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Theorem isercoll 12466
Description: Rearrange an infinite series by spacing out the terms using an order isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isercoll.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isercoll.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
isercoll.i  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
isercoll.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( Z  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
isercoll.f  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
isercoll.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
isercoll  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F, n    ph, k, n    k, G, n    k, H, n    k, M, n   
n, Z
Allowed substitution hint:    Z( k)

Proof of Theorem isercoll
Dummy variables  j  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 uzssz 10510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3380 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  ZZ
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
54ffvelrnda 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  Z )
63, 5sseldi 3348 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  ZZ )
7 nnz 10308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
87ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
9 fzfid 11317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( M ... m )  e.  Fin )
10 ffun 5596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : NN --> Z  ->  Fun  G )
11 funimacnv 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) )  =  ( ( M ... m )  i^i  ran  G ) )
124, 10, 113syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  =  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )
)
13 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... m
)
1412, 13syl6eqss 3400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  C_  ( M ... m ) )
1514ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  C_  ( M ... m ) )
16 ssfi 7332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M ... m
)  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  C_  ( M ... m ) )  -> 
( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin )
179, 15, 16syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  e. 
Fin )
18 hashcl 11644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  NN0 )
19 nn0z 10309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )  e.  ZZ )
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  e.  ZZ )
21 ssid 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN  C_  NN
22 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
23 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
241, 22, 4, 23isercolllem1 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  NN  C_  NN )  ->  ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
2521, 24mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G  |`  NN ) 
Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
26 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : NN --> Z  ->  G  Fn  NN )
27 fnresdm 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G  Fn  NN  ->  ( G  |`  NN )  =  G )
28 isoeq1 6042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  |`  NN )  =  G  ->  ( ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  <->  G  Isom  <  ,  <  ( NN , 
( G " NN ) ) ) )
294, 26, 27, 284syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  <->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) ) )
3025, 29mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) ) )
31 isof1o 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  ->  G : NN -1-1-onto-> ( G " NN ) )
32 f1ocnv 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( G " NN )  ->  `' G :
( G " NN )
-1-1-onto-> NN )
33 f1ofun 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' G : ( G
" NN ) -1-1-onto-> NN  ->  Fun  `' G )
3430, 31, 32, 334syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  `' G )
35 df-f1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : NN -1-1-> Z  <->  ( G : NN --> Z  /\  Fun  `' G ) )
364, 34, 35sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-> Z
)
3736ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G : NN -1-1-> Z )
38 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1 ... n )  ->  y  e.  NN )
3938ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
40 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
4140f1imaen 7172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : NN -1-1-> Z  /\  ( 1 ... n
)  C_  NN )  ->  ( G " (
1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) )
4237, 39, 41sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  ~~  (
1 ... n ) )
43 fzfid 11317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  Fin )
44 enfii 7329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  ( G " ( 1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) )  -> 
( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin )
4543, 42, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  e.  Fin )
46 hashen 11636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... n )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... n ) ) )  =  ( # `  (
1 ... n ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) ) )
4745, 43, 46syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( ( # `  ( G " (
1 ... n ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... n
) )  <->  ( G " ( 1 ... n
) )  ~~  (
1 ... n ) ) )
4842, 47mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  =  ( # `  (
1 ... n ) ) )
49 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
5049ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
51 hashfz1 11635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... n
) )  =  n )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... n ) )  =  n )
5348, 52eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  =  n )
5438adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  NN )
55 zssre 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ZZ  C_  RR
563, 55sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  C_  RR
574ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G : NN --> Z )
58 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  y  e.  NN )  ->  ( G `  y
)  e.  Z )
5957, 38, 58syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  Z
)
6056, 59sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
615ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  e.  Z
)
6256, 61sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
63 eluzelz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n )
)  ->  m  e.  ZZ )
6463ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  m  e.  ZZ )
6564zred 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  m  e.  RR )
66 elfzle2 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( 1 ... n )  ->  y  <_  n )
6766adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  <_  n )
6830ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN , 
( G " NN ) ) )
69 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  n  e.  NN )
70 isorel 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( n  <  y  <->  ( G `  n )  <  ( G `  y ) ) )
7168, 69, 54, 70syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( n  <  y  <->  ( G `  n )  <  ( G `  y )
) )
7271notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( -.  n  <  y  <->  -.  ( G `  n )  <  ( G `  y
) ) )
7354nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  RR )
7469nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  n  e.  RR )
7573, 74lenltd 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  <_  n  <->  -.  n  <  y ) )
7660, 62lenltd 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( G `  y )  <_  ( G `  n
)  <->  -.  ( G `  n )  <  ( G `  y )
) )
7772, 75, 763bitr4d 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  <_  n  <->  ( G `  y )  <_  ( G `  n )
) )
7867, 77mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  <_  ( G `  n )
)
79 eluzle 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n )
)  ->  ( G `  n )  <_  m
)
8079ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  <_  m
)
8160, 62, 65, 78, 80letrd 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  <_  m
)
8259, 1syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
83 elfz5 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( M ... m )  <->  ( G `  y )  <_  m
) )
8482, 64, 83syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( G `  y )  e.  ( M ... m
)  <->  ( G `  y )  <_  m
) )
8581, 84mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( M ... m ) )
8657, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G  Fn  NN )
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  G  Fn  NN )
88 elpreima 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  NN  ->  (
y  e.  ( `' G " ( M ... m ) )  <-> 
( y  e.  NN  /\  ( G `  y
)  e.  ( M ... m ) ) ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  e.  ( `' G "
( M ... m
