MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem10 Unicode version

Theorem isf32lem10 8135
Description: Lemma for isfin3-2 . Write in terms of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
isf32lem.g  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
isf32lem10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Distinct variable