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Theorem isercoll 12141
Description: Rearrange an infinite series by spacing out the terms using an order isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isercoll.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isercoll.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
isercoll.i  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
isercoll.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( Z  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
isercoll.f  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
isercoll.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
Assertion
Ref Expression
isercoll  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F, n    ph, k, n    k, G, n    k, H, n    k, M, n   
n, Z
Allowed substitution hint:    Z( k)

Proof of Theorem isercoll
Dummy variables  j  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 uzssz 10247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3208 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  ZZ
4 isercoll.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
5 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `  n
)  e.  Z )
64, 5sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  Z )
73, 6sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  ZZ )
8 nnz 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
98ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
10 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( M ... m )  e.  Fin )
11 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : NN --> Z  ->  Fun  G )
12 funimacnv 5324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) )  =  ( ( M ... m )  i^i  ran  G ) )
134, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  =  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )
)
14 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... m
)
1514a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M ... m )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... m ) )
1613, 15eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  C_  ( M ... m ) )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  C_  ( M ... m ) )
18 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M ... m
)  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  C_  ( M ... m ) )  -> 
( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin )
1910, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  e. 
Fin )
20 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  NN0 )
21 nn0z 10046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )  e.  ZZ )
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  e.  ZZ )
23 ssid 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  C_  NN
24 isercoll.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
25 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
261, 24, 4, 25isercolllem1 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  NN  C_  NN )  ->  ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
2723, 26mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G  |`  NN ) 
Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
28 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G : NN --> Z  ->  G  Fn  NN )
294, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  G  Fn  NN )
30 fnresdm 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G  Fn  NN  ->  ( G  |`  NN )  =  G )
31 isoeq1 5816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  |`  NN )  =  G  ->  ( ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  <->  G  Isom  <  ,  <  ( NN , 
( G " NN ) ) ) )
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( G  |`  NN )  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  <->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) ) )
3327, 32mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) ) )
34 isof1o 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) )  ->  G : NN -1-1-onto-> ( G " NN ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-onto-> ( G " NN ) )
36 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( G " NN )  ->  `' G :
( G " NN )
-1-1-onto-> NN )
37 f1ofun 5474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' G : ( G
" NN ) -1-1-onto-> NN  ->  Fun  `' G )
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  `' G )
39 df-f1 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : NN -1-1-> Z  <->  ( G : NN --> Z  /\  Fun  `' G ) )
404, 38, 39sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-> Z
)
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G : NN -1-1-> Z )
42 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1 ... n )  ->  y  e.  NN )
4342ssriv 3184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
44 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
4544f1imaen 6923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : NN -1-1-> Z  /\  ( 1 ... n
)  C_  NN )  ->  ( G " (
1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) )
4641, 43, 45sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  ~~  (
1 ... n ) )
47 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  Fin )
48 enfii 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  ( G " ( 1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) )  -> 
( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin )
4947, 46, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  e.  Fin )
50 hashen 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... n )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... n ) ) )  =  ( # `  (
1 ... n ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) ) 
~~  ( 1 ... n ) ) )
5149, 47, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( ( # `  ( G " (
1 ... n ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... n
) )  <->  ( G " ( 1 ... n
) )  ~~  (
1 ... n ) ) )
5246, 51mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  =  ( # `  (
1 ... n ) ) )
53 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
5453ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
55 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... n
) )  =  n )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... n ) )  =  n )
5752, 56eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  =  n )
5842adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  NN )
59 zssre 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ZZ  C_  RR
603, 59sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  C_  RR
614ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G : NN --> Z )
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  y  e.  NN )  ->  ( G `  y
)  e.  Z )
6361, 42, 62syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  Z
)
6460, 63sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
656ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  e.  Z
)
6660, 65sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
67 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n )
)  ->  m  e.  ZZ )
6867ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  m  e.  ZZ )
6968zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  m  e.  RR )
70 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( 1 ... n )  ->  y  <_  n )
7170adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  <_  n )
7233ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN , 
( G " NN ) ) )
73 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  n  e.  NN )
74 isorel 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( n  <  y  <->  ( G `  n )  <  ( G `  y ) ) )
7572, 73, 58, 74syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( n  <  y  <->  ( G `  n )  <  ( G `  y )
) )
7675notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( -.  n  <  y  <->  -.  ( G `  n )  <  ( G `  y
) ) )
7758nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  RR )
7873nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  n  e.  RR )
7977, 78lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  <_  n  <->  -.  n  <  y ) )
8064, 66lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( G `  y )  <_  ( G `  n
)  <->  -.  ( G `  n )  <  ( G `  y )
) )
8176, 79, 803bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  <_  n  <->  ( G `  y )  <_  ( G `  n )
) )
8271, 81mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  <_  ( G `  n )
)
83 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n )
)  ->  ( G `  n )  <_  m
)
8483ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  n )  <_  m
)
8564, 66, 69, 82, 84letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  <_  m
)
8663, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
87 elfz5 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( M ... m )  <->  ( G `  y )  <_  m
) )
8886, 68, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( G `  y )  e.  ( M ... m
)  <->  ( G `  y )  <_  m
) )
8985, 88mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( G `  y )  e.  ( M ... m ) )
9061, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  G  Fn  NN )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  G  Fn  NN )
92 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  NN  ->  (
y  e.  ( `' G " ( M ... m ) )  <-> 
( y  e.  NN  /\  ( G `  y
)  e.  ( M ... m ) ) ) )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( y  e.  ( `' G "
( M ... m
) )  <->  ( y  e.  NN  /\  ( G `
 y )  e.  ( M ... m
) ) ) )
9458, 89, 93mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... n ) )  ->  y  e.  ( `' G " ( M ... m ) ) )
9594ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... n
)  ->  y  e.  ( `' G " ( M ... m ) ) ) )
9695ssrdv 3185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  ( `' G " ( M ... m ) ) )
97 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  ( `' G " ( M ... m
) )  ->  ( G " ( 1 ... n ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )
9896, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )
99 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) )  e.  Fin  ->  ( ( G " (
1 ... n ) ) 
C_  ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) )  -> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
10019, 98, 99sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( G "
( 1 ... n
) )  ~<_  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) )
101 hashdom 11361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G " (
1 ... n ) )  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
