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Theorem iseralt 12441
Description: The alternating series test. If  G ( k ) is a decreasing sequence that converges to  0, then  sum_ k  e.  Z
( -u 1 ^ k
)  x.  G ( k ) is a convergent series. (Note that the first term is positive if  M is even, and negative if  M is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by 
-u 1 using isermulc2 12414.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseralt  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z

Proof of Theorem iseralt
Dummy variables  j  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseralt.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 seqex 11288 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  F
)  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
_V )
4 iseralt.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
5 iseralt.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 climrel 12249 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
76brrelexi 4885 . . . . . 6  |-  ( G  ~~>  0  ->  G  e.  _V )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
9 eqidd 2413 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
10 iseralt.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
1110ffvelrnda 5837 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
1211recnd 9078 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  CC )
131, 5, 8, 9, 12clim0c 12264 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( G `  n )
)  <  x )
)
144, 13mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( G `  n
) )  <  x
)
15 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1615, 1syl6eleq 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
17 eluzelz 10460 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
18 uzid 10464 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1916, 17, 183syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
20 peano2uz 10494 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
21 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
2221fveq2d 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( abs `  ( G `  n ) )  =  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
2322breq1d 4190 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( abs `  ( G `  n )
)  <  x  <->  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x
) )
2423rspcv 3016 . . . . . . 7  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( G `  n
) )  <  x  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <  x ) )
2519, 20, 243syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( G `
 n ) )  <  x  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  < 
x ) )
26 eluzelz 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  n  e.  ZZ )
2726ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  ZZ )
2827zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  CC )
2917, 1eleq2s 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
3029ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  ZZ )
3130zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  CC )
3228, 31subcld 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  CC )
33 2cn 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  2  e.  CC )
35 2ne0 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  =/=  0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  2  =/=  0 )
3732, 34, 36divcan2d 9756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) )  =  ( n  -  j ) )
3837oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  / 
2 ) ) )  =  ( j  +  ( n  -  j
) ) )
3931, 28pncan3d 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( n  -  j ) )  =  n )
4038, 39eqtr2d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  =  ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) ) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  n  =  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  / 
2 ) ) ) )
4241fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) ) ) )
4342oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j ) ) )
4443fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) ) )
45 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ph )
46 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
j  e.  Z )
4746ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  j  e.  Z
)
48 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )
4927, 30zsubcld 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  ZZ )
5049zred 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  RR )
51 eluzle 10462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  n )
5251ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  <_  n )
5327zred 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  RR )
5430zred 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  RR )
5553, 54subge0d 9580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
0  <_  ( n  -  j )  <->  j  <_  n ) )
5652, 55mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <_  ( n  -  j
) )
57 2re 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  2  e.  RR )
59 2pos 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  2
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <  2 )
61 divge0 9843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  -  j )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  -  j ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
n  -  j )  /  2 ) )
6250, 56, 58, 60, 61syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <_  ( ( n  -  j )  /  2
) )
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  0  <_  (
( n  -  j
)  /  2 ) )
64 elnn0z 10258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  -  j
)  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( n  -  j )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( n  -  j )  /  2
) ) )
6548, 63, 64sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  NN0 )
66 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
67 iseralt.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
681, 5, 10, 66, 4, 67iseraltlem3 12440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2
) ) ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) ) )
6968simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
7045, 47, 65, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
7144, 70eqbrtrd 4200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
7233, 35dividi 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  /  2 )  =  1
7372oveq2i 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 )
74 peano2cn 9202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  -  j )  e.  CC  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  CC )
7532, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  CC )
7675, 34, 34, 36divsubdird 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
77 df-2 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7877oveq2i 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  -  2 )  =  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  -  (
1  +  1 ) )
79 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  CC
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  1  e.  CC )
8132, 80, 80pnpcan2d 9413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( n  -  j )  - 
1 ) )
8278, 81syl5eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  +  1 )  -  2 )  =  ( ( n  -  j )  - 
1 ) )
8382oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( n  -  j )  -  1 )  / 
2 ) )
8476, 83eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) )  =  ( ( ( n  -  j )  -  1 )  / 
2 ) )
8573, 84syl5eqr 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( ( n  -  j )  -  1 )  / 
2 ) )
8685oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n  -  j )  - 
1 )  /  2
) ) )
87 subcl 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  -  j
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  -  j )  -  1 )  e.  CC )
8832, 79, 87sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  -  1 )  e.  CC )
8988, 34, 36divcan2d 9756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( n  -  j
)  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( n  -  j )  - 
1 ) )
9028, 31, 80sub32d 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  -  j ) )
9186, 89, 903eqtrd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )  =  ( ( n  -  1 )  -  j ) )
9291oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) ) )  =  ( j  +  ( ( n  - 
1 )  -  j
) ) )
93 subcl 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
9428, 79, 93sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
9531, 94pncan3d 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( ( n  -  1 )  -  j ) )  =  ( n  - 
1 ) )
9692, 95eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) ) )  =  ( n  - 
1 ) )
9796oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )  +  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )
98 npcan 9278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
9928, 79, 98sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
10097, 99eqtr2d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  =  ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  n  =  ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
102101fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
103102oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j ) ) )
104103fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) ) )
105 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ph )
10646ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  j  e.  Z
)
107 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
108 uznn0sub 10481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( n  -  j )  e. 
NN0 )
109108ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  NN0 )
110 nn0p1nn 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  -  j )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  j )  +  1 )  e.  NN )
111109, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  NN )
112111nnrpd 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
113112rphalfcld 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  RR+ )
114113rpgt0d 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
) )
115114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  0  <  (
( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 ) )
116 elnnz 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
) ) )
117107, 115, 116sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )
118 nnm1nn0 10225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 )  e.  NN0 )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN0 )
1201, 5, 10, 66, 4, 67iseraltlem3 12440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) ) )
121120simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
122105, 106, 119, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
123104, 122eqbrtrd 4200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
124 zeo 10319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  -  j )  e.  ZZ  ->  (
( ( n  -  j )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
12549, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
12671, 123, 125mpjaodan 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
1271peano2uzs 10495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
128127adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  Z )
129 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  ( j  +  1 )  e.  Z )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
13010, 128, 129syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
1311, 5, 10, 66, 4iseraltlem1 12438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
132128, 131sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
133130, 132absidd 12188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
134126, 133breqtrrd 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
135134adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
136 1re 9054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
137136renegcli 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 1  e.  RR
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  e.  RR )
139 ax-1ne0 9023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  =/=  0
14079, 139negne0i 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 1  =/=  0
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  =/=  0 )
142 eluzelz 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
143142, 1eleq2s 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
144143adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
145138, 141, 144reexpclzd 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
14610ffvelrnda 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
147145, 146remulcld 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
14867, 147eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1491, 5, 148serfre 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
1501uztrn2 10467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
151 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
152149, 150, 151syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
153 ffvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
154149, 46, 153syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
155152, 154resubcld 9429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) )  e.  RR )
156155recnd 9078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
157156abscld 12201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  e.  RR )
158157adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  e.  RR )
159133, 130eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
160159adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
161 rpre 10582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
162161ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
163 lelttr 9129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) )
164158, 160, 162, 163syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) )
165135, 164mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
166149adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
167166, 150, 151syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR )
168165, 167jctild 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x  ->  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
169168anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x  ->  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
170169ralrimdva 2764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
17125, 170syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( G `
 n ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
172171reximdva 2786 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( G `  n
) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
173172ralimdva 2752 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( G `
 n ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
17414, 173mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
1751, 3, 174caurcvg2 12434 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924   class class class wbr 4180   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576    seq cseq 11286   ^cexp 11345   abscabs 12002    ~~> cli 12241
This theorem is referenced by:  leibpi  20743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-ico 10886  df-fz 11008  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246
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