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Theorem iseralt 12157
Description: The alternating series test. If  G ( k ) is a decreasing sequence that converges to  0, then  sum_ k  e.  Z
( -u 1 ^ k
)  x.  G ( k ) is a convergent series. (Note that the first term is positive if  M is even, and negative if  M is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by 
-u 1 using isermulc2 12131.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseralt  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z

Proof of Theorem iseralt
Dummy variables  j  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseralt.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 seqex 11048 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  F
)  e.  _V
32a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
_V )
4 iseralt.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
5 iseralt.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 climrel 11966 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
76brrelexi 4729 . . . . . 6  |-  ( G  ~~>  0  ->  G  e.  _V )
84, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
9 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
10 iseralt.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
11 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n
)  e.  RR )
1210, 11sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
1312recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  CC )
141, 5, 8, 9, 13clim0c 11981 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( G `  n )
)  <  x )
)
154, 14mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( G `  n
) )  <  x
)
16 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1716, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
18 eluzelz 10238 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
19 uzid 10242 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
21 peano2uz 10272 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
22 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
2322fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( abs `  ( G `  n ) )  =  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
2423breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( abs `  ( G `  n )
)  <  x  <->  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x
) )
2524rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( G `  n
) )  <  x  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <  x ) )
2620, 21, 253syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( G `
 n ) )  <  x  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  < 
x ) )
27 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  n  e.  ZZ )
2827ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  ZZ )
2928zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  CC )
3018, 1eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
3130ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  ZZ )
3231zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  CC )
3329, 32subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  CC )
34 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  2  e.  CC )
36 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  =/=  0
3736a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  2  =/=  0 )
3833, 35, 37divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) )  =  ( n  -  j ) )
3938oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  / 
2 ) ) )  =  ( j  +  ( n  -  j
) ) )
4032, 29pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( n  -  j ) )  =  n )
4139, 40eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  =  ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) ) )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  n  =  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  / 
2 ) ) ) )
4342fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) ) ) )
4443oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j ) ) )
4544fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) ) )
46 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ph )
47 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
j  e.  Z )
4847ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  j  e.  Z
)
49 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )
5028, 31zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  ZZ )
5150zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  RR )
52 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  n )
5352ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  <_  n )
5428zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  RR )
5531zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  RR )
5654, 55subge0d 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
0  <_  ( n  -  j )  <->  j  <_  n ) )
5753, 56mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <_  ( n  -  j
) )
58 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  2  e.  RR )
60 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  2
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <  2 )
62 divge0 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  -  j )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  -  j ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
n  -  j )  /  2 ) )
6351, 57, 59, 61, 62syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <_  ( ( n  -  j )  /  2
) )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  0  <_  (
( n  -  j
)  /  2 ) )
65 elnn0z 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  -  j
)  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( n  -  j )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( n  -  j )  /  2
) ) )
6649, 64, 65sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  NN0 )
67 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
68 iseralt.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
691, 5, 10, 67, 4, 68iseraltlem3 12156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2
) ) ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) ) )
7069simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
7146, 48, 66, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
7245, 71eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
7334, 36dividi 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  /  2 )  =  1
7473oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 )
75 peano2cn 8984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  -  j )  e.  CC  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  CC )
7633, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  CC )
7776, 35, 35, 37divsubdird 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
78 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7978oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  -  2 )  =  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  -  (
1  +  1 ) )
80 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  CC
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  1  e.  CC )
8233, 81, 81pnpcan2d 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( n  -  j )  - 
1 ) )
8379, 82syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  +  1 )  -  2 )  =  ( ( n  -  j )  - 
1 ) )
8483oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( n  -  j )  -  1 )  / 
2 ) )
8577, 84eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) )  =  ( ( ( n  -  j )  -  1 )  / 
2 ) )
8674, 85syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( ( n  -  j )  -  1 )  / 
2 ) )
8786oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n  -  j )  - 
1 )  /  2
) ) )
88 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  -  j
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  -  j )  -  1 )  e.  CC )
8933, 80, 88sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  -  1 )  e.  CC )
9089, 35, 37divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( n  -  j
)  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( n  -  j )  - 
1 ) )
9129, 32, 81sub32d 9189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  -  j ) )
9287, 90, 913eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )  =  ( ( n  -  1 )  -  j ) )
9392oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) ) )  =  ( j  +  ( ( n  - 
1 )  -  j
) ) )
94 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
9529, 80, 94sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
9632, 95pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( ( n  -  1 )  -  j ) )  =  ( n  - 
1 ) )
9793, 96eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) ) )  =  ( n  - 
1 ) )
9897oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )  +  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )
99 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
10029, 80, 99sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
10198, 100eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  =  ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
102101adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  n  =  ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
103102fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
104103oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j ) ) )
105104fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) ) )
106 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ph )
10747ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  j  e.  Z
)
108 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
109 uznn0sub 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( n  -  j )  e. 
NN0 )
110109ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  NN0 )
111 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  -  j )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  j )  +  1 )  e.  NN )
112110, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  NN )
113112nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
114113rphalfcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  RR+ )
115114rpgt0d 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
) )
116115adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  0  <  (
( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 ) )
117 elnnz 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
) ) )
118108, 116, 117sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )
119 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 )  e.  NN0 )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN0 )
1211, 5, 10, 67, 4, 68iseraltlem3 12156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) ) )
122121simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
123106, 107, 120, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
124105, 123eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
125 zeo 10097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  -  j )  e.  ZZ  ->  (
( ( n  -  j )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
12650, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
12772, 124, 126mpjaodan 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
1281peano2uzs 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
129128adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  Z )
130 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  ( j  +  1 )  e.  Z )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
13110, 129, 130syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
1321, 5, 10, 67, 4iseraltlem1 12154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
133129, 132sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
134131, 133absidd 11905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
135127, 134breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
136135adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
137 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
138137renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 1  e.  RR
139138a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  e.  RR )
140 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  =/=  0
14180, 140negne0i 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 1  =/=  0
142141a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  =/=  0 )
143 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
144143, 1eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
145144adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
146139, 142, 145reexpclzd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
147 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  e.  RR )
14810, 147sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
149146, 148remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
15068, 149eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1511, 5, 150serfre 11075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
1521uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
153 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
154151, 152, 153syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
155 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
156151, 47, 155syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
157154, 156resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) )  e.  RR )
158157recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
159158abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  e.  RR )
160159adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  e.  RR )
161134, 131eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
162161adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
163 rpre 10360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
164163ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
165 lelttr 8912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) )
166160, 162, 164, 165syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) )
167136, 166mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
168151adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
169168, 152, 153syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR )
170167, 169jctild 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x  ->  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
171170anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x  ->  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
172171ralrimdva 2633 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
17326, 172syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( G `
 n ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
174173reximdva 2655 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( G `  n
) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
175174ralimdva 2621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( G `
 n ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
17615, 175mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
1771, 3, 176caurcvg2 12150 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  leibpi  20238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963
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