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Theorem isercoll 12348
Description: Rearrange an infinite series by spacing out the terms using an order isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isercoll.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isercoll.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
isercoll.i  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
isercoll.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( Z  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
isercoll.f  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
isercoll.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
isercoll  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F, n    ph, k, n    k, G, n    k, H, n    k, M, n   
n, Z
Allowed substitution hint:    Z( k)

Proof of Theorem isercoll
Dummy variables  j  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 uzssz 10398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3294 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  ZZ
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
5 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `  n
)  e.  Z )
64, 5sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  Z )
73, 6sseldi 3264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  ZZ )
8 nnz 10196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
98ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
10 fzfid 11199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( M ... m )  e.  Fin )
11 ffun 5497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : NN --> Z  ->  Fun  G )
12 funimacnv 5429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) )  =  ( ( M ... m )  i^i  ran  G ) )
134, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  =  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )
)
14 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... m
)
1514a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... m ) )
1613, 15eqsstrd 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  C_  ( M ... m ) )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  C_  ( M ... m ) )
18 ssfi 7226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M ... m
)  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  C_  ( M ... m ) )  -> 
( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin )
1910, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  e. 
Fin )
20 hashcl 11526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  NN0 )
21 nn0z 10197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )  e.  ZZ )
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  e.  ZZ )
23 ssid 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  C_  NN
24 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
25 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
261, 24, 4, 25isercolllem1 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  NN  C_  NN )  ->  ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
2723, 26mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G  |`  NN ) 
Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
28 ffn 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G : NN --> Z  ->  G  Fn  NN )
294, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  G  Fn  NN )
30 fnresdm 5458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G  Fn  NN  ->  ( G  |`  NN )  =  G )
31 isoeq1 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  |`  NN )  =  G  ->  ( ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  <->  G  Isom  <  ,  <  ( NN , 
( G " NN ) ) ) )
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  <->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) ) )
3327, 32mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) ) )
34 isof1o 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  ->  G : NN -1-1-onto-> ( G " NN ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-onto-> ( G " NN ) )
36 f1ocnv 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( G " NN )  ->  `' G :
( G " NN )
-1-1-onto-> NN )
37 f1ofun 5580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' G : ( G
" NN ) -1-1-onto-> NN  ->  Fun  `' G )
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  `' G )
39 df-f1 5363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : NN -1-1-> Z  <->  ( G : NN --> Z  /\  Fun  `' G ) )
404, 38, 39sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-> Z
)
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G : NN -1-1-> Z )
42 elfznn 10972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1 ... n )  ->  y  e.  NN )
4342ssriv 3270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
44 ovex 6006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
4544f1imaen 7066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : NN -1-1-> Z  /\  ( 1 ... n
)  C_  NN )  ->  ( G " (
1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) )
4641, 43, 45sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  ~~  (
1 ... n ) )
47 fzfid 11199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  Fin )
48 enfii 7223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  ( G " ( 1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) )  -> 
( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin )
4947, 46, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  e.  Fin )
50 hashen 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... n )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... n ) ) )  =  ( # `  (
1 ... n ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) ) )
5149, 47, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( ( # `  ( G " (
1 ... n ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... n
) )  <->  ( G " ( 1 ... n
) )  ~~  (
1 ... n ) ) )
5246, 51mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  =  ( # `  (
1 ... n ) ) )
53 nnnn0 10121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
5453ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
55 hashfz1 11517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... n
) )  =  n )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... n ) )  =  n )
5752, 56eqtrd 2398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  =  n )
5842adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  NN )
59 zssre 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ZZ  C_  RR
603, 59sstri 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  C_  RR
614ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G : NN --> Z )
62 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  y  e.  NN )  ->  ( G `  y
)  e.  Z )
6361, 42, 62syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  Z
)
6460, 63sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
656ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  e.  Z
)
6660, 65sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
67 eluzelz 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n )
)  ->  m  e.  ZZ )
6867ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  m  e.  ZZ )
6968zred 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  m  e.  RR )
70 elfzle2 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( 1 ... n )  ->  y  <_  n )
7170adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  <_  n )
7233ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN , 
( G " NN ) ) )
73 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  n  e.  NN )
74 isorel 5946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( n  <  y  <->  ( G `  n )  <  ( G `  y ) ) )
7572, 73, 58, 74syl12anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( n  <  y  <->  ( G `  n )  <  ( G `  y )
) )
7675notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( -.  n  <  y  <->  -.  ( G `  n )  <  ( G `  y
) ) )
7758nnred 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  RR )
7873nnred 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  n  e.  RR )
7977, 78lenltd 9112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  <_  n  <->  -.  n  <  y ) )
8064, 66lenltd 9112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( G `  y )  <_  ( G `  n
)  <->  -.  ( G `  n )  <  ( G `  y )
) )
8176, 79, 803bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  <_  n  <->  ( G `  y )  <_  ( G `  n )
) )
8271, 81mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  <_  ( G `  n )
)
83 eluzle 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n )
)  ->  ( G `  n )  <_  m
)
8483ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  <_  m
)
8564, 66, 69, 82, 84letrd 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  <_  m
)
8663, 1syl6eleq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
87 elfz5 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( M ... m )  <->  ( G `  y )  <_  m
) )
8886, 68, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( G `  y )  e.  ( M ... m
)  <->  ( G `  y )  <_  m
) )
8985, 88mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( M ... m ) )
9061, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G  Fn  NN )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  G  Fn  NN )
92 elpreima 5752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  NN  ->  (
y  e.  ( `' G " ( M ... m ) )  <-> 
( y  e.  NN  /\  ( G `  y
)  e.  ( M ... m ) ) ) )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  e.  ( `' G "
( M ... m
) )  <->  ( y  e.  NN  /\  ( G `
 y )  e.  ( M ... m
) ) ) )
9458, 89, 93mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  ( `' G " ( M ... m ) ) )
9594ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... n
)  ->  y  e.  ( `' G " ( M ... m ) ) ) )
9695ssrdv 3271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  ( `' G " ( M ... m ) ) )
97 imass2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  ( `' G " ( M ... m
) )  ->  ( G " ( 1 ... n ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )
99 ssdomg 7050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin  ->  ( ( G " (
1 ... n ) ) 
C_  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  -> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
10019, 98, 99sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  ~<_  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) )
101 hashdom 11540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
10249, 19, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( ( # `  ( G " (
1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
103100, 102mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )
10457, 103eqbrtrrd 4147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  <_  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )
105 eluz2 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
)  <->  ( n  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )  e.  ZZ  /\  n  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
1069, 22, 104, 105syl3anbrc 1137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
107 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  =  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
108107eleq1d 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC ) )
109107oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )
110109fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) ) )
111110breq1d 4135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
112108, 111anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
113112rspcv 2965 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
114106, 113syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
115114ralrimdva 2718 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
116 fveq2 5632 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( G `  n )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )
117116raleqdv 2827 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( G `  n )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
118117rspcev 2969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  ZZ  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
1197, 115, 118ee12an 1368 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
120119rexlimdva 2752 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
121 1nn 9904 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
122 ffvelrn 5770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  1  e.  NN )  ->  ( G `  1
)  e.  Z )
1234, 121, 122sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  Z )
124123, 1syl6eleq 2456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
125 eluzelz 10389 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  1 )  e.  ZZ )
126 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) )
127126rexuz3 12039 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  1 )  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  ( G ` 
1 ) ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
128124, 125, 1273syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
129120, 128sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
130 fzfid 11199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( M ... j )  e.  Fin )
131 funimacnv 5429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  =  ( ( M ... j )  i^i  ran  G ) )
1324, 11, 1313syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  =  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )
)
133 inss1 3477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... j
)
134133a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... j ) )
135132, 134eqsstrd 3298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  C_  ( M ... j ) )
136135adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  C_  ( M ... j ) )
137 ssfi 7226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M ... j
)  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  C_  ( M ... j ) )  -> 
( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin )
138130, 136, 137syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  e. 
Fin )
139 hashcl 11526 . . . . . . . 8  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0 )
140 nn0p1nn 10152 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
141138, 139, 1403syl 18 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
142 eluzle 10391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  <_  k )
143142adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k )
144138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  e. 
Fin )
145 nn0z 10197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  e.  ZZ )
146144, 139, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  ZZ )
147 eluzelz 10389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
148147adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
149 zltp1le 10218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k ) )
150146, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k ) )
151143, 150mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <  k )
152 nn0re 10123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  e.  RR )
153138, 139, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  RR )
154153adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  RR )
155 nnuz 10414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
156155uztrn2 10396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
157141, 156sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
158157nnred 9908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
159154, 158ltnled 9113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  -.  k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
160151, 159mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  -.  k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
161 fzss2 10984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k )
)  ->  ( M ... ( G `  k
) )  C_  ( M ... j ) )
162 imass2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... ( G `
 k ) ) 
C_  ( M ... j )  ->  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) 
C_  ( `' G " ( M ... j
) ) )
163 imass2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) 
C_  ( `' G " ( M ... j
) )  ->  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )
164161, 162, 1633syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k )
)  ->  ( G " ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )
165 ssdomg 7050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin  ->  ( ( G " (
1 ... k ) ) 
C_  ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) )  -> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
166144, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( 1 ... k ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  ~<_  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
1674ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  G : NN
--> Z )
168 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x
)  e.  Z )
169167, 168sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  Z )
170169, 1syl6eleq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
171 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k
)  e.  Z )
172167, 157, 171syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  Z
)
1733, 172sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
174173adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
175 elfz5 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( G `  k )  e.  ZZ )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
176170, 174, 175syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
17733ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
178 nnssre 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  C_  RR
179 ressxr 9023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  RR  C_  RR*
180178, 179sstri 3274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  C_  RR*
181180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  NN  C_ 
RR* )
182 imassrn 5128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G
" NN )  C_  ran  G
183167adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  G : NN --> Z )
184 frn 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( G : NN --> Z  ->  ran  G  C_  Z )
185183, 184syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ran  G 
C_  Z )
186185, 60syl6ss 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ran  G 
C_  RR )
187182, 186syl5ss 3276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G " NN )  C_  RR )
188187, 179syl6ss 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G " NN )  C_  RR* )
189 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
190157adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
191 leisorel 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) )  /\  ( NN  C_  RR* 
/\  ( G " NN )  C_  RR* )  /\  ( x  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  ( x  <_  k  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
192177, 181, 188, 189, 190, 191syl122anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  <_  k  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
193176, 192bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  x  <_  k ) )
194193pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
x  e.  NN  /\  ( G `  x )  e.  ( M ... ( G `  k ) ) )  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
195 elpreima 5752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  NN  ->  (
x  e.  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) )  <-> 
( x  e.  NN  /\  ( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) ) ) ) )
196167, 28, 1953syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( G `
 x )  e.  ( M ... ( G `  k )
) ) ) )
197 fznn 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( 1 ... k )  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
198148, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
199194, 196, 1983bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) )  <->  x  e.  ( 1 ... k
) ) )
200199eqrdv 2364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) )  =  ( 1 ... k ) )
201200imaeq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) )  =  ( G " (
1 ... k ) ) )
202201sseq1d 3291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  <->  ( G "
( 1 ... k
) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
20340ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  G : NN
-1-1-> Z )
204 elfznn 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  NN )
205204ssriv 3270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
206 ovex 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... k )  e. 
