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Theorem iseraltlem3 12172
Description: Lemma for iseralt 12173. From iseraltlem2 12171, we have  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  <_ 
( -u 1 ^ n
)  x.  S ( n ) and  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k  +  1 ), and we also have  ( -u 1 ^ n )  x.  S
( n  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  -  G ( n  +  1 ) for each  n by the definition of the partial sum  S, so combining the inequalities we get  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  -  G ( n  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k  +  1 )  =  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  -  G ( n  + 
2 k  +  1 )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n  + 
2 k )  <_ 
( -u 1 ^ n
)  x.  S ( n )  <_  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  +  G ( n  +  1 ), so  |  ( -u
1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k  +  1 )  -  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  |  =  |  S ( n  +  2 k  +  1 )  -  S ( n )  |  <_  G (
n  +  1 ) and  |  ( -u
1 ^ n )  x.  S ( n  +  2 k )  -  ( -u 1 ^ n )  x.  S ( n )  |  =  |  S ( n  +  2 k )  -  S ( n )  |  <_  G ( n  +  1 ). Thus, both even and odd partial sums are Cauchy if  G converges to  0. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iseralt.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseralt.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseralt.3  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
iseralt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
iseralt.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
iseralt.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseraltlem3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, K    k, N    k, Z

Proof of Theorem iseraltlem3
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
21renegcli 9124 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  RR
32a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
4 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
5 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
64, 5negne0i 9137 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
76a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  =/=  0
)
8 iseralt.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
9 uzssz 10263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
108, 9eqsstri 3221 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
11 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  Z
)
1210, 11sseldi 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
133, 7, 12reexpclzd 11286 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  RR )
1413recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
15 iseralt.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
16 iseralt.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
172a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  e.  RR )
186a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  -u 1  =/=  0 )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
2010, 19sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ZZ )
2117, 18, 20reexpclzd 11286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
22 iseralt.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : Z --> RR )
23 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  e.  RR )
2422, 23sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
2521, 24remulcld 8879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
2616, 25eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
278, 15, 26serfre 11091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
28273ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR )
2911, 8syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
30 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
31 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  NN0 )
32 nn0mulcl 10016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  K
)  e.  NN0 )
3330, 31, 32sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  NN0 )
34 uzaddcl 10291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
2  x.  K )  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3529, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  K
) )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3635, 8syl6eleqr 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( 2  x.  K
) )  e.  Z
)
37 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  ( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  Z )  -> 
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  e.  RR )
3828, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  e.  RR )
3938recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  e.  CC )
40 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  N  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
)  e.  RR )
4128, 11, 40syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )  e.  RR )
4241recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )  e.  CC )
4314, 39, 42subdid 9251 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
4443fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
4538, 41resubcld 9227 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
4645recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  CC )
4714, 46absmuld 11952 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
4844, 47eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
493recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  CC )
50 absexpz 11806 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  ( ( abs `  -u 1
) ^ N ) )
5149, 7, 12, 50syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  ( ( abs `  -u 1
) ^ N ) )
524absnegi 11899 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
53 abs1 11798 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
5452, 53eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
5554oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  -u 1
) ^ N )  =  ( 1 ^ N )
56 1exp 11147 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
5712, 56syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
5855, 57syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  -u 1 ) ^ N )  =  1 )
5951, 58eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  =  1 )
6059oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
6146abscld 11934 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  RR )
6261recnd 8877 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  CC )
6362mulid2d 8869 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
6448, 60, 633eqtrd 2332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
6513, 41remulcld 8879 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
)  e.  RR )
66223ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  G : Z --> RR )
678peano2uzs 10289 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Z  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
68673ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  Z
)
69 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  ( N  +  1
)  e.  Z )  ->  ( G `  ( N  +  1
) )  e.  RR )
7066, 68, 69syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1
) )  e.  RR )
7165, 70resubcld 9227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
728peano2uzs 10289 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  Z  ->  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z )
7336, 72syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z
)
74 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z )  -> 
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  RR )
7528, 73, 74syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  e.  RR )
7613, 75remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
7713, 38remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  e.  RR )
78 seqp1 11077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
7929, 78syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
8016ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
81803ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) ) )
82 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( N  +  1
) ) )
83 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) ) )
84 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
8583, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
8682, 85eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8786rspcv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
8868, 81, 87sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( N  +  1
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
8988oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( F `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9049, 7, 12expp1zd 11270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  -u 1
) )
91 neg1cn 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
92 mulcom 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u 1 ^ N )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
9314, 91, 92sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
9414mulm1d 9247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ N ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
9590, 93, 943eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
9695oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9770recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( N  +  1
) )  e.  CC )
9814, 97mulneg1d 9248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
9996, 98eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )
10099oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  ( (
-u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  N )  +  -u ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
10179, 89, 1003eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
10213, 70remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  e.  RR )
103102recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) )  e.  CC )
10442, 103negsubd 9179 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  N )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
105101, 104eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
106105oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  N )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
10714, 42, 103subdid 9251 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
)  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
10812zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
1091082timesd 9970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
110109oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( -u 1 ^ ( N  +  N
) ) )
111 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
112111a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  2  e.  ZZ )
113 expmulz 11164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
11449, 7, 112, 12, 113syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
115110, 114eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ N ) )
116 sqneg 11180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
1174, 116ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
118 sq1 11214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
119117, 118eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
120119oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ N )  =  ( 1 ^ N )
121115, 120syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( 1 ^ N
) )
122 expaddz 11162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -u 1 ^ ( N  +  N )
)  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) ) )
12349, 7, 12, 12, 122syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  +  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) ) )
124121, 123, 573eqtr3d 2336 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( -u 1 ^ N ) )  =  1 )
125124oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
12614, 14, 97mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) ) )
12797mulid2d 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
128125, 126, 1273eqtr3d 2336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( G `  ( N  +  1
) ) )
129128oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
130106, 107, 1293eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
131 iseralt.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  <_  ( G `  k ) )
132 iseralt.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
1338, 15, 22, 131, 132, 16iseraltlem2 12171 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( N  +  1 )  e.  Z  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
13467, 133syl3an2 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
1354a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
13633nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  CC )
137108, 135, 136add32d 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) )  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )
138137fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) )  =  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
13995, 138oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
14095oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
141134, 139, 1403brtr3d 4068 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
14275recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  e.  CC )
14314, 142mulneg1d 9248 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
144 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> RR  /\  ( N  +  1 )  e.  Z )  -> 
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
14528, 68, 144syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
146145recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
14714, 146mulneg1d 9248 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
148141, 143, 1473brtr3d 4068 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  -u ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
14913, 145remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
150149, 76lenegd 9367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <->  -u ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
151148, 150mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
152130, 151eqbrtrrd 4061 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
153 seqp1 11077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
15435, 153syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
155 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
156 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
157 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
158156, 157oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
159155, 158eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( G `
 k ) )  <-> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
160159rspcv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( G `  k ) )  -> 
( F `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (
-u 1 ^ (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
16173, 81, 160sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
16210, 68sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ZZ )
16333nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  K )  e.  ZZ )
164 expaddz 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K
) ) ) )
16549, 7, 162, 163, 164syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  + 
1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K
) ) ) )
16631nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
167 expmulz 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )
)  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ K ) )
16849, 7, 112, 166, 167syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ K ) )
169119oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ K )  =  ( 1 ^ K )
170 1exp 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ K )  =  1 )
171166, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1 ^ K )  =  1 )
172169, 171syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ 2 ) ^ K )  =  1 )
173168, 172eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) )  =  1 )
17495, 173oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( -u 1 ^ ( 2  x.  K ) ) )  =  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  1 ) )
175165, 174eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  1 ) )
176137oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  1 )  +  ( 2  x.  K
) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
17714negcld 9160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  -u ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
178177mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  1 )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
179175, 176, 1783eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  = 
-u ( -u 1 ^ N ) )
180179oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
181 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : Z --> RR  /\  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 )  e.  Z )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  RR )
18266, 73, 181syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  RR )
183182recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  e.  CC )
18414, 183mulneg1d 9248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( -u ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )
185161, 180, 1843eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  =  -u ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
186185oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  ( F `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
18713, 182remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
188187recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )  e.  CC )
18939, 188negsubd 9179 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  +  -u (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )  =  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
190154, 186, 1893eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )
191190oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  (
2  x.  K ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
19214, 39, 188subdid 9251 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) ) )
193124oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
19414, 14, 183mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( -u
1 ^ N ) )  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) ) )
195183mulid2d 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
196193, 194, 1953eqtr3d 2336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) ) )  =  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) ) )
197196oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  ( G `
 ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
198191, 192, 1973eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) ) )
199 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ph )
2008, 15, 22, 131, 132iseraltlem1 12170 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
201199, 73, 200syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )
20277, 182subge02d 9380 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( G `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  <->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) ) )
203201, 202mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( G `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
204198, 203eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
20571, 76, 77, 152, 204letrd 8989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) ) )
20665, 70readdcld 8878 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
2078, 15, 22, 131, 132, 16iseraltlem2 12171 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )
2088, 15, 22, 131, 132iseraltlem1 12170 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( N  +  1 )  e.  Z )  ->  0  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
209199, 68, 208syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
21065, 70addge01d 9376 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
)  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
211209, 210mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
)  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
21277, 65, 206, 207, 211letrd 8989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
21377, 65, 70absdifled 11933 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) )  <->  ( (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  <_  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
214205, 212, 213mpbir2and 888 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) ) )
21564, 214eqbrtrrd 4061 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) )
21614, 142, 42subdid 9251 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
217216fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
21875, 41resubcld 9227 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  RR )
219218recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) )  -  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  e.  CC )
22014, 219absmuld 11952 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
221217, 220eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
22259oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( -u 1 ^ N ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
223219abscld 11934 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  RR )
224223recnd 8877 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  e.  CC )
225224mulid2d 8869 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
226221, 222, 2253eqtrd 2332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
22776, 77, 206, 204, 212letrd 8989 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
22876, 65, 70absdifled 11933 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( -u
1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) )  <->  ( (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  -  ( G `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  /\  ( (
-u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  <_  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) )  +  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
229152, 227, 228mpbir2and 888 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
( ( -u 1 ^ N )  x.  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
( N  +  ( 2  x.  K ) )  +  1 ) ) )  -  (
( -u 1 ^ N
)  x.  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )  <_  ( G `  ( N  +  1
) ) )
230226, 229eqbrtrrd 4061 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) )
231215, 230jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  Z  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( N  +  ( 2  x.  K ) ) )  -  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  N )
) )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) )  /\  ( abs `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  ( ( N  +  ( 2  x.  K
) )  +  1 ) )  -  (  seq  M (  +  ,  F ) `  N
) ) )  <_ 
( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  iseralt  12173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979
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