Theorem iserzcmp 7232

Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Paul Chapman, 12-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
iserzcmp.1	|- A e. V
iserzcmp.2	|- B e. V
iserzcmp.3	|- F e. V
iserzcmp.4	|- G e. V

Assertion

Ref	Expression
iserzcmp	|- ((((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (<.M, + >. seq G) ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)))) -> A <_ B)

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,M

Proof of Theorem iserzcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4041	. . 3 |- (<.M, + >. seq F) e. V
2		oprex 4041	. . 3 |- (<.M, + >. seq G) e. V
3		iserzcmp.1	. . 3 |- A e. V
4		iserzcmp.2	. . 3 |- B e. V
5	1, 2, 3, 4	climcmp 7228	. 2 |- ((((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (<.M, + >. seq G) ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.m e. (ZZ>` M)(((<.M, + >. seq F)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m)))) -> A <_ B)
6		iserzcmp.3	. . . . . . 7 |- F e. V
7	6	serzrecl 7140	. . . . . 6 |- ((m e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...m)(F` k) e. RR) -> ((<.M, + >. seq F)` m) e. RR)
8		3simp1 800	. . . . . . . 8 |- (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> (F` k) e. RR)
9	8	r19.20si 1753	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. RR)
10		fzssuz 6531	. . . . . . . 8 |- (M...m) (_ (ZZ>` M)
11		ssralv 2165	. . . . . . . 8 |- ((M...m) (_ (ZZ>` M) -> (A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. RR -> A.k e. (M...m)(F` k) e. RR))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>` M)(F` k) e. RR -> A.k e. (M...m)(F` k) e. RR)
13	9, 12	syl 10	. . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (M...m)(F` k) e. RR)
14	7, 13	sylan2 462	. . . . 5 |- ((m e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.M, + >. seq F)` m) e. RR)
15		iserzcmp.4	. . . . . . 7 |- G e. V
16	15	serzrecl 7140	. . . . . 6 |- ((m e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...m)(G` k) e. RR) -> ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR)
17		3simp2 801	. . . . . . . 8 |- (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> (G` k) e. RR)
18	17	r19.20si 1753	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (ZZ>` M)(G` k) e. RR)
19		ssralv 2165	. . . . . . . 8 |- ((M...m) (_ (ZZ>` M) -> (A.k e. (ZZ>` M)(G` k) e. RR -> A.k e. (M...m)(G` k) e. RR))
20	10, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>` M)(G` k) e. RR -> A.k e. (M...m)(G` k) e. RR)
21	18, 20	syl 10	. . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (M...m)(G` k) e. RR)
22	16, 21	sylan2 462	. . . . 5 |- ((m e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR)
23	6, 15	serzcmp 7144	. . . . . 6 |- ((m e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (M...m)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m))
24		ssralv 2165	. . . . . . 7 |- ((M...m) (_ (ZZ>` M) -> (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (M...m)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))))
25	10, 24	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.k e. (M...m)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)))
26	23, 25	sylan2 462	. . . . 5 |- ((m e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m))
27	14, 22, 26	3jca 831	. . . 4 |- ((m e. (ZZ>` M) /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k))) -> (((<.M, + >. seq F)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m)))
28	27	expcom 381	. . 3 |- (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> (m e. (ZZ>` M) -> (((<.M, + >. seq F)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m))))
29	28	r19.21aiv 1760	. 2 |- (A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)) -> A.m e. (ZZ>` M)(((<.M, + >. seq F)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq G)` m) e. RR /\ ((<.M, + >. seq F)` m) <_ ((<.M, + >. seq G)` m)))
30	5, 29	sylanr2 474	1 |- ((((<.M, + >. seq F) ~~> A /\ (<.M, + >. seq G) ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>` M)((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (F` k) <_ (G` k)))) -> A <_ B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   /\ w3a 787   e. wcel 999  A.wral 1692  Vcvv 1858   (_ wss 2098  <.cop 2463   class class class wbr 2674  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  RRcr 5298   + caddc 5302   <_ cle 5360  ZZcz 5363  ZZ>cuz 6443  ...cfz 6493   seq cseqz 6620   ~~> cli 7064

This theorem is referenced by:  iserzcmp0 7233  isumcmpii 7305  ef1tllem 7471  ef01tllem2 7474  ef01tllem2OLD 7475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-n0 6182  df-z 6218  df-uz 6444  df-fz 6494  df-seq1 6567  df-shft 6600  df-seqz 6622  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-clim 7065  df-sum 7070

Copyright terms: Public domain