_V
207206f1imaen 7066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : NN -1-1-> Z  /\  ( 1 ... k
)  C_  NN )  ->  ( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) )
208203, 205, 207sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  ~~  (
1 ... k ) )
209 fzfid 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
210 enfii 7223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  ( G " ( 1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) )  -> 
( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin )
211209, 208, 210syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  e.  Fin )
212 hashen 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... k )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... k ) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) ) )
213211, 209, 212syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) ) )
214208, 213mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) ) )
215 nnnn0 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
216 hashfz1 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... k
) )  =  k )
217157, 215, 2163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... k ) )  =  k )
218214, 217eqtrd 2398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) )  =  k )
219218breq1d 4135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  <_ 
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
220 hashdom 11540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... k ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
221211, 144, 220syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  <_ 
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
222219, 221bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
223166, 202, 2223imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  ->  k  <_  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) ) ) )
224164, 223syl5 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  -> 
k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
225160, 224mtod 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  -.  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) ) )
226 eluzelz 10389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
)  ->  j  e.  ZZ )
227226ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
228 uztric 10400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  ( G `  k ) )  \/  ( G `  k
)  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
229173, 227, 228syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  \/  ( G `  k
)  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
230229ord 366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( -.  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  ->  ( G `  k )  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
231225, 230mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
232 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( M ... m )  =  ( M ... ( G `  k )
) )
233232imaeq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( `' G " ( M ... m ) )  =  ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )
234233imaeq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) )  =  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) ) )
235234fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) )  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )
236235fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) ) )
237236eleq1d 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC ) )
238236oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )
239238fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  =  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) ) )
240239breq1d 4135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
241237, 240anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <-> 
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
242241rspcv 2965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  k )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
243231, 242syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
244201fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) )  =  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) ) )
245244, 218eqtrd 2398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) )  =  k )
246245fveq2d 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
) )
247246eleq1d 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC ) )
248246oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  -  A ) )
249248fveq2d 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  =  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) ) )
250249breq1d 4135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )
251247, 250anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <-> 
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
252243, 251sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  -  A
) )  <  x
) ) )
253252ralrimdva 2718 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
254 fveq2 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  ->  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 ) ) )
255254raleqdv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
256255rspcev 2969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) )
257141, 253, 256ee12an 1368 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
258257rexlimdva 2752 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
259129, 258impbid 183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
260259ralbidv 2648 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
261260anbi2d 684 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) ) )
262 1z 10204 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
263262a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
264 seqex 11212 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  H
)  e.  _V
265264a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  H )  e. 
_V )
266 eqidd 2367 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
) )
267155, 263, 265, 266clim2 12185 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
268124, 125syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ZZ )
269 seqex 11212 . . . 4  |-  seq  M
(  +  ,  F
)  e.  _V
270269a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
_V )
271 isercoll.0 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( Z  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
272 isercoll.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
273 isercoll.h . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
2741, 24, 4, 25, 271, 272, 273isercolllem3 12347 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
275126, 268, 270, 274clim2 12185 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) ) )
276261, 267, 2753bitr4d 276 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    i^i cin 3237    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   `'ccnv 4791   ran crn 4793    |` cres 4794   "cima 4795   Fun wfun 5352    Fn wfn 5353   -->wf 5354   -1-1->wf1 5355   -1-1-onto->wf1o 5357   ` cfv 5358    Isom wiso 5359  (class class class)co 5981    ~~ cen 7003    ~<_ cdom 7004   Fincfn 7006   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184   NNcn 9893   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   RR+crp 10505   ...cfz 10935    seq cseq 11210   #chash 11505   abscabs 11926    ~~> cli 12165
This theorem is referenced by:  isercoll2  12349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-seq 11211  df-hash 11506  df-clim 12169
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