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Theorem iseraltlem2 12155
Description: Lemma for iseralt 12157. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example  S ( 1 )  <_  S (
3 )  <_  S
( 5 )  <_  ... and  ...  <_  S
( 4 )  <_  S ( 2 )  <_  S ( 0 ) (assuming  M  =  0 so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseraltlem2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, K    k, N    k, Z

Proof of Theorem iseraltlem2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
2 2cn 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
32mul01i 9002 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
41, 3syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  0 )
54oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  + 
0 ) )
65fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )
76oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) ) )
87breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
98imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
10 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
1110oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )
1211fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
1312oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
1413breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
16 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
1716oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
1817fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
1918oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
2019breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
2120imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
22 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  K  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  K ) )
2322oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  K
) ) )
2423fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )
2524oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
2625breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
2726imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
28 iseralt.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
29 uzssz 10247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
3028, 29eqsstri 3208 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  C_  ZZ
3130a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  C_  ZZ )
3231sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  ZZ )
3332zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  CC )
3433addid1d 9012 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( N  +  0 )  =  N )
3534fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
3635oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
37 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
3837renegcli 9108 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
39 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
40 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
4139, 40negne0i 9121 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  =/=  0
42 reexpclz 11123 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  -u 1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
4338, 41, 42mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
4432, 43syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
45 iseralt.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
46 iseralt.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
4731sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
48 reexpclz 11123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  -u 1  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
4938, 41, 48mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
5047, 49syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
51 iseralt.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
52 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  e.  RR )
5351, 52sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
5450, 53remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
5546, 54eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
5628, 45, 55serfre 11075 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
57 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
)  e.  RR )
5856, 57sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
)  e.  RR )
5944, 58remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
6059leidd 9339 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
6136, 60eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
6251ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  G : Z --> RR )
63392timesi 9845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
6463oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  ( 1  +  1 ) )
65 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  Z )
6665, 28syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
68 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
7069zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
71 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
7271adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  CC )
73 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
742, 72, 73sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
752, 39mulcli 8842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  e.  CC
7675a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
7770, 74, 76addassd 8857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
7864, 77syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
79 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN0
80 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
81 nn0mulcl 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
8279, 80, 81sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
83 uzaddcl 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  n )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
8467, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
8529, 84sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ZZ )
8685zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
8739a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
8886, 87, 87addassd 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 1  +  1 ) ) )
892a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
9089, 72, 87adddid 8859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
9190oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
9278, 88, 913eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 2  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
93 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
9493adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN0 )
95 nn0mulcl 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9679, 94, 95sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
97 uzaddcl 10275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9867, 96, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
9998, 28syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  Z )
10092, 99eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  e.  Z )
101 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  e.  Z )  ->  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
10262, 100, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
103 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10484, 103syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
105104, 28syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z )
106 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  e.  Z )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  e.  RR )
10762, 105, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
108102, 107resubcld 9211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
109 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
110109a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
11144adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
11256ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  F
) : Z --> RR )
11384, 28syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  Z )
114 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  Z )  -> 
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  RR )
115112, 113, 114syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  RR )
116111, 115remulcld 8863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  RR )
117 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
118117ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
119118ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )
)
120 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
k  +  1 )  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )
121120fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
122 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
123121, 122breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )  <->  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
124123rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
125105, 119, 124sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
126102, 107suble0d 9363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  <_  0  <->  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
127125, 126mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  <_  0 )
128108, 110, 116, 127leadd2dd 9387 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  0 ) )
129 seqp1 11061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
130104, 129syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
131 seqp1 11061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
13284, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
133132oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
134130, 133eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
13592fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
136115recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
13746ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
138137ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( G `  k )
) )
139 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
140 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )
141140, 122oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
142139, 141eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
143142rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
144105, 138, 143sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
145 neg1cn 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  CC
146145a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  CC )
14741a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  =/=  0 )
148146, 147, 85expp1zd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 ) )
14938a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
150149, 147, 85reexpclzd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  RR )
151150recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
152 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
153151, 145, 152sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
154151mulm1d 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
155148, 153, 1543eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
156155oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
157107recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
158 mulneg12 9218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  x.  -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
159151, 157, 158syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
160144, 156, 1593eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
161107renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
162150, 161remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
163160, 162eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
164163recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
165 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
166 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
167 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
168166, 167oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
169165, 168eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
170169rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
171100, 138, 170sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
17285peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ZZ )
173146, 147, 172expp1zd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  -u 1 ) )
174155oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
) )
175 mul2neg 9219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  x.  1 ) )
176151, 39, 175sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  1 ) )
177151mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  1 )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
178176, 177eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
179173, 174, 1783eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
180179oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
181171, 180eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
182150, 102remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
183181, 182eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
184183recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
185136, 164, 184addassd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
186134, 135, 1853eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
187186oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
188111recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
189163, 183readdcld 8862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
190189recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
191188, 136, 190adddid 8859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
192188, 164, 184adddid 8859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
193160oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) ) )
194161recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
195188, 151, 194mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
196193, 195eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
19789, 70, 72adddid 8859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( N  +  n ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  n
) ) )
198702timesd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
199198oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( N  +  N )  +  ( 2  x.  n
) ) )
20070, 70, 74addassd 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  N
)  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  +  ( N  +  (
2  x.  n ) ) ) )
201197, 199, 2003eqtrrd 2320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( 2  x.  ( N  +  n
) ) )
202201oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n
) ) ) )
203 expaddz 11146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
204146, 147, 69, 85, 203syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) ) )
205 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
206205a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  ZZ )
207 nn0z 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
208 zaddcl 10059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  +  n
)  e.  ZZ )
20932, 207, 208syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  n )  e.  ZZ )
210 expmulz 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( N  +  n
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( N  +  n
) ) )
211146, 147, 206, 209, 210syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) ) )
212 sqneg 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
21339, 212ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
214 sq1 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
215213, 214eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
216215oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) )  =  ( 1 ^ ( N  +  n
) )
217 1exp 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  +  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
218209, 217syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1 ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
219216, 218syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
220211, 219eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n ) ) )  =  1 )
221202, 204, 2203eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  =  1 )
222221oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
223194mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )
224196, 222, 2233eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
225181oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
226102recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
227188, 151, 226mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
228225, 227eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
229221oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
230226mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
231228, 229, 2303eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
232224, 231oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
233157negcld 9144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
234233, 226addcomd 9014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  + 
-u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
235226, 157negsubd 9163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  +  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
236234, 235eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
237192, 232, 2363eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
238237oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
239187, 191, 2383eqtrrd 2320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
240116recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  CC )
241240addid1d 9012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  0 )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
242128, 239, 2413brtr3d 4052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
243 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  Z )  -> 
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
244112, 99, 243syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
245111, 244remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
24659adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
247 letr 8914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  /\  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
248245, 116, 246, 247syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
249242, 248mpand 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
250249expcom 424 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
251250a2d 23 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
2529, 15, 21, 27, 61, 251nn0ind 10108 . . 3  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
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M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
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M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
253252com12 27 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
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( -u 1 ^ N
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) ) ) )
2542533impia 1148 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
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(  +  ,  F
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046   ^cexp 11104    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  iseraltlem3  12156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105
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