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Theorem iseraltlem2 12476
Description: Lemma for iseralt 12478. The terms of an alternating series form a chain of inequalities in alternate terms, so that for example  S ( 1 )  <_  S (
3 )  <_  S
( 5 )  <_  ... and  ...  <_  S
( 4 )  <_  S ( 2 )  <_  S ( 0 ) (assuming  M  =  0 so that these terms are defined). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseraltlem2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, K    k, N    k, Z

Proof of Theorem iseraltlem2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
2 2cn 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
32mul01i 9256 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
41, 3syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  0 )
54oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  + 
0 ) )
65fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )
76oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) ) )
87breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
10 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
1110oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )
1211fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
1312oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
1413breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
1514imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
16 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
1716oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
1817fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
1918oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
2019breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
2120imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
22 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  K  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  K ) )
2322oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  ( N  +  ( 2  x.  x ) )  =  ( N  +  ( 2  x.  K
) ) )
2423fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )
2524oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
2625breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) )
2726imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  x ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  Z
)  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) ) ) )
28 iseralt.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
29 uzssz 10505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
3028, 29eqsstri 3378 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  C_  ZZ
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  C_  ZZ )
3231sselda 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  ZZ )
3332zcnd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  CC )
3433addid1d 9266 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( N  +  0 )  =  N )
3534fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )
3635oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
37 1re 9090 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
3837renegcli 9362 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
39 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
40 ax-1ne0 9059 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
4139, 40negne0i 9375 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  =/=  0
42 reexpclz 11401 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  -u 1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
4338, 41, 42mp3an12 1269 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
4432, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
45 iseralt.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
46 iseralt.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
4731sselda 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
48 reexpclz 11401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  -u 1  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
4938, 41, 48mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
51 iseralt.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
5251ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
5350, 52remulcld 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
5446, 53eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
5528, 45, 54serfre 11352 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
5655ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
)  e.  RR )
5744, 56remulcld 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
5857leidd 9593 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
5936, 58eqbrtrd 4232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  0 ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
6051ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  G : Z --> RR )
61392timesi 10101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
6261oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  ( 1  +  1 ) )
63 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  Z )
6463, 28syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
66 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
6867zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
69 nn0cn 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
7069adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  CC )
71 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
722, 70, 71sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
732, 39mulcli 9095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  e.  CC
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
7568, 72, 74addassd 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
7662, 75syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
77 2nn0 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN0
78 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
79 nn0mulcl 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
8077, 78, 79sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
81 uzaddcl 10533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  n )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
8265, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
8329, 82sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ZZ )
8483zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
8539a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
8684, 85, 85addassd 9110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  ( 1  +  1 ) ) )
872a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
8887, 70, 85adddid 9112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
8988oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( N  +  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) ) )
9076, 86, 893eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  =  ( N  +  ( 2  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
91 peano2nn0 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
9291adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN0 )
93 nn0mulcl 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9477, 92, 93sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
95 uzaddcl 10533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9665, 94, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
9796, 28syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  Z )
9890, 97eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  e.  Z )
9960, 98ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
100 peano2uz 10530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10182, 100syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
102101, 28syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z )
10360, 102ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
10499, 103resubcld 9465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
105 0re 9091 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
106105a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
10744adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
10855ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  F
) : Z --> RR )
10982, 28syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  Z )
110108, 109ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  RR )
111107, 110remulcld 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  RR )
112 iseralt.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
113112ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
114113ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )
)
115 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
k  +  1 )  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )
116115fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
117 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
118116, 117breq12d 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )  <->  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
119118rspcv 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
120102, 114, 119sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
12199, 103suble0d 9617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  <_  0  <->  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
122120, 121mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  <_  0 )
123104, 106, 111, 122leadd2dd 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  0 ) )
124 seqp1 11338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
125101, 124syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
126 seqp1 11338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
12782, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
128127oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
129125, 128eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
13090fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
131110recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
13246ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
133132ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( G `  k )
) )
134 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
135 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )
136135, 117oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
137134, 136eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
138137rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
139102, 133, 138sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
140 neg1cn 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  CC
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  CC )
14241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  =/=  0 )
143141, 142, 83expp1zd 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 ) )
14438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
145144, 142, 83reexpclzd 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  RR )
146145recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
147 mulcom 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
148146, 140, 147sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
149146mulm1d 9485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
150143, 148, 1493eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
151150oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
152103recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
153 mulneg12 9472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  x.  -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
154146, 152, 153syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
155139, 151, 1543eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
156103renegcld 9464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
157145, 156remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
158155, 157eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  RR )
159158recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
160 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
161 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
162 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
163161, 162oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
164160, 163eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
165164rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
16698, 133, 165sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
16783peano2zd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  e.  ZZ )
168141, 142, 167expp1zd 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  -u 1 ) )
169150oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
) )
170 mul2neg 9473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  x.  1 ) )
171146, 39, 170sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  1 ) )
172146mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  1 )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
173171, 172eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )
174168, 169, 1733eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )
175174oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
176166, 175eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
177145, 99remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
178176, 177eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
179178recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
180131, 159, 179addassd 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )  +  ( F `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( N  +  ( 2  x.  n
) ) )  +  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
181129, 130, 1803eqtr3d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
182181oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
183107recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
184158, 178readdcld 9115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
185184recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
186183, 131, 185adddid 9112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  n ) ) )  +  ( ( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
187183, 159, 179adddid 9112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
188155oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) ) )
189156recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
190183, 146, 189mulassd 9111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
191188, 190eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
19287, 68, 70adddid 9112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  ( N  +  n ) )  =  ( ( 2  x.  N )  +  ( 2  x.  n
) ) )
193682timesd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
194193oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( N  +  N )  +  ( 2  x.  n
) ) )
19568, 68, 72addassd 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  N
)  +  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  +  ( N  +  (
2  x.  n ) ) ) )
196192, 194, 1953eqtrrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( 2  x.  ( N  +  n
) ) )
197196oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n
) ) ) )
198 expaddz 11424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  ( 2  x.  n ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
199141, 142, 67, 83, 198syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n
) ) ) ) )
200 2z 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  2  e.  ZZ )
202 nn0z 10304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
203 zaddcl 10317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  +  n
)  e.  ZZ )
20432, 202, 203syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( N  +  n )  e.  ZZ )
205 expmulz 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( N  +  n
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( N  +  n
) ) )
206141, 142, 201, 204, 205syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) ) )
207 sqneg 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
20839, 207ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
209 sq1 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
210208, 209eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
211210oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) )  =  ( 1 ^ ( N  +  n
) )
212 1exp 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  +  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
213204, 212syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1 ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
214211, 213syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ 2 ) ^ ( N  +  n ) )  =  1 )
215206, 214eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( N  +  n ) ) )  =  1 )
216197, 199, 2153eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  =  1 )
217216oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
218189mulid2d 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )
219191, 217, 2183eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) )
220176oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
22199recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
222183, 146, 221mulassd 9111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
223220, 222eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
224216oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
225221mulid2d 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
1  x.  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
226223, 224, 2253eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )
227219, 226oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  +  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
228152negcld 9398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  e.  CC )
229228, 221addcomd 9268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  + 
-u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
230221, 152negsubd 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  +  -u ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 ) ) ) )
231229, 230eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
232187, 227, 2313eqtrd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `  ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( G `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )
233232oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) )  +  ( F `
 ( ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) ) )
234182, 186, 2333eqtrrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  ( ( G `  (
( ( N  +  ( 2  x.  n
) )  +  1 )  +  1 ) )  -  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  n ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
235111recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  CC )
236235addid1d 9266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  +  0 )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
237123, 234, 2363brtr3d 4241 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) ) )
238108, 97ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
239107, 238remulcld 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR )
24057adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
241 letr 9167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  /\  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
242239, 111, 240, 241syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
243237, 242mpand 657 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
244243expcom 425 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
245244a2d 24 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  n ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
2469, 15, 21, 27, 59, 245nn0ind 10366 . . 3  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
247246com12 29 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z )  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
2482473impia 1150 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    seq cseq 11323   ^cexp 11382    ~~> cli 12278
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383
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