10249, 19, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( ( # `  ( G " (
1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... n ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) ) )
103100, 102mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... n ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )
10457, 103eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  n  <_  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )
105 eluz2 10236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
)  <->  ( n  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m ) ) ) )  e.  ZZ  /\  n  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
1069, 22, 104, 105syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
107 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  =  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
108107eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC ) )
109107oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )
110109fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) ) )
111110breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
112108, 111anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) )  ->  ( ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
113112rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... m
) ) ) )  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
114106, 113syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
115114ralrimdva 2633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
116 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( G `  n )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) )
117116raleqdv 2742 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( G `  n )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
118117rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  ZZ  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  n ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
1197, 115, 118ee12an 1353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
120119rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
121 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
122 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  1  e.  NN )  ->  ( G `  1
)  e.  Z )
1234, 121, 122sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  Z )
124123, 1syl6eleq 2373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
125 eluzelz 10238 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  1 )  e.  ZZ )
126 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) )
127126rexuz3 11832 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  1 )  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  ( G ` 
1 ) ) A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
128124, 125, 1273syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
129120, 128sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
130 fzfid 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( M ... j )  e.  Fin )
131 funimacnv 5324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
G  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  =  ( ( M ... j )  i^i  ran  G ) )
1324, 11, 1313syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  =  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )
)
133 inss1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... j
)
134133a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M ... j )  i^i  ran  G )  C_  ( M ... j ) )
135132, 134eqsstrd 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  C_  ( M ... j ) )
136135adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  C_  ( M ... j ) )
137 ssfi 7083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M ... j
)  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  C_  ( M ... j ) )  -> 
( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin )
138130, 136, 137syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  e. 
Fin )
139 hashcl 11350 . . . . . . . 8  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0 )
140 nn0p1nn 10003 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
141138, 139, 1403syl 18 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN )
142 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  <_  k )
143142adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k )
144138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) )  e. 
Fin )
145 nn0z 10046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  e.  ZZ )
146144, 139, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  ZZ )
147 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
148147adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
149 zltp1le 10067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k ) )
150146, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 )  <_ 
k ) )
151143, 150mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <  k )
152 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  e.  RR )
153138, 139, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  RR )
154153adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  e.  RR )
155 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
156155uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
157141, 156sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
158157nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
159154, 158ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  <  k  <->  -.  k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
160151, 159mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  -.  k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
161 fzss2 10831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k )
)  ->  ( M ... ( G `  k
) )  C_  ( M ... j ) )
162 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M ... ( G `
 k ) ) 
C_  ( M ... j )  ->  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) 
C_  ( `' G " ( M ... j
) ) )
163 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) 
C_  ( `' G " ( M ... j
) )  ->  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )
164161, 162, 1633syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k )
)  ->  ( G " ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )
165 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  e.  Fin  ->  ( ( G " (
1 ... k ) ) 
C_  ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) )  -> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
166144, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( 1 ... k ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  ~<_  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
1674ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  G : NN
--> Z )
168 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x
)  e.  Z )
169167, 168sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  Z )
170169, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
171 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k
)  e.  Z )
172167, 157, 171syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  Z
)
1733, 172sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
174173adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
175 elfz5 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( G `  k )  e.  ZZ )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
176170, 174, 175syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
17733ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G " NN ) ) )
178 nnssre 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  C_  RR
179 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  RR  C_  RR*
180178, 179sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  C_  RR*
181180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  NN  C_ 
RR* )
182 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G
" NN )  C_  ran  G
183167adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  G : NN --> Z )
184 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( G : NN --> Z  ->  ran  G  C_  Z )
185183, 184syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ran  G 
C_  Z )
186185, 60syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ran  G 
C_  RR )
187182, 186syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G " NN )  C_  RR )
188187, 179syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( G " NN )  C_  RR* )
189 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
190157adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
191 leisorel 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( NN ,  ( G
" NN ) )  /\  ( NN  C_  RR* 
/\  ( G " NN )  C_  RR* )  /\  ( x  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  ->  ( x  <_  k  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
192177, 181, 188, 189, 190, 191syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
x  <_  k  <->  ( G `  x )  <_  ( G `  k )
) )
193176, 192bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) )  <->  x  <_  k ) )
194193pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
x  e.  NN  /\  ( G `  x )  e.  ( M ... ( G `  k ) ) )  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
195 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  Fn  NN  ->  (
x  e.  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) )  <-> 
( x  e.  NN  /\  ( G `  x
)  e.  ( M ... ( G `  k ) ) ) ) )
196167, 28, 1953syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( G `
 x )  e.  ( M ... ( G `  k )
) ) ) )
197 fznn 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( 1 ... k )  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
198148, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( x  e.  NN  /\  x  <_ 
k ) ) )
199194, 196, 1983bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) )  <->  x  e.  ( 1 ... k
) ) )
200199eqrdv 2281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) )  =  ( 1 ... k ) )
201200imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) )  =  ( G " (
1 ... k ) ) )
202201sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  <->  ( G "
( 1 ... k
) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) )
20340ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  G : NN
-1-1-> Z )
204 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 ... k )  ->  x  e.  NN )
205204ssriv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
206 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... k )  e. 
_V
207206f1imaen 6923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : NN -1-1-> Z  /\  ( 1 ... k
)  C_  NN )  ->  ( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) )
208203, 205, 207sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  ~~  (
1 ... k ) )
209 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
210 enfii 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  ( G " ( 1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) )  -> 
( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin )
211209, 208, 210syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G " ( 1 ... k
) )  e.  Fin )
212 hashen 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin  /\  (
1 ... k )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... k ) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) ) )
213211, 209, 212syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) ) 
~~  ( 1 ... k ) ) )
214208, 213mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) )  =  ( # `  (
1 ... k ) ) )
215 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
216 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... k
) )  =  k )
217157, 215, 2163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... k ) )  =  k )
218214, 217eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) )  =  k )
219218breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  <_ 
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
220 hashdom 11361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G " (
1 ... k ) )  e.  Fin  /\  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( G
" ( 1 ... k ) ) )  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
221211, 144, 220syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( G "
( 1 ... k
) ) )  <_ 
( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
222219, 221bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  <-> 
( G " (
1 ... k ) )  ~<_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) ) )
223166, 202, 2223imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )  C_  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) )  ->  k  <_  (
# `  ( G " ( `' G "
( M ... j
) ) ) ) ) )
224164, 223syl5 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  -> 
k  <_  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) ) ) )
225160, 224mtod 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  -.  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) ) )
226 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
)  ->  j  e.  ZZ )
227226ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
228 uztric 10249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  ( G `  k ) )  \/  ( G `  k
)  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
229173, 227, 228syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  \/  ( G `  k
)  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )
230229ord 366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( -.  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  k ) )  ->  ( G `  k )  e.  (
ZZ>= `  j ) ) )
231225, 230mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
232 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( M ... m )  =  ( M ... ( G `  k )
) )
233232imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( `' G " ( M ... m ) )  =  ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) )
234233imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) )  =  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k ) ) ) ) )
235234fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) )  =  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )
236235fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) ) )
237236eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC ) )
238236oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )
239238fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  =  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) ) )
240239breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) )
241237, 240anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( G `  k )  ->  (
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <-> 
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
242241rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  k )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
243231, 242syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
244201fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) )  =  ( # `  ( G " ( 1 ... k ) ) ) )
245244, 218eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) )  =  k )
246245fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
) )
247246eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  <->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC ) )
248246oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  -  A ) )
249248fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  =  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) ) )
250249breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )
251247, 250anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... ( G `  k )
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  <-> 
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
252243, 251sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  -  A
) )  <  x
) ) )
253252ralrimdva 2633 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
254 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  ->  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 ) ) )
255254raleqdv 2742 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j ) ) ) )  +  1 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
256255rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... j
) ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 ( G "
( `' G "
( M ... j
) ) ) )  +  1 ) ) ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) )
257141, 253, 256ee12an 1353 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
258257rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
259129, 258impbid 183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
260259ralbidv 2563 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  H ) `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
261260anbi2d 684 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) ) )
262 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
263262a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
264 seqex 11048 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  H
)  e.  _V
265264a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  H )  e. 
_V )
266 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  H ) `  k
) )
267155, 263, 265, 266clim2 11978 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  H
) `  k )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
268124, 125syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ZZ )
269 seqex 11048 . . . 4  |-  seq  M
(  +  ,  F
)  e.  _V
270269a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
_V )
271 isercoll.0 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( Z  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
272 isercoll.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
273 isercoll.h . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 k )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
2741, 24, 4, 25, 271, 272, 273isercolllem3 12140 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  H
) `  ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) ) )
275126, 268, 270, 274clim2 11978 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `
 ( # `  ( G " ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  H ) `  ( # `  ( G
" ( `' G " ( M ... m
) ) ) ) )  -  A ) )  <  x ) ) ) )
276261, 267, 2753bitr4d 276 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782    seq cseq 11046   #chash 11337   abscabs 11719    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  isercoll2  12142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-hash 11338  df-clim 11962
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