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Theorem iseraltlem3 12467
Description: Lemma for iseralt 12468. From iseraltlem2 12466, we have  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  <_ 
( -u 1 ^ n
)  x.  S ( n ) and  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k  +  1 ), and we also have  ( -u 1 ^ n )  x.  S
( n  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  -  G ( n  +  1 ) for each  n by the definition of the partial sum  S, so combining the inequalities we get  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  -  G ( n  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  -  G ( n  + 
2 k  +  1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  <_ 
( -u 1 ^ n
)  x.  S ( n )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  +  G ( n  +  1 ), so  |  ( -u
1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k  +  1 )  -  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  |  =  |  S ( n  +  2 k  +  1 )  -  S ( n )  |  <_  G (
n  +  1 ) and  |  ( -u
1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k )  -  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  |  =  |  S ( n  +  2 k )  -  S ( n )  |  <_  G ( n  +  1 ). Thus, both even and odd partial sums are Cauchy if  G converges to  0. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseraltlem3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, K    k, N    k, Z

Proof of Theorem iseraltlem3
StepHypRef Expression
1 1re 9080 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
21renegcli 9352 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  RR
32a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
4 ax-1cn 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
5 ax-1ne0 9049 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
64, 5negne0i 9365 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  =/=  0
)
8 iseralt.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
9 uzssz 10495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
108, 9eqsstri 3370 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
11 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  Z
)
1210, 11sseldi 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
133, 7, 12reexpclzd 11538 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
1413recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
15 iseralt.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
16 iseralt.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  e.  RR )
186a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  =/=  0 )
19 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
2010, 19sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
2117, 18, 20reexpclzd 11538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
22 iseralt.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
2322ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
2421, 23remulcld 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
2516, 24eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
268, 15, 25serfre 11342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
27263ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
2811, 8syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
29 2nn0 10228 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
30 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
31 nn0mulcl 10246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  K
)  e.  NN0 )
3229, 30, 31sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  NN0 )
33 uzaddcl 10523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  K )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3428, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  K
) )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3534, 8syl6eleqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  K
) )  e.  Z
)
3627, 35ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  e.  RR )
3736recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  e.  CC )
3827, 11ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )  e.  RR )
3938recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )  e.  CC )
4014, 37, 39subdid 9479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
4140fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
4236, 38resubcld 9455 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
4342recnd 9104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  CC )
4414, 43absmuld 12246 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
4541, 44eqtr3d 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
463recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  CC )
47 absexpz 12100 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  ( ( abs `  -u 1
) ^ N ) )
4846, 7, 12, 47syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  ( ( abs `  -u 1
) ^ N ) )
494absnegi 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
50 abs1 12092 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
5149, 50eqtri 2455 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
5251oveq1i 6083 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  -u 1
) ^ N )  =  ( 1 ^ N )
53 1exp 11399 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
5412, 53syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
5552, 54syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  -u 1 ) ^ N )  =  1 )
5648, 55eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  1 )
5756oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
5843abscld 12228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  RR )
5958recnd 9104 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  CC )
6059mulid2d 9096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
6145, 57, 603eqtrd 2471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
6213, 38remulcld 9106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
)  e.  RR )
63223ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  G : Z --> RR )
648peano2uzs 10521 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Z  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
65643ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  Z
)
6663, 65ffvelrnd 5863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1
) )  e.  RR )
6762, 66resubcld 9455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
688peano2uzs 10521 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  Z  ->  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z )
6935, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z
)
7027, 69ffvelrnd 5863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7113, 70remulcld 9106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
7213, 36remulcld 9106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  e.  RR )
73 seqp1 11328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
7428, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
7516ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
76753ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
77 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( N  +  1
) ) )
78 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) ) )
79 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
8078, 79oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
8177, 80eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8281rspcv 3040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8365, 76, 82sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( N  +  1
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
8483oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8546, 7, 12expp1zd 11522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  -u 1
) )
86 neg1cn 10057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
87 mulcom 9066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u 1 ^ N )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
8814, 86, 87sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
8914mulm1d 9475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
9085, 88, 893eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
9190oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9266recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1
) )  e.  CC )
9314, 92mulneg1d 9476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9491, 93eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9594oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  N )  +  -u ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
9674, 84, 953eqtrd 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9713, 66remulcld 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
9897recnd 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  e.  CC )
9939, 98negsubd 9407 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  N )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
10096, 99eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
101100oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  N )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
10214, 39, 98subdid 9479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
10312zcnd 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
1041032timesd 10200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
105104oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  N
) ) )
106 2z 10302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  2  e.  ZZ )
108 expmulz 11416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
10946, 7, 107, 12, 108syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
110105, 109eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
111 sqneg 11432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
1124, 111ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
113 sq1 11466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
114112, 113eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
115114oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ N )  =  ( 1 ^ N )
116110, 115syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( 1 ^ N
) )
117 expaddz 11414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -u 1 ^ ( N  +  N )
)  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) ) )
11846, 7, 12, 12, 117syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
119116, 118, 543eqtr3d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) )  =  1 )
120119oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
12114, 14, 92mulassd 9101 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) ) )
12292mulid2d 9096 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
123120, 121, 1223eqtr3d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
124123oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
125101, 102, 1243eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
126 iseralt.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
127 iseralt.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
1288, 15, 22, 126, 127, 16iseraltlem2 12466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  +  1 )  e.  Z  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
12964, 128syl3an2 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1304a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
13132nn0cnd 10266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  CC )
132103, 130, 131add32d 9278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )
133132fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) )  =  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
13490, 133oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
13590oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
136129, 134, 1353brtr3d 4233 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
13770recnd 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  e.  CC )
13814, 137mulneg1d 9476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
13927, 65ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
140139recnd 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
14114, 140mulneg1d 9476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
142136, 138, 1413brtr3d 4233 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  -u ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
14313, 139remulcld 9106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
144143, 71lenegd 9595 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <->  -u ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
145142, 144mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
146125, 145eqbrtrrd 4226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
147 seqp1 11328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
14834, 147syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
149 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
150 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
151 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
152150, 151oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
153149, 152eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
154153rspcv 3040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
15569, 76, 154sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
15610, 65sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
15732nn0zd 10363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  ZZ )
158 expaddz 11414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K
) ) ) )
15946, 7, 156, 157, 158syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K
) ) ) )
16030nn0zd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
161 expmulz 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )
)  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ K ) )
16246, 7, 107, 160, 161syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ K ) )
163114oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ K )  =  ( 1 ^ K )
164 1exp 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ K )  =  1 )
165160, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1 ^ K )  =  1 )
166163, 165syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ K )  =  1 )
167162, 166eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  1 )
16890, 167oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  1 ) )
169159, 168eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  1 ) )
170132oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
17114negcld 9388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
172171mulid1d 9095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  1 )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
173169, 170, 1723eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
174173oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
17563, 69ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  RR )
176175recnd 9104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  CC )
17714, 176mulneg1d 9476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
178155, 174, 1773eqtrd 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  =  -u ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
179178oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
18013, 175remulcld 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
181180recnd 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  e.  CC )
18237, 181negsubd 9407 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
183148, 179, 1823eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
184183oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
18514, 37, 181subdid 9479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
186119oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
18714, 14, 176mulassd 9101 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) ) )
188176mulid2d 9096 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
189186, 187, 1883eqtr3d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
190189oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
191184, 185, 1903eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
192 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ph )
1938, 15, 22, 126, 127iseraltlem1 12465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
194192, 69, 193syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
19572, 175subge02d 9608 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  <->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) ) )
196194, 195mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
197191, 196eqbrtrd 4224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
19867, 71, 72, 146, 197letrd 9217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
19962, 66readdcld 9105 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
2008, 15, 22, 126, 127, 16iseraltlem2 12466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
2018, 15, 22, 126, 127iseraltlem1 12465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
202192, 65, 201syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
20362, 66addge01d 9604 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
)  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
204202, 203mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
)  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
20572, 62, 199, 200, 204letrd 9217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
20672, 62, 66absdifled 12227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) )  <->  ( (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
207198, 205, 206mpbir2and 889 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) ) )
20861, 207eqbrtrrd 4226 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) )
20914, 137, 39subdid 9479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
210209fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
21170, 38resubcld 9455 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
212211recnd 9104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  CC )
21314, 212absmuld 12246 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
214210, 213eqtr3d 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
21556oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
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) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
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) ) ) ) )
216212abscld 12228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  RR )
217216recnd 9104 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  CC )
218217mulid2d 9096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
219214, 215, 2183eqtrd 2471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
22071, 72, 199, 197, 205letrd 9217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
22171, 62, 66absdifled 12227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) )  <->  ( (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
222146, 220, 221mpbir2and 889 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
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M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
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223219, 222eqbrtrrd 4226 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
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) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) )
224208, 223jca 519 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
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(  +  ,  F
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) )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
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) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    <_ cle 9111    - cmin 9281   -ucneg 9282   2c2 10039   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478    seq cseq 11313   ^cexp 11372   abscabs 12029    ~~> cli 12268
This theorem is referenced by:  iseralt  12468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-rlim 12273
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