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Theorem iseupa 23896
Description: The property " <. F ,  P >. is an Eulerian path on the graph  <. V ,  E >.". An Eulerian path is defined as bijection  F from the edges to a set  1 ... N a function  P :
( 0 ... N
) --> V into the vertices such that for each 
1  <_  k  <_  N,  F ( k ) is an edge from  P ( k  -  1 ) to  P
( k ). (Since the edges are undirected and there are possibly many edges between any two given vertices, we need to list both the edges and the vertices of the path separately.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
iseupa  |-  ( dom 
E  =  A  -> 
( F ( V EulPaths  E ) P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, E, n    k, F, n    P, k, n   
k, V, n

Proof of Theorem iseupa
Dummy variables  e 
f  p  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4040 . . . . 5  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P 
<-> 
<. F ,  P >.  e.  ( V EulPaths  E )
)
2 df-eupa 23879 . . . . . 6  |- EulPaths  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ( v UMGrph  e  /\  E. n  e.  NN0  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n ) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( e `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) } )
32elmpt2cl 6077 . . . . 5  |-  ( <. F ,  P >.  e.  ( V EulPaths  E )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
41, 3sylbi 187 . . . 4  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
5 releupa 23895 . . . . 5  |-  Rel  ( V EulPaths  E )
6 brrelex12 4742 . . . . 5  |-  ( ( Rel  ( V EulPaths  E )  /\  F ( V EulPaths  E ) P )  ->  ( F  e. 
_V  /\  P  e.  _V ) )
75, 6mpan 651 . . . 4  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( F  e. 
_V  /\  P  e.  _V ) )
84, 7jca 518 . . 3  |-  ( F ( V EulPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
98a1i 10 . 2  |-  ( dom 
E  =  A  -> 
( F ( V EulPaths  E ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
10 relumgra 23881 . . . . 5  |-  Rel UMGrph
11 brrelex12 4742 . . . . 5  |-  ( ( Rel UMGrph  /\  V UMGrph  E )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
1210, 11mpan 651 . . . 4  |-  ( V UMGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
13 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( 1 ... n
) --> A )
14 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
15 fex 5765 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) --> A  /\  ( 1 ... n )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1613, 14, 15sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  ->  F  e.  _V )
17 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... n )  e. 
_V
18 fex 5765 . . . . . . . 8  |-  ( ( P : ( 0 ... n ) --> V  /\  ( 0 ... n )  e.  _V )  ->  P  e.  _V )
1917, 18mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( P : ( 0 ... n ) --> V  ->  P  e.  _V )
2016, 19anim12i 549 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V )  ->  ( F  e. 
_V  /\  P  e.  _V ) )
21203adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } )  -> 
( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
2221rexlimivw 2676 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  P :
( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } )  -> 
( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
2312, 22anim12i 549 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
2423a1i 10 . 2  |-  ( dom 
E  =  A  -> 
( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
252a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  -> EulPaths  =  ( v  e. 
_V ,  e  e. 
_V  |->  { <. f ,  p >.  |  (
v UMGrph  e  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n ) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( e `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } ) ) } ) )
26 breq12 4044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( v UMGrph  e  <->  V UMGrph  E ) )
2726adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
( v UMGrph  e  <->  V UMGrph  E ) )
28 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
e  =  E )
2928dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  ->  dom  e  =  dom  E )
30 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  ->  dom  E  =  A )
3129, 30eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  ->  dom  e  =  A
)
32 f1oeq3 5481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  e  =  A  -> 
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  e  <->  f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  e  <->  f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
34 feq3 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  V  ->  (
p : ( 0 ... n ) --> v  <-> 
p : ( 0 ... n ) --> V ) )
3534ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
( p : ( 0 ... n ) --> v  <->  p : ( 0 ... n ) --> V ) )
3628fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
( e `  (
f `  k )
)  =  ( E `
 ( f `  k ) ) )
3736eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
( ( e `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) }  <-> 
( E `  (
f `  k )
)  =  { ( p `  ( k  -  1 ) ) ,  ( p `  k ) } ) )
3837ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( e `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) }  <->  A. k  e.  (
1 ... n ) ( E `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } ) )
3933, 35, 383anbi123d 1252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
( ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n ) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( e `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } )  <->  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } ) ) )
4039rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n ) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( e `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } )  <->  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) )
4127, 40anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  -> 
( ( v UMGrph  e  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n
) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( e `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } ) )  <-> 
( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } ) ) ) )
4241opabbidv 4098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( v  =  V  /\  e  =  E ) )  ->  { <. f ,  p >.  |  ( v UMGrph  e  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> dom  e  /\  p : ( 0 ... n
) --> v  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( e `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } ) ) }  =  { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) } )
43 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  V  e.  _V )
44 simpllr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  E  e.  _V )
45 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  dom  E  =  A )
46 dmexg 4955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  _V  ->  dom  E  e.  _V )
4744, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  dom  E  e.  _V )
4845, 47eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  A  e.  _V )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  A  e.  _V )
50 nnex 9768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  NN  e.  _V )
52 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
53 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... n
) --> A )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  f : ( 1 ... n ) --> A )
55 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
5655ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
5756a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  (
1 ... n )  C_  NN )
58 elpm2r 6804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  NN  e.  _V )  /\  ( f : ( 1 ... n ) --> A  /\  ( 1 ... n )  C_  NN ) )  ->  f  e.  ( A  ^pm  NN ) )
5949, 51, 54, 57, 58syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  f  e.  ( A  ^pm  NN ) )
6043adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  V  e.  _V )
61 nn0ex 9987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  e.  _V
6261a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  NN0  e.  _V )
63 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  p : ( 0 ... n ) --> V )
64 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
6564ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ... n )  C_  NN0
6665a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  (
0 ... n )  C_  NN0 )
67 elpm2r 6804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\ 
NN0  e.  _V )  /\  ( p : ( 0 ... n ) --> V  /\  ( 0 ... n )  C_  NN0 ) )  ->  p  e.  ( V  ^pm  NN0 )
)
6860, 62, 63, 66, 67syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  p  e.  ( V  ^pm  NN0 )
)
6959, 68jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  /\  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  (
f  e.  ( A 
^pm  NN )  /\  p  e.  ( V  ^pm  NN0 )
) )
7069ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  ( ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n
) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } )  -> 
( f  e.  ( A  ^pm  NN )  /\  p  e.  ( V  ^pm  NN0 ) ) ) )
7170rexlimdvw 2683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } )  ->  ( f  e.  ( A  ^pm  NN )  /\  p  e.  ( V  ^pm  NN0 ) ) ) )
7271adantld 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  ->  (
f  e.  ( A 
^pm  NN )  /\  p  e.  ( V  ^pm  NN0 )
) ) )
7372ssopab2dv 4309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) }  C_  {
<. f ,  p >.  |  ( f  e.  ( A  ^pm  NN )  /\  p  e.  ( V  ^pm  NN0 ) ) } )
74 df-xp 4711 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^pm  NN )  X.  ( V  ^pm  NN0 )
)  =  { <. f ,  p >.  |  ( f  e.  ( A 
^pm  NN )  /\  p  e.  ( V  ^pm  NN0 )
) }
75 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
^pm  NN )  e.  _V
76 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( V 
^pm  NN0 )  e.  _V
7775, 76xpex 4817 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ^pm  NN )  X.  ( V  ^pm  NN0 )
)  e.  _V
7874, 77eqeltrri 2367 . . . . . . 7  |-  { <. f ,  p >.  |  ( f  e.  ( A 
^pm  NN )  /\  p  e.  ( V  ^pm  NN0 )
) }  e.  _V
79 ssexg 4176 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) }  C_  {
<. f ,  p >.  |  ( f  e.  ( A  ^pm  NN )  /\  p  e.  ( V  ^pm  NN0 ) ) }  /\  { <. f ,  p >.  |  (
f  e.  ( A 
^pm  NN )  /\  p  e.  ( V  ^pm  NN0 )
) }  e.  _V )  ->  { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) }  e.  _V )
8073, 78, 79sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) }  e.  _V )
8125, 42, 43, 44, 80ovmpt2d 5991 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  ( V EulPaths  E )  =  { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) } )
8281breqd 4050 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  ( F ( V EulPaths  E ) P  <->  F { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } ) ) } P ) )
83 f1oeq1 5479 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  <->  F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
8483adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  <-> 
F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
85 feq1 5391 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  (
p : ( 0 ... n ) --> V  <-> 
P : ( 0 ... n ) --> V ) )
8685adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( p : ( 0 ... n ) --> V  <->  P : ( 0 ... n ) --> V ) )
87 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  k )  =  ( F `  k ) )
8887fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( E `  ( f `  k ) )  =  ( E `  ( F `  k )
) )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( E `  (
f `  k )
)  =  ( E `
 ( F `  k ) ) )
90 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  p  =  P )
9190fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( p `  (
k  -  1 ) )  =  ( P `
 ( k  - 
1 ) ) )
9290fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( p `  k
)  =  ( P `
 k ) )
9391, 92preq12d 3727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  { ( p `  ( k  -  1 ) ) ,  ( p `  k ) }  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } )
9489, 93eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) }  <-> 
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) )
9594ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) }  <->  A. k  e.  (
1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) )
9684, 86, 953anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } )  <->  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) ) )
9796rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( E. n  e. 
NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } )  <->  E. n  e.  NN0  ( F : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( P `  k
) } ) ) )
9897anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  p  =  P )  ->  ( ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) )  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) ) ) )
99 eqid 2296 . . . . . 6  |-  { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) }  =  { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) }
10098, 99brabga 4295 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( f `  k
) )  =  {
( p `  (
k  -  1 ) ) ,  ( p `
 k ) } ) ) } P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) ) ) )
101100ad2antlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  ( F { <. f ,  p >.  |  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e.  NN0  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  p : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( E `  ( f `
 k ) )  =  { ( p `
 ( k  - 
1 ) ) ,  ( p `  k
) } ) ) } P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) ) ) )
10282, 101bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  dom  E  =  A )  ->  ( F ( V EulPaths  E ) P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) ) ) )
103102expcom 424 . 2  |-  ( dom 
E  =  A  -> 
( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  -> 
( F ( V EulPaths  E ) P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) ) ) ) )
1049, 24, 103pm5.21ndd 343 1  |-  ( dom 
E  =  A  -> 
( F ( V EulPaths  E ) P  <->  ( V UMGrph  E  /\  E. n  e. 
NN0  ( F :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  P : ( 0 ... n ) --> V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  ( k  -  1 ) ) ,  ( P `  k ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {cpr 3654   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092    X. cxp 4703   dom cdm 4705   Rel wrel 4710   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ^pm cpm 6789   0cc0 8753   1c1 8754    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ...cfz 10798   UMGrph cumg 23875   EulPaths ceup 23876
This theorem is referenced by:  eupagra  23897  eupai  23898  eupa0  23913  eupares  23914  eupap1  23915  eupatrl  28385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-umgra 23878  df-eupa 23879
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