MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem10 Unicode version

Theorem isf32lem10 7988
Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
isf32lem.g  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
isf32lem10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Distinct variable groups:    x, w    t, G    x, L    t,
s, u, v, w, x, y, ph    w, F, x, y    S, s, t, u, v, w, x, y    J, s, t, w, x, y    K, s, t, x, y
Allowed substitution hints:    F( v, u, t, s)    G( x, y, w, v, u, s)    J( v, u)    K( w, v, u)    L( y, w, v, u, t, s)    V( x, y, w, v, u, t, s)

Proof of Theorem isf32lem10
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
2 isf32lem.b . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
3 isf32lem.c . . 3  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
4 isf32lem.d . . 3  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
5 isf32lem.e . . 3  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
6 isf32lem.f . . 3  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
7 isf32lem.g . . 3  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isf32lem9 7987 . 2  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
9 fof 5451 . . . . 5  |-  ( L : G -onto-> om  ->  L : G --> om )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : G --> om )
11 fex 5749 . . . 4  |-  ( ( L : G --> om  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1210, 11sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1312ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  L  e.  _V )
)
14 fowdom 7285 . . 3  |-  ( ( L  e.  _V  /\  L : G -onto-> om )  ->  om  ~<_*  G )
1514expcom 424 . 2  |-  ( L : G -onto-> om  ->  ( L  e.  _V  ->  om  ~<_*  G ) )
168, 13, 15sylsyld 52 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   ~Pcpw 3625   |^|cint 3862   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690    o. ccom 4693   iotacio 5217   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255   iota_crio 6297    ~~ cen 6860    ~<_* cwdom 7271
This theorem is referenced by:  isf32lem11  7989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-wdom 7273  df-card 7572
  Copyright terms: Public domain W3C validator