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Theorem isercoll2 12142
Description: Generalize isercoll 12141 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isercoll2.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
isercoll2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isercoll2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
isercoll2.g  |-  ( ph  ->  G : Z --> W )
isercoll2.i  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
isercoll2.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
isercoll2.f  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
isercoll2.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
isercoll2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F, n    k, G, n    k, H, n   
n, N    k, M, n    ph, k, n    n, W    k, Z
Allowed substitution hints:    N( k)    W( k)    Z( n)

Proof of Theorem isercoll2
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll2.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isercoll2.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
4 zsubcl 10061 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 1  -  M
)  e.  ZZ )
53, 2, 4sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  M
)  e.  ZZ )
6 seqex 11048 . . . 4  |-  seq  M
(  +  ,  H
)  e.  _V
76a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  H )  e. 
_V )
8 seqex 11048 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  e.  _V
98a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )  e.  _V )
10 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
1110, 1syl6eleq 2373 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
125adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
1  -  M )  e.  ZZ )
13 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ph )
14 elfzuz 10794 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M ... k )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1514, 1syl6eleqr 2374 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( M ... k )  ->  j  e.  Z )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1716, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
18 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
2019zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  CC )
212zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
2221adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  M  e.  CC )
23 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2423a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  1  e.  CC )
2520, 22, 24subadd23d 9179 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( j  -  M
)  +  1 )  =  ( j  +  ( 1  -  M
) ) )
26 uznn0sub 10259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  -  M )  e.  NN0 )
2717, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  -  M )  e.  NN0 )
28 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( j  -  M )  +  1 )  e.  NN )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( j  -  M
)  +  1 )  e.  NN )
3025, 29eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  ( 1  -  M ) )  e.  NN )
31 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( j  +  ( 1  -  M
) )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  - 
1 ) )
3231oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( j  +  ( 1  -  M
) )  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( ( j  +  ( 1  -  M
) )  -  1 ) ) )
3332fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( j  +  ( 1  -  M
) )  ->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) ) ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
35 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 ( M  +  ( ( j  +  ( 1  -  M
) )  -  1 ) ) )  e. 
_V
3633, 34, 35fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  ( 1  -  M ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) ) ) )
3730, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  ( 1  -  M ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) ) ) )
3825oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( j  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  - 
1 ) )
3927nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  -  M )  e.  CC )
40 pncan 9057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  -  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( j  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( j  -  M ) )
4139, 23, 40sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( j  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( j  -  M ) )
4238, 41eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 )  =  ( j  -  M ) )
4342oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( M  +  ( (
j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) )  =  ( M  +  ( j  -  M
) ) )
4422, 20pncan3d 9160 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( M  +  ( j  -  M ) )  =  j )
4543, 44eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( M  +  ( (
j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) )  =  j )
4645fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  ( M  +  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  - 
1 ) ) )  =  ( H `  j ) )
4737, 46eqtr2d 2316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 ( j  +  ( 1  -  M
) ) ) )
4813, 15, 47syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  j  e.  ( M ... k
) )  ->  ( H `  j )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 ( j  +  ( 1  -  M
) ) ) )
4911, 12, 48seqshft2 11072 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  H ) `  k
)  =  (  seq  ( M  +  ( 1  -  M ) ) (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5021adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  M  e.  CC )
51 pncan3 9059 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  ( 1  -  M ) )  =  1 )
5250, 23, 51sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  ( 1  -  M ) )  =  1 )
5352seqeq1d 11052 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  seq  ( M  +  (
1  -  M ) ) (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )
5453fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  ( M  +  ( 1  -  M ) ) (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) )  =  (  seq  1 (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5549, 54eqtr2d 2316 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  H ) `  k
) )
561, 2, 5, 7, 9, 55climshft2 12056 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  1 (  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )  ~~>  A ) )
57 isercoll2.w . . 3  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
58 isercoll2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
59 isercoll2.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Z --> W )
6059adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  G : Z
--> W )
61 uzid 10242 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
622, 61syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 nnm1nn0 10005 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  -  1 )  e.  NN0 )
64 uzaddcl 10275 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( M  +  ( x  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6562, 63, 64syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( M  +  ( x  - 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6665, 1syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( M  +  ( x  - 
1 ) )  e.  Z )
67 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( G : Z --> W  /\  ( M  +  (
x  -  1 ) )  e.  Z )  ->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) )  e.  W
)
6860, 66, 67syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) )  e.  W )
69 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
7068, 69fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) : NN --> W )
71 nnm1nn0 10005 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
72 uzaddcl 10275 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
j  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( M  +  ( j  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
7362, 71, 72syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( j  - 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7473, 1syl6eleqr 2374 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( j  - 
1 ) )  e.  Z )
75 isercoll2.i . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
7675ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
7776adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  Z  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
78 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
79 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  =  ( ( M  +  ( j  - 
1 ) )  +  1 ) )
8079fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) )
8178, 80breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  (
( G `  k
)  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  <->  ( G `  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  <  ( G `  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
8281rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) )  <  ( G `  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
8374, 77, 82sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  < 
( G `  (
( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) )
84 nncn 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
8584adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
8623a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
8785, 86, 86addsubd 9178 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  ( ( j  - 
1 )  +  1 ) )
8887oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( M  +  ( ( j  -  1 )  +  1 ) ) )
8921adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
9071adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e. 
