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Theorem isercolllem1 12386
Description: Lemma for isercoll 12389. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isercoll.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isercoll.g  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
isercoll.i  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
isercolllem1  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  ( G  |`  S )  Isom  <  ,  <  ( S , 
( G " S
) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, G    k, M
Allowed substitution hints:    S( k)    Z( k)

Proof of Theorem isercolllem1
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 uzssz 10438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3322 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
4 zssre 10222 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
53, 4sstri 3301 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  RR
6 isercoll.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> Z )
76ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  G : NN
--> Z )
8 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  e.  NN )
97, 8ffvelrnd 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  x )  e.  Z
)
105, 9sseldi 3290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
11 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  y  e.  NN )
1211nnred 9948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  y  e.  RR )
1310, 12resubcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  y )  e.  RR )
148nnred 9948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  e.  RR )
1510, 14resubcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  x )  e.  RR )
167, 11ffvelrnd 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  y )  e.  Z
)
175, 16sseldi 3290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
1817, 12resubcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  y )  -  y )  e.  RR )
19 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
2014, 12, 10, 19ltsub2dd 9572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  y )  < 
( ( G `  x )  -  x
) )
218nnzd 10307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ZZ )
2211nnzd 10307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  y  e.  ZZ )
2314, 12, 19ltled 9154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  x  <_  y )
24 eluz2 10427 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  x
)  <->  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  x  <_ 
y ) )
2521, 22, 23, 24syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  x )
)
26 elfzuz 10988 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( x ... y )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)
27 nnuz 10454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2827uztrn2 10436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  x ) )  -> 
k  e.  NN )
298, 28sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  k  e.  NN )
30 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
31 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  n  =  k )
3230, 31oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( G `  n
)  -  n )  =  ( ( G `
 k )  -  k ) )
33 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n )  -  n ) )
34 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  k )  -  k )  e. 
_V
3532, 33, 34fvmpt 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  =  ( ( G `  k )  -  k ) )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  =  ( ( G `  k )  -  k ) )
377ffvelrnda 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  Z )
385, 37sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
39 nnre 9940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
4039adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
4138, 40resubcld 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  -  k )  e.  RR )
4236, 41eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  e.  RR )
4329, 42syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  k )  e.  RR )
4426, 43sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( x ... y
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  e.  RR )
45 elfzuz 10988 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( x ... ( y  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)
46 peano2nn 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
47 ffvelrn 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : NN --> Z  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  Z
)
487, 46, 47syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  Z )
495, 48sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
50 peano2rem 9300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
52 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ph )
53 isercoll.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
5452, 53sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
553, 37sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  ZZ )
563, 48sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
57 zltlem1 10261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  ZZ  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  <-> 
( G `  k
)  <_  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 ) ) )
5855, 56, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  <  ( G `  ( k  +  1 ) )  <->  ( G `  k )  <_  (
( G `  (
k  +  1 ) )  -  1 ) ) )
5954, 58mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 ) )
6038, 51, 40, 59lesub1dd 9575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  -  k )  <_  ( ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 )  -  k ) )
6149recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
62 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6440recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
6561, 63, 64sub32d 9376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 )  -  k )  =  ( ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  k )  - 
1 ) )
6661, 64, 63subsub4d 9375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  k
)  -  1 )  =  ( ( G `
 ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
6765, 66eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  1 )  -  k )  =  ( ( G `
 ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
6860, 67breqtrd 4178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  -  k )  <_  ( ( G `
 ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
6946adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
70 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
71 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
7270, 71oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  -  n )  =  ( ( G `
 ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
73 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) )  e. 
_V
7472, 33, 73fvmpt 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
7569, 74syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( G `  ( k  +  1 ) )  -  ( k  +  1 ) ) )
7668, 36, 753brtr4d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
7729, 76syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
7845, 77sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  /\  x  < 
y )  /\  k  e.  ( x ... (
y  -  1 ) ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  k
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
7925, 44, 78monoord 11281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  x )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n ) ) `
 y ) )
80 fveq2 5669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  x  ->  ( G `  n )  =  ( G `  x ) )
81 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  x  ->  n  =  x )
8280, 81oveq12d 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  x  ->  (
( G `  n
)  -  n )  =  ( ( G `
 x )  -  x ) )
83 ovex 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  x )  -  x )  e. 
_V
8482, 33, 83fvmpt 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  x
)  =  ( ( G `  x )  -  x ) )
858, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  x )  =  ( ( G `
 x )  -  x ) )
86 fveq2 5669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  ( G `  n )  =  ( G `  y ) )
87 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  n  =  y )
8886, 87oveq12d 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( G `  n
)  -  n )  =  ( ( G `
 y )  -  y ) )
89 ovex 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  -  y )  e. 
_V
9088, 33, 89fvmpt 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n )  -  n
) ) `  y
)  =  ( ( G `  y )  -  y ) )
9111, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
)  -  n ) ) `  y )  =  ( ( G `
 y )  -  y ) )
9279, 85, 913brtr3d 4183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  x )  <_  (
( G `  y
)  -  y ) )
9313, 15, 18, 20, 92ltletrd 9163 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  -  y )  < 
( ( G `  y )  -  y
) )
9410, 17, 12ltsub1d 9568 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( ( G `  x )  <  ( G `  y
)  <->  ( ( G `
 x )  -  y )  <  (
( G `  y
)  -  y ) ) )
9593, 94mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  NN  /\  y  e.  NN )
)  /\  x  <  y )  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
)
9695ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( G `  x
)  <  ( G `  y ) ) )
9796ralrimivva 2742 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  (
x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y ) ) )
98 ssralv 3351 . . . . 5  |-  ( S 
C_  NN  ->  ( A. y  e.  NN  (
x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y ) )  ->  A. y  e.  S  ( x  <  y  -> 
( G `  x
)  <  ( G `  y ) ) ) )
9998ralimdv 2729 . . . 4  |-  ( S 
C_  NN  ->  ( A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
)  ->  A. x  e.  NN  A. y  e.  S  ( x  < 
y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
100 ssralv 3351 . . . 4  |-  ( S 
C_  NN  ->  ( A. x  e.  NN  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
10199, 100syld 42 . . 3  |-  ( S 
C_  NN  ->  ( A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
10297, 101mpan9 456 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  -> 
( G `  x
)  <  ( G `  y ) ) )
103 nnssre 9937 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
104 ltso 9090 . . . . 5  |-  <  Or  RR
105 soss 4463 . . . . 5  |-  ( NN  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  NN ) )
106103, 104, 105mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  NN
107106a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  <  Or  NN )
108 soss 4463 . . . . 5  |-  ( Z 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  Z ) )
1095, 104, 108mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  Z
110109a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  <  Or  Z
)
1116adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  G : NN --> Z )
112 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  S  C_  NN )
113 soisores 5987 . . 3  |-  ( ( (  <  Or  NN  /\ 
<  Or  Z )  /\  ( G : NN --> Z  /\  S  C_  NN ) )  ->  (
( G  |`  S ) 
Isom  <  ,  <  ( S ,  ( G " S ) )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
114107, 110, 111, 112, 113syl22anc 1185 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  ( ( G  |`  S )  Isom  <  ,  <  ( S , 
( G " S
) )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
115102, 114mpbird 224 1  |-  ( (
ph  /\  S  C_  NN )  ->  ( G  |`  S )  Isom  <  ,  <  ( S , 
( G " S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208    Or wor 4444    |` cres 4821   "cima 4822   -->wf 5391   ` cfv 5395    Isom wiso 5396  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   1c1 8925    + caddc 8927    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   NNcn 9933   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   ...cfz 10976
This theorem is referenced by:  isercolllem2  12387  isercolllem3  12388  isercoll  12389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977
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