) )  <->  ( y  e.  NN  /\  ( G `
 y )  e.  ( M ... m
) ) ) )
9054, 85, 89mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  ( `' G " ( M ... m ) ) )
9190ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... n
)  ->  y  e.  ( `' G " ( M ... m ) ) ) )
9291ssrdv 3356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  ( `' G " ( M ... m ) ) )
93 imass2 5243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  ( `' G " ( M ... m
) )  ->  ( G " ( 1 ... n ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )
95 ssdomg 7156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin  ->  ( ( G " (
1 ... n ) ) 
C_  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  -> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
9617, 94, 95sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  ~<_  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) )
97 hashdom 11658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
9845, 17, 97syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( ( # `  ( G " (
1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
9996, 98mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )
10053, 99eqbrtrrd 4237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  <_  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )
101 eluz2 10499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
)  <->  ( n  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )  e.  ZZ  /\  n  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
1028, 20, 100, 101syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
103 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  =  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
104103eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC ) )
105103oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )
106105fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) ) )
107106breq1d 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
108104, 107anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
109108rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
110102, 109syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
111110ralrimdva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
112 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( G `  n )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )
113112raleqdv 2912 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( G `  n )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
114113rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  ZZ  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
1156, 111, 114ee12an 1373 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
116115rexlimdva 2832 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
117 1nn 10016 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
118 ffvelrn 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  1  e.  NN )  ->  ( G `  1
)  e.  Z )
1194, 117, 118sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  Z )
120119, 1syl6eleq 2528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
121 eluzelz 10501 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  1 )  e.  ZZ )
122 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) )
123122rexuz3 12157 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  1 )  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  ( G ` 
1 ) ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
124120, 121, 1233syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
125116, 124sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
126 fzfid 11317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( M ... j )  e.  Fin )
127 funimacnv 5528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  =  ( ( M ... j )  i^i  ran  G ) )
1284, 10, 1273syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  =  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )
)
129 inss1 3563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... j
)
130128, 129syl6eqss 3400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  C_  ( M ... j ) )
131130adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  C_  ( M ... j ) )
132 ssfi 7332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M ... j
)  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  C_  ( M ... j ) )  -> 
( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin )
133126, 131, 132syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  e. 
Fin )
134 hashcl 11644 . . . . . . . 8  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0 )
135 nn0p1nn 10264 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
136133, 134, 1353syl 19 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
137 eluzle 10503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  <_  k )
138137adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k )
139133adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  e. 
Fin )
140 nn0z 10309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  e.  ZZ )
141139, 134, 1403syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  ZZ )
142 eluzelz 10501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
143142adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
144 zltp1le 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k ) )
145141, 143, 144syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k ) )
146138, 145mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <  k )
147 nn0re 10235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  e.  RR )
148133, 134, 1473syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  RR )
149148adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  RR )
150 nnuz 10526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
151150uztrn2 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
152136, 151sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
153152nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
154149, 153ltnled 9225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  -.  k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
155146, 154mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  -.  k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
156 fzss2 11097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k )
)  ->  ( M ... ( G `  k
) )  C_  ( M ... j ) )
157 imass2 5243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... ( G `
 k ) ) 
C_  ( M ... j )  ->  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) 
C_  ( `' G " ( M ... j
) ) )
158 imass2 5243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) 
C_  ( `' G " ( M ... j
) )  ->  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )
159156, 157, 1583syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k )
)  ->  ( G " ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )
160 ssdomg 7156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin  ->  ( ( G " (
1 ... k ) ) 
C_  ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) )  -> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
161139, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( 1 ... k ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  ~<_  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
1624ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  G : NN
--> Z )
163162ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  Z )
164163, 1syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
165162, 152ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  Z
)
1663, 165sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
167166adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
168 elfz5 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( G `  k )  e.  ZZ )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
169164, 167, 168syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
17030ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
171 nnssre 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  C_  RR
172 ressxr 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  RR  C_  RR*
173171, 172sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  C_  RR*
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  NN  C_ 
RR* )
175 imassrn 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G
" NN )  C_  ran  G
176162adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  G : NN --> Z )
177 frn 5600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( G : NN --> Z  ->  ran  G  C_  Z )
178176, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ran  G 
C_  Z )
179178, 56syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ran  G 
C_  RR )
180175, 179syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G " NN )  C_  RR )
181180, 172syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G " NN )  C_  RR* )
182 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
183152adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
184 leisorel 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) )  /\  ( NN  C_  RR* 
/\  ( G " NN )  C_  RR* )  /\  ( x  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  ( x  <_  k  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
185170, 174, 181, 182, 183, 184syl122anc 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  <_  k  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
186169, 185bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  x  <_  k ) )
187186pm5.32da 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
x  e.  NN  /\  ( G `  x )  e.  ( M ... ( G `  k ) ) )  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
188 elpreima 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  NN  ->  (
x  e.  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) )  <-> 
( x  e.  NN  /\  ( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) ) ) ) )
189162, 26, 1883syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( G `
 x )  e.  ( M ... ( G `  k )
) ) ) )
190 fznn 11120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( 1 ... k )  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
191143, 190syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
192187, 189, 1913bitr4d 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) )  <->  x  e.  ( 1 ... k
) ) )
193192eqrdv 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) )  =  ( 1 ... k ) )
194193imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) )  =  ( G " (
1 ... k ) ) )
195194sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  <->  ( G "
( 1 ... k
) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
19636ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  G : NN
-1-1-> Z )
197 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  NN )
198197ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
199 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... k )  e. 
_V
200199f1imaen 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : NN -1-1-> Z  /\  ( 1 ... k
)  C_  NN )  ->  ( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) )
201196, 198, 200sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  ~~  (
1 ... k ) )
202 fzfid 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
203 enfii 7329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  ( G " ( 1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) )  -> 
( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin )
204202, 201, 203syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  e.  Fin )
205 hashen 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... k )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... k ) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) ) )
206204, 202, 205syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) ) )
207201, 206mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) ) )
208 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
209 hashfz1 11635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... k
) )  =  k )
210152, 208, 2093syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... k ) )  =  k )
211207, 210eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) )  =  k )
212211breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  <_ 
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
213 hashdom 11658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... k ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
214204, 139, 213syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  <_ 
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
215212, 214bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
216161, 195, 2153imtr4d 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  ->  k  <_  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) ) ) )
217159, 216syl5 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  -> 
k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
218155, 217mtod 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  -.  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) ) )
219 eluzelz 10501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
)  ->  j  e.  ZZ )
220219ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
221 uztric 10512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  ( G `  k ) )  \/  ( G `  k
)  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
222166, 220, 221syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  \/  ( G `  k
)  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
223222ord 368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( -.  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  ->  ( G `  k )  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
224218, 223mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
225 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( M ... m )  =  ( M ... ( G `  k )
) )
226225imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( `' G " ( M ... m ) )  =  ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )
227226imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) )  =  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) ) )
228227fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) )  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )
229228fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) ) )
230229eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC ) )
231229oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )
232231fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  =  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) ) )
233232breq1d 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
234230, 233anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <-> 
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
235234rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  k )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
236224, 235syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
237194fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) )  =  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) ) )
238237, 211eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) )  =  k )
239238fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
) )
240239eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC ) )
241239oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  -  A ) )
242241fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  =  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) ) )
243242breq1d 4225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )
244240, 243anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <-> 
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
245236, 244sylibd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  -  A
) )  <  x
) ) )
246245ralrimdva 2798 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
247 fveq2 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  ->  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 ) ) )
248247raleqdv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
249248rspcev 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) )
250136, 246, 249ee12an 1373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
251250rexlimdva 2832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
252125, 251impbid 185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
253252ralbidv 2727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
254253anbi2d 686 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) ) )
255 1z 10316 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
256255a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
257 seqex 11330 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  H
)  e.  _V
258257a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  H )  e. 
_V )
259 eqidd 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
) )
260150, 256, 258, 259clim2 12303 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
261120, 121syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ZZ )
262 seqex 11330 . . . 4  |-  seq  M
(  +  ,  F
)  e.  _V
263262a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
_V )
264 isercoll.0 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( Z  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
265 isercoll.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
266 isercoll.h . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
2671, 22, 4, 23, 264, 265, 266isercolllem3 12465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
268122, 261, 263, 267clim2 12303 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) ) )
269254, 260, 2683bitr4d 278 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   ran crn 4882    |` cres 4883   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457    Isom wiso 5458  (class class class)co 6084    ~~ cen 7109    ~<_ cdom 7110   Fincfn 7112   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617   ...cfz 11048    seq cseq 11328   #chash 11623   abscabs 12044    ~~> cli 12283
This theorem is referenced by:  isercoll2  12467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-hash 11624  df-clim 12287
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