Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iseralt Unicode version

Theorem iseralt 12157
 Description: The alternating series test. If is a decreasing sequence that converges to , then is a convergent series. (Note that the first term is positive if is even, and negative if is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by using isermulc2 12131.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1
iseralt.2
iseralt.3
iseralt.4
iseralt.5
iseralt.6
Assertion
Ref Expression
iseralt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem iseralt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseralt.1 . 2
2 seqex 11048 . . 3
32a1i 10 . 2
4 iseralt.5 . . . 4
5 iseralt.2 . . . . 5
6 climrel 11966 . . . . . . 7
76brrelexi 4729 . . . . . 6
84, 7syl 15 . . . . 5
9 eqidd 2284 . . . . 5
10 iseralt.3 . . . . . . 7
11 ffvelrn 5663 . . . . . . 7
1210, 11sylan 457 . . . . . 6
1312recnd 8861 . . . . 5
141, 5, 8, 9, 13clim0c 11981 . . . 4
154, 14mpbid 201 . . 3
16 simpr 447 . . . . . . . . 9
1716, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . 8
18 eluzelz 10238 . . . . . . . 8
19 uzid 10242 . . . . . . . 8
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . 7
21 peano2uz 10272 . . . . . . 7
22 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
2322fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
2423breq1d 4033 . . . . . . . 8
2524rspcv 2880 . . . . . . 7
2620, 21, 253syl 18 . . . . . 6
27 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2827ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2928zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3018, 1eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3130ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3231zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3329, 32subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
34 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3736a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3833, 35, 37divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3938oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4032, 29pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4139, 40eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14
46 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5028, 31zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5150zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5352ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5428zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5531zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5654, 55subge0d 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5753, 56mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62 divge0 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6351, 57, 59, 61, 62syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 elnn0z 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6649, 64, 65sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 iseralt.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
691, 5, 10, 67, 4, 68iseraltlem3 12156 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
7146, 48, 66, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
7245, 71eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13
7334, 36dividi 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7473oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
75 peano2cn 8984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7633, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7776, 35, 35, 37divsubdird 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
78 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7978oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
80 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8233, 81, 81pnpcan2d 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8379, 82syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8483oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8577, 84eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8674, 85syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8786oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
88 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8933, 80, 88sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9089, 35, 37divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9129, 32, 81sub32d 9189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9287, 90, 913eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9392oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
94 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9529, 80, 94sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9632, 95pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9793, 96eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9897oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10029, 80, 99sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10198, 100eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102101adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103102fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14
106 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . 15
10747ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
108 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109 uznn0sub 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
110109ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
111 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
112110, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
113112nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114113rphalfcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115114rpgt0d 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117 elnnz 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118108, 116, 117sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211, 5, 10, 67, 4, 68iseraltlem3 12156 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122121simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
123106, 107, 120, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
124105, 123eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13
125 zeo 10097 . . . . . . . . . . . . . 14
12650, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
12772, 124, 126mpjaodan 761 . . . . . . . . . . . 12
1281peano2uzs 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
130 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14
13110, 129, 130syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13
1321, 5, 10, 67, 4iseraltlem1 12154 . . . . . . . . . . . . . 14
133129, 132sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13
134131, 133absidd 11905 . . . . . . . . . . . 12
135127, 134breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11
136135adantlr 695 . . . . . . . . . 10
137 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138137renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139138a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14180, 140negne0i 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
142141a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
144143, 1eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
145144adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
146139, 142, 145reexpclzd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14810, 147sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149146, 148remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15068, 149eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1511, 5, 150serfre 11075 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1521uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154151, 152, 153syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
155 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
156151, 47, 155syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
157154, 156resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . 14
158157recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13
159158abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12
160159adantlr 695 . . . . . . . . . . 11
161134, 131eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12
162161adantlr 695 . . . . . . . . . . 11
163 rpre 10360 . . . . . . . . . . . 12
164163ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11
165 lelttr 8912 . . . . . . . . . . 11
166160, 162, 164, 165syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
167136, 166mpand 656 . . . . . . . . 9
168151adantr 451 . . . . . . . . . 10
169168, 152, 153syl2an 463 . . . . . . . . 9
170167, 169jctild 527 . . . . . . . 8
171170anassrs 629 . . . . . . 7
172171ralrimdva 2633 . . . . . 6
17326, 172syld 40 . . . . 5
174173reximdva 2655 . . . 4
175174ralimdva 2621 . . 3
17615, 175mpd 14 . 2
1771, 3, 176caurcvg2 12150 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   class class class wbr 4023   cdm 4689  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   clt 8867   cle 8868   cmin 9037  cneg 9038   cdiv 9423  cn 9746  c2 9795  cn0 9965  cz 10024  cuz 10230  crp 10354   cseq 11046  cexp 11104  cabs 11719   cli 11958 This theorem is referenced by:  leibpi  20238 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963
 Copyright terms: Public domain W3C validator