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Theorem isercoll2 12391
Description: Generalize isercoll 12390 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isercoll2.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
isercoll2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isercoll2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
isercoll2.g  |-  ( ph  ->  G : Z --> W )
isercoll2.i  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
isercoll2.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
isercoll2.f  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
isercoll2.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
isercoll2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F, n    k, G, n    k, H, n   
n, N    k, M, n    ph, k, n    n, W    k, Z
Allowed substitution hints:    N( k)    W( k)    Z( n)

Proof of Theorem isercoll2
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll2.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 isercoll2.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 1z 10245 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
4 zsubcl 10253 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 1  -  M
)  e.  ZZ )
53, 2, 4sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  -  M
)  e.  ZZ )
6 seqex 11254 . . . 4  |-  seq  M
(  +  ,  H
)  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  H )  e. 
_V )
8 seqex 11254 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )  e.  _V )
10 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
1110, 1syl6eleq 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
125adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
1  -  M )  e.  ZZ )
13 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ph )
14 elfzuz 10989 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M ... k )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1514, 1syl6eleqr 2480 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( M ... k )  ->  j  e.  Z )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
1716, 1syl6eleq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
18 eluzelz 10430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ZZ )
2019zcnd 10310 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  CC )
212zcnd 10310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
2221adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  M  e.  CC )
23 ax-1cn 8983 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  1  e.  CC )
2520, 22, 24subadd23d 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( j  -  M
)  +  1 )  =  ( j  +  ( 1  -  M
) ) )
26 uznn0sub 10451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  -  M )  e.  NN0 )
2717, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  -  M )  e.  NN0 )
28 nn0p1nn 10193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( j  -  M )  +  1 )  e.  NN )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( j  -  M
)  +  1 )  e.  NN )
3025, 29eqeltrrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  +  ( 1  -  M ) )  e.  NN )
31 oveq1 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( j  +  ( 1  -  M
) )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  - 
1 ) )
3231oveq2d 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( j  +  ( 1  -  M
) )  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( ( j  +  ( 1  -  M
) )  -  1 ) ) )
3332fveq2d 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( j  +  ( 1  -  M
) )  ->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) ) ) )
34 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
35 fvex 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 ( M  +  ( ( j  +  ( 1  -  M
) )  -  1 ) ) )  e. 
_V
3633, 34, 35fvmpt 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  ( 1  -  M ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) ) ) )
3730, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  ( 1  -  M ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) ) ) )
3825oveq1d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( j  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  - 
1 ) )
3927nn0cnd 10210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
j  -  M )  e.  CC )
40 pncan 9245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  -  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( j  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( j  -  M ) )
4139, 23, 40sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( j  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( j  -  M ) )
4238, 41eqtr3d 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 )  =  ( j  -  M ) )
4342oveq2d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( M  +  ( (
j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) )  =  ( M  +  ( j  -  M
) ) )
4422, 20pncan3d 9348 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( M  +  ( j  -  M ) )  =  j )
4543, 44eqtrd 2421 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( M  +  ( (
j  +  ( 1  -  M ) )  -  1 ) )  =  j )
4645fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  ( M  +  ( ( j  +  ( 1  -  M ) )  - 
1 ) ) )  =  ( H `  j ) )
4737, 46eqtr2d 2422 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 ( j  +  ( 1  -  M
) ) ) )
4813, 15, 47syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  j  e.  ( M ... k
) )  ->  ( H `  j )  =  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 ( j  +  ( 1  -  M
) ) ) )
4911, 12, 48seqshft2 11278 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  H ) `  k
)  =  (  seq  ( M  +  ( 1  -  M ) ) (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5021adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  M  e.  CC )
51 pncan3 9247 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  +  ( 1  -  M ) )  =  1 )
5250, 23, 51sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  ( 1  -  M ) )  =  1 )
5352seqeq1d 11258 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  seq  ( M  +  (
1  -  M ) ) (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )
5453fveq1d 5672 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  ( M  +  ( 1  -  M ) ) (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) )  =  (  seq  1 (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) ) )
5549, 54eqtr2d 2422 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) `  (
k  +  ( 1  -  M ) ) )  =  (  seq 
M (  +  ,  H ) `  k
) )
561, 2, 5, 7, 9, 55climshft2 12305 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  1 (  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )  ~~>  A ) )
57 isercoll2.w . . 3  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
58 isercoll2.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
59 isercoll2.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : Z --> W )
6059adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  G : Z
--> W )
61 uzid 10434 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
622, 61syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
63 nnm1nn0 10195 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  -  1 )  e.  NN0 )
64 uzaddcl 10467 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
x  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( M  +  ( x  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6562, 63, 64syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( M  +  ( x  - 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6665, 1syl6eleqr 2480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( M  +  ( x  - 
1 ) )  e.  Z )
6760, 66ffvelrnd 5812 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) )  e.  W )
68 eqid 2389 . . . 4  |-  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
6967, 68fmptd 5834 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) : NN --> W )
70 nnm1nn0 10195 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
71 uzaddcl 10467 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
j  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( M  +  ( j  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
7262, 70, 71syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( j  - 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7372, 1syl6eleqr 2480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( j  - 
1 ) )  e.  Z )
74 isercoll2.i . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
7574ralrimiva 2734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
7675adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  Z  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
77 fveq2 5670 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
78 oveq1 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  (
k  +  1 )  =  ( ( M  +  ( j  - 
1 ) )  +  1 ) )
7978fveq2d 5674 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) )
8077, 79breq12d 4168 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  (
( G `  k
)  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  <->  ( G `  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  <  ( G `  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
8180rspcv 2993 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) )  <  ( G `  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
8273, 76, 81sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  < 
( G `  (
( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) )
83 nncn 9942 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
8483adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
8523a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
8684, 85, 85addsubd 9366 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( j  +  1 )  -  1 )  =  ( ( j  - 
1 )  +  1 ) )
8786oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( M  +  ( ( j  -  1 )  +  1 ) ) )
8821adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
8970adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e. 
NN0 )
9089nn0cnd 10210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e.  CC )
9188, 90, 85addassd 9045 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 )  =  ( M  +  ( ( j  -  1 )  +  1 ) ) )
9287, 91eqtr4d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( M  +  ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) )
9392fveq2d 5674 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( G `  (
( M  +  ( j  -  1 ) )  +  1 ) ) )
9482, 93breqtrrd 4181 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  < 
( G `  ( M  +  ( (
j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
95 oveq1 6029 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  j  ->  (
x  -  1 )  =  ( j  - 
1 ) )
9695oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )
9796fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
98 fvex 5684 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  e. 
_V
9997, 68, 98fvmpt 5747 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
10099adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
101 peano2nn 9946 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
102101adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
103 oveq1 6029 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( j  +  1 )  - 
1 ) )
104103oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )
105104fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
106 fvex 5684 . . . . . 6  |-  ( G `
 ( M  +  ( ( j  +  1 )  -  1 ) ) )  e. 
_V
107105, 68, 106fvmpt 5747 . . . . 5  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
108102, 107syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( j  +  1 )  -  1 ) ) ) )
10994, 100, 1083brtr4d 4185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  <  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )
110 ffn 5533 . . . . . . . . 9  |-  ( G : Z --> W  ->  G  Fn  Z )
11159, 110syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  Fn  Z )
112 uznn0sub 10451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  -  M )  e.  NN0 )
11311, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  -  M )  e.  NN0 )
114 nn0p1nn 10193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( k  -  M )  +  1 )  e.  NN )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  -  M
)  +  1 )  e.  NN )
116113nn0cnd 10210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  -  M )  e.  CC )
117 pncan 9245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  -  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( k  -  M ) )
118116, 23, 117sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( k  -  M ) )
119118oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  ( (
( k  -  M
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( M  +  ( k  -  M
) ) )
120 eluzelz 10430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
121120, 1eleq2s 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
122121zcnd 10310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
123 pncan3 9247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( M  +  ( k  -  M ) )  =  k )
12421, 122, 123syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M  +  ( k  -  M ) )  =  k )
125119, 124eqtr2d 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  =  ( M  +  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) )
126125fveq2d 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) ) )
127 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  - 
1 ) )
128127oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  ( M  +  ( x  -  1 ) )  =  ( M  +  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) )
129128fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( M  +  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) ) )
130129eqeq2d 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( k  -  M )  +  1 )  ->  (
( G `  k
)  =  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) )  <->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  ( ( ( k  -  M )  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
131130rspcev 2997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( k  -  M )  +  1 )  e.  NN  /\  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
( ( k  -  M )  +  1 )  -  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
132115, 126, 131syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )
133 fvex 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 k )  e. 
_V
13468elrnmpt 5059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  k )  e.  _V  ->  (
( G `  k
)  e.  ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )
135133, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) )
136132, 135sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) )
137136ralrimiva 2734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) )
138 ffnfv 5835 . . . . . . . 8  |-  ( G : Z --> ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )  <->  ( G  Fn  Z  /\  A. k  e.  Z  ( G `  k )  e.  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )
139111, 137, 138sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : Z --> ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )
140 frn 5539 . . . . . . 7  |-  ( G : Z --> ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) )  ->  ran  G  C_  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )
141139, 140syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )
142141sscond 3429 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( W  \  ran  ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) )  C_  ( W  \  ran  G ) )
143142sselda 3293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )  ->  n  e.  ( W  \  ran  G ) )
144 isercoll2.0 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
145143, 144syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( W  \  ran  (
x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) ) )  -> 
( F `  n
)  =  0 )
146 isercoll2.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
147 isercoll2.h . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
148147ralrimiva 2734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
149148adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  Z  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `
 k ) ) )
150 fveq2 5670 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
15177fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  =  ( F `  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) ) ) )
152150, 151eqeq12d 2403 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( M  +  ( j  -  1 ) )  ->  (
( H `  k
)  =  ( F `
 ( G `  k ) )  <->  ( H `  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  =  ( F `  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) ) ) ) )
153152rspcv 2993 . . . . 5  |-  ( ( M  +  ( j  -  1 ) )  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) )  ->  ( H `  ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  =  ( F `  ( G `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) ) ) ) )
15473, 149, 153sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  =  ( F `  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) ) ) )
15596fveq2d 5674 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
156 fvex 5684 . . . . . 6  |-  ( H `
 ( M  +  ( j  -  1 ) ) )  e. 
_V
157155, 34, 156fvmpt 5747 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
158157adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( H `  ( M  +  (
j  -  1 ) ) ) )
159100fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 ( ( x  e.  NN  |->  ( G `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) `
 j ) )  =  ( F `  ( G `  ( M  +  ( j  - 
1 ) ) ) ) )
160154, 158, 1593eqtr4d 2431 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  NN  |->  ( H `  ( M  +  ( x  - 
1 ) ) ) ) `  j )  =  ( F `  ( ( x  e.  NN  |->  ( G `  ( M  +  (
x  -  1 ) ) ) ) `  j ) ) )
16157, 58, 69, 109, 145, 146, 160isercoll 12390 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( x  e.  NN  |->  ( H `
 ( M  +  ( x  -  1
) ) ) ) )  ~~>  A  <->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
16256, 161bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  H )  ~~>  A  <->  seq  N (  +  ,  F )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    C_ wss 3265   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ran crn 4821    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    < clt 9055    - cmin 9225   NNcn 9934   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977    seq cseq 11252    ~~> cli 12207
This theorem is referenced by:  iserodd  13138  stirlinglem5  27497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-seq 11253  df-hash 11548  df-shft 11811  df-clim 12211
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