MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem10 Structured version   Unicode version

Theorem isf32lem10 8247
Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
isf32lem.g  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
isf32lem10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Distinct variable groups:    x, w    t, G    x, L    t,
s, u, v, w, x, y, ph    w, F, x, y    S, s, t, u, v, w, x, y    J, s, t, w, x, y    K, s, t, x, y
Allowed substitution hints:    F( v, u, t, s)    G( x, y, w, v, u, s)    J( v, u)    K( w, v, u)    L( y, w, v, u, t, s)    V( x, y, w, v, u, t, s)

Proof of Theorem isf32lem10
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
2 isf32lem.b . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
3 isf32lem.c . . 3  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
4 isf32lem.d . . 3  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
5 isf32lem.e . . 3  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
6 isf32lem.f . . 3  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
7 isf32lem.g . . 3  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isf32lem9 8246 . 2  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
9 fof 5656 . . . . 5  |-  ( L : G -onto-> om  ->  L : G --> om )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : G --> om )
11 fex 5972 . . . 4  |-  ( ( L : G --> om  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1210, 11sylan 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1312ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  L  e.  _V )
)
14 fowdom 7542 . . 3  |-  ( ( L  e.  _V  /\  L : G -onto-> om )  ->  om  ~<_*  G )
1514expcom 426 . 2  |-  ( L : G -onto-> om  ->  ( L  e.  _V  ->  om  ~<_*  G ) )
168, 13, 15sylsyld 55 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322    C. wpss 3323   ~Pcpw 3801   |^|cint 4052   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   suc csuc 4586   omcom 4848   ran crn 4882    o. ccom 4885   iotacio 5419   -->wf 5453   -onto->wfo 5455   ` cfv 5457   iota_crio 6545    ~~ cen 7109    ~<_* cwdom 7528
This theorem is referenced by:  isf32lem11  8248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-wdom 7530  df-card 7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator