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Theorem iseralt 12483
Description: The alternating series test. If  G ( k ) is a decreasing sequence that converges to  0, then  sum_ k  e.  Z
( -u 1 ^ k
)  x.  G ( k ) is a convergent series. (Note that the first term is positive if  M is even, and negative if  M is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by 
-u 1 using isermulc2 12456.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseralt  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z

Proof of Theorem iseralt
Dummy variables  j  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseralt.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 seqex 11330 . . 3  |-  seq  M
(  +  ,  F
)  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
_V )
4 iseralt.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
5 iseralt.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 climrel 12291 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
76brrelexi 4921 . . . . . 6  |-  ( G  ~~>  0  ->  G  e.  _V )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
9 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  n ) )
10 iseralt.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
1110ffvelrnda 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
1211recnd 9119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  CC )
131, 5, 8, 9, 12clim0c 12306 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( G `  n )
)  <  x )
)
144, 13mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( G `  n
) )  <  x
)
15 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1615, 1syl6eleq 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
17 eluzelz 10501 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
18 uzid 10505 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1916, 17, 183syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
20 peano2uz 10535 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
21 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
2221fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( abs `  ( G `  n ) )  =  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
2322breq1d 4225 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( abs `  ( G `  n )
)  <  x  <->  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x
) )
2423rspcv 3050 . . . . . . 7  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( G `  n
) )  <  x  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <  x ) )
2519, 20, 243syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( G `
 n ) )  <  x  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  < 
x ) )
26 eluzelz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  n  e.  ZZ )
2726ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  ZZ )
2827zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  CC )
2917, 1eleq2s 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
3029ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  ZZ )
3130zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  CC )
3228, 31subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  CC )
33 2cn 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  2  e.  CC )
35 2ne0 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  =/=  0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  2  =/=  0 )
3732, 34, 36divcan2d 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) )  =  ( n  -  j ) )
3837oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  / 
2 ) ) )  =  ( j  +  ( n  -  j
) ) )
3931, 28pncan3d 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( n  -  j ) )  =  n )
4038, 39eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  =  ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) ) )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  n  =  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  / 
2 ) ) ) )
4241fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) ) ) )
4342oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j ) ) )
4443fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) ) )
45 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ph )
46 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
j  e.  Z )
4746ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  j  e.  Z
)
48 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )
4927, 30zsubcld 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  ZZ )
5049zred 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  RR )
51 eluzle 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  n )
5251ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  <_  n )
5327zred 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  e.  RR )
5430zred 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  RR )
5553, 54subge0d 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
0  <_  ( n  -  j )  <->  j  <_  n ) )
5652, 55mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <_  ( n  -  j
) )
57 2re 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  2  e.  RR )
59 2pos 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  2
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <  2 )
61 divge0 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( n  -  j )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  -  j ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
n  -  j )  /  2 ) )
6250, 56, 58, 60, 61syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <_  ( ( n  -  j )  /  2
) )
6362adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  0  <_  (
( n  -  j
)  /  2 ) )
64 elnn0z 10299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  -  j
)  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( n  -  j )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( n  -  j )  /  2
) ) )
6548, 63, 64sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  NN0 )
66 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
67 iseralt.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
681, 5, 10, 66, 4, 67iseraltlem3 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2
) ) ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( n  -  j
)  /  2 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) ) )
6968simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
7045, 47, 65, 69syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( n  -  j )  /  2 ) ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
7144, 70eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( n  -  j )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
7233, 35dividi 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  /  2 )  =  1
7372oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 )
74 peano2cn 9243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  -  j )  e.  CC  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  CC )
7532, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  CC )
7675, 34, 34, 36divsubdird 9834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  -  ( 2  /  2
) ) )
77 df-2 10063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  =  ( 1  +  1 )
7877oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  -  2 )  =  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  -  (
1  +  1 ) )
79 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  CC
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  1  e.  CC )
8132, 80, 80pnpcan2d 9454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( n  -  j )  - 
1 ) )
8278, 81syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  +  1 )  -  2 )  =  ( ( n  -  j )  - 
1 ) )
8382oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  -  2 )  /  2 )  =  ( ( ( n  -  j )  -  1 )  / 
2 ) )
8476, 83eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) )  =  ( ( ( n  -  j )  -  1 )  / 
2 ) )
8573, 84syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( ( n  -  j )  -  1 )  / 
2 ) )
8685oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( n  -  j )  - 
1 )  /  2
) ) )
87 subcl 9310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( n  -  j
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  -  j )  -  1 )  e.  CC )
8832, 79, 87sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  -  1 )  e.  CC )
8988, 34, 36divcan2d 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( n  -  j
)  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( n  -  j )  - 
1 ) )
9028, 31, 80sub32d 9448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  -  j ) )
9186, 89, 903eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )  =  ( ( n  -  1 )  -  j ) )
9291oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) ) )  =  ( j  +  ( ( n  - 
1 )  -  j
) ) )
93 subcl 9310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
9428, 79, 93sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  1 )  e.  CC )
9531, 94pncan3d 9419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( ( n  -  1 )  -  j ) )  =  ( n  - 
1 ) )
9692, 95eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) ) )  =  ( n  - 
1 ) )
9796oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )  +  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )
98 npcan 9319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
9928, 79, 98sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
10097, 99eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  n  =  ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
101100adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  n  =  ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
102101fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  =  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
103102oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j ) ) )
104103fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) ) )
105 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ph )
10646ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  j  e.  Z
)
107 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
108 uznn0sub 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( n  -  j )  e. 
NN0 )
109108ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
n  -  j )  e.  NN0 )
110 nn0p1nn 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  -  j )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  j )  +  1 )  e.  NN )
111109, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  NN )
112111nnrpd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( n  -  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
113112rphalfcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  RR+ )
114113rpgt0d 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
) )
115114adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  0  <  (
( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 ) )
116 elnnz 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
) ) )
117107, 115, 116sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )
118 nnm1nn0 10266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 )  e.  NN0 )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN0 )
1201, 5, 10, 66, 4, 67iseraltlem3 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( j  +  ( 2  x.  ( ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) ) )
121120simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z  /\  ( ( ( ( n  -  j
)  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
122105, 106, 119, 121syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( j  +  ( 2  x.  (
( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  -  1 ) ) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
123104, 122eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  /\  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
124 zeo 10360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  -  j )  e.  ZZ  ->  (
( ( n  -  j )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
12549, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( ( n  -  j )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( ( n  -  j )  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
12671, 123, 125mpjaodan 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( G `  (
j  +  1 ) ) )
1271peano2uzs 10536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  (
j  +  1 )  e.  Z )
128127adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  Z )
129 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  ( j  +  1 )  e.  Z )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
13010, 128, 129syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
1311, 5, 10, 66, 4iseraltlem1 12480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
132128, 131sylan2 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  0  <_  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
133130, 132absidd 12230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( G `  (
j  +  1 ) ) )
134126, 133breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
135134adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
136 1re 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
137136renegcli 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 1  e.  RR
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  e.  RR )
139 ax-1ne0 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  =/=  0
14079, 139negne0i 9380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 1  =/=  0
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  =/=  0 )
142 eluzelz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
143142, 1eleq2s 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
144143adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
145138, 141, 144reexpclzd 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
14610ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
147145, 146remulcld 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
14867, 147eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
1491, 5, 148serfre 11357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
1501uztrn2 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
151 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
152149, 150, 151syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  RR )
153 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  j  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
154149, 46, 153syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  e.  RR )
155152, 154resubcld 9470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) )  e.  RR )
156155recnd 9119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
157156abscld 12243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  e.  RR )
158157adantlr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  e.  RR )
159133, 130eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
160159adantlr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
161 rpre 10623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
162161ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  x  e.  RR )
163 lelttr 9170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) )
164158, 160, 162, 163syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  <_ 
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x
)  ->  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) )
165135, 164mpand 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
166149adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
167166, 150, 151syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR )
168165, 167jctild 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x  ->  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
169168anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <  x  ->  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
170169ralrimdva 2798 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( abs `  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
17125, 170syld 43 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( G `
 n ) )  <  x  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
172171reximdva 2820 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( G `  n
) )  <  x  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
173172ralimdva 2786 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( G `
 n ) )  <  x  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <  x ) ) )
17414, 173mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  e.  RR  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
x ) )
1751, 3, 174caurcvg2 12476 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617    seq cseq 11328   ^cexp 11387   abscabs 12044    ~~> cli 12283
This theorem is referenced by:  leibpi  20787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-ico 10927  df-fz 11049  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288
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