Theorem iserzabslem 7178

Description: Lemma for iserzabs 7179.

Hypotheses

Ref	Expression
iserzabslem.1	|- A e. V
iserzabslem.2	|- B e. V
iserzabslem.3	|- F e. V
iserzabslem.4	|- G e. V
iserzabslem.5	|- (k e. (ZZ>` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
iserzabslem.6	|- S ~~> A
iserzabslem.7	|- T ~~> B
iserzabslem.8	|- M e. ZZ
iserzabslem.9	|- U e. V
iserzabslem.10	|- (n e. (ZZ>` M) -> (U` n) = (abs` (S` n)))
iserzabslem.11	|- S = (<.M, + >. seq F)
iserzabslem.12	|- T = (<.M, + >. seq G)

Assertion

Ref	Expression
iserzabslem	|- (abs` A) <_ B

Distinct variable groups:   A,n   k,F   k,G   k,M,n   S,n   T,n   U,n

Proof of Theorem iserzabslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iserzabslem.8	. 2 |- M e. ZZ
2		iserzabslem.10	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> (U` n) = (abs` (S` n)))
3		elfzuzt 6489	. . . . . . . . 9 |- (k e. (M...n) -> k e. (ZZ>` M))
4		iserzabslem.5	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (abs` (F` k))))
5	4	pm3.26d 321	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>` M) -> (F` k) e. CC)
6	3, 5	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. (M...n) -> (F` k) e. CC)
7	6	rgen 1701	. . . . . . 7 |- A.k e. (M...n)(F` k) e. CC
8		iserzabslem.3	. . . . . . . . 9 |- F e. V
9	8	serzclt 7045	. . . . . . . 8 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> ((<.M, + >. seq F)` n) e. CC)
10		iserzabslem.11	. . . . . . . . 9 |- S = (<.M, + >. seq F)
11	10	fveq1i 3731	. . . . . . . 8 |- (S` n) = ((<.M, + >. seq F)` n)
12	9, 11	syl5eqel 1555	. . . . . . 7 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> (S` n) e. CC)
13	7, 12	mpan2 698	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>` M) -> (S` n) e. CC)
14		absclt 6833	. . . . . 6 |- ((S` n) e. CC -> (abs` (S` n)) e. RR)
15	13, 14	syl 10	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> (abs` (S` n)) e. RR)
16	2, 15	eqeltrd 1551	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` M) -> (U` n) e. RR)
17	4	pm3.27d 325	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> (G` k) = (abs` (F` k)))
18		absclt 6833	. . . . . . . . 9 |- ((F` k) e. CC -> (abs` (F` k)) e. RR)
19	5, 18	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` M) -> (abs` (F` k)) e. RR)
20	17, 19	eqeltrd 1551	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` M) -> (G` k) e. RR)
21	3, 20	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (M...n) -> (G` k) e. RR)
22	21	rgen 1701	. . . . 5 |- A.k e. (M...n)(G` k) e. RR
23		iserzabslem.4	. . . . . . 7 |- G e. V
24	23	serzreclt 7050	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(G` k) e. RR) -> ((<.M, + >. seq G)` n) e. RR)
25		iserzabslem.12	. . . . . . 7 |- T = (<.M, + >. seq G)
26	25	fveq1i 3731	. . . . . 6 |- (T` n) = ((<.M, + >. seq G)` n)
27	24, 26	syl5eqel 1555	. . . . 5 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(G` k) e. RR) -> (T` n) e. RR)
28	22, 27	mpan2 698	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` M) -> (T` n) e. RR)
29		fsumabs 7043	. . . . . 6 |- ((n e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...n)(F` k) e. CC) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) <_ sum_k e. (M...n)(abs` (F` k)))
30	7, 29	mpan2 698	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) <_ sum_k e. (M...n)(abs` (F` k)))
31	8	fsumserz 6999	. . . . . . . 8 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(F` k) = ((<.M, + >. seq F)` n))
32	31, 11	syl6eqr 1528	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(F` k) = (S` n))
33	32	fveq2d 3734	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>` M) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) = (abs` (S` n)))
34	33, 2	eqtr4d 1513	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> (abs` sum_k e. (M...n)(F` k)) = (U` n))
35	23	fsumserz 6999	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(G` k) = ((<.M, + >. seq G)` n))
36	35, 26	syl6eqr 1528	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(G` k) = (T` n))
37	3, 17	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (M...n) -> (G` k) = (abs` (F` k)))
38	37	sumeq2i 6988	. . . . . 6 |- sum_k e. (M...n)(G` k) = sum_k e. (M...n)(abs` (F` k))
39	36, 38	syl5eqr 1524	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...n)(abs` (F` k)) = (T` n))
40	30, 34, 39	3brtr3d 2649	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` M) -> (U` n) <_ (T` n))
41	16, 28, 40	3jca 821	. . 3 |- (n e. (ZZ>` M) -> ((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n)))
42	41	rgen 1701	. 2 |- A.n e. (ZZ>` M)((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n))
43		iserzabslem.1	. . . 4 |- A e. V
44		iserzabslem.9	. . . 4 |- U e. V
45		iserzabslem.6	. . . 4 |- S ~~> A
46	13, 2	jca 288	. . . 4 |- (n e. (ZZ>` M) -> ((S` n) e. CC /\ (U` n) = (abs` (S` n))))
47	43, 44, 1, 45, 46	climabs 7149	. . 3 |- U ~~> (abs` A)
48		iserzabslem.7	. . 3 |- T ~~> B
49		oprex 3989	. . . . 5 |- (<.M, + >. seq G) e. V
50	25, 49	eqeltr 1547	. . . 4 |- T e. V
51		fvex 3738	. . . 4 |- (abs` A) e. V
52		iserzabslem.2	. . . 4 |- B e. V
53	44, 50, 51, 52	climcmp 7138	. . 3 |- (((U ~~> (abs` A) /\ T ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>` M)((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n)))) -> (abs` A) <_ B)
54	47, 48, 53	mpanl12 710	. 2 |- ((M e. ZZ /\ A.n e. (ZZ>` M)((U` n) e. RR /\ (T` n) e. RR /\ (U` n) <_ (T` n))) -> (abs` A) <_ B)
55	1, 42, 54	mp2an 699	1 |- (abs` A) <_ B

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814  <.cop 2415   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245   + caddc 5249   <_ cle 5307  ZZcz 5310  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468   seq cseqz 6532  abscabs 6751   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  iserzabs 7179

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain