >.
)  /\  h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) )  -> 
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) ) )
8277, 81sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )
)  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) )  ->  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B ,  c >. )
( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) )
8382ex 423 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( F  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
8423, 24, 4iepiclem 25823 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
8583, 84impbid 183 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( ( F  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( cod_ `  T
) `  F )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  ( ( cod_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( g R F )  =  ( h R F )  -> 
g  =  h ) ) )  <->  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
866, 85bitrd 244 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. A ,  B >. ) )  -> 
( F  e.  (Epic `  T )  <->  A. c  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. B ,  c >. ) A. h  e.  ( H `  <. B , 
c >. ) ( ( g R F )  =  ( h R F )  ->  g  =  h ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   dom_cdom_ 25712   cod_ccod_ 25713   id_cid_ 25714   o_co_ 25715    Cat
OLD ccatOLD 25752   homchomOLD 25785  EpiccepiOLD 25803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735  df-catOLD 25753  df-homOLD 25786  df-epiOLD 25807
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