NN0 )
9190nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e.  CC )
9289, 91, 86addassd 8857 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 )  =  ( M  +  ( ( j  -  1 )  +  1 ) ) )
9388, 92eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) )
9493fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( G `  (
( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) )
9583, 94breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  < 
( G `  ( M  +  ( (
j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
96 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  j  ->  (
x  -  1 )  =  ( j  - 
1 ) )
9796oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )
9897fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
99 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  e. 
_V
10098, 69, 99fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
101100adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
102 peano2nn 9758 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
103102adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
104 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )
105104oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )
106105fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
107 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( M  +  ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e. 
_V
108106, 69, 107fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
109103, 108syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
11095, 101, 1093brtr4d 4053 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  <  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )
111 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( G : Z --> W  ->  G  Fn  Z )
11259, 111syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  Fn  Z )
113 uznn0sub 10259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  -  M )  e.  NN0 )
11411, 113syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  -  M )  e.  NN0 )
115 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( k  -  M )  +  1 )  e.  NN )
116114, 115syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  -  M
)  +  1 )  e.  NN )
117114nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  -  M )  e.  CC )
118 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  -  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( k  -  M ) )
119117, 23, 118sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( k  -  M ) )
120119oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  ( (
( k  -  M
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( M  +  ( k  -  M
) ) )
121 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
122121, 1eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
123122zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
124 pncan3 9059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( M  +  ( k  -  M ) )  =  k )
12521, 123, 124syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  ( k  -  M ) )  =  k )
126120, 125eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  =  ( M  +  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) )
127126fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) ) )
128 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  - 
1 ) )
129128oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) )
130129fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) ) )
131130eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
( G `  k
)  =  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) )  <->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
132131rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  -  M )  +  1 )  e.  NN  /\  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
133116, 127, 132syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )
134 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 k )  e. 
_V
13569elrnmpt 4926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  k )  e.  _V  ->  (
( G `  k
)  e.  ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )
136134, 135ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
137133, 136sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )
138137ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) )
139 ffnfv 5685 . . . . . . . 8  |-  ( G : Z --> ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( G  Fn  Z  /\  A. k  e.  Z  ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )
140112, 138, 139sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Z --> ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )
141 frn 5395 . . . . . . 7  |-  ( G : Z --> ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ran  G  C_  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )
142140, 141syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )
143 sscon 3310 . . . . . 6  |-  ( ran 
G  C_  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  ->  ( W  \  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  C_  ( W  \  ran  G ) )
144142, 143syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( W  \  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  C_  ( W  \  ran  G ) )
145144sselda 3180 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  ( W  \  ran  G ) )
146 isercoll2.0 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
147145, 146syldan 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )  -> 
( F `  n
)  =  0 )
148 isercoll2.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
149 isercoll2.h . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
150149ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
151150adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  Z  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `
 k ) ) )
152 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
15378fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  =  ( F `  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) ) ) )
154152, 153eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  (
( H `  k
)  =  ( F `
 ( G `  k ) )  <->  ( H `  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  =  ( F `  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) ) ) ) )
155154rspcv 2880 . . . . 5  |-  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( H `  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  =  ( F `  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) ) ) ) )
15674, 151, 155sylc 56 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  =  ( F `  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) ) ) )
15797fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
158 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( H `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  e. 
_V
159157, 34, 158fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
160159adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
161101fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 ( ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 j ) )  =  ( F `  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) ) ) )
162156, 160, 1613eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( F `  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) `  j ) ) )
16357, 58, 70, 110, 147, 148, 162isercoll 12141 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) )  ~~>  A  <->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
16456, 163bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  iserodd  12888  stirlinglem5  27827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-hash 11338  df-shft 11562  df-clim 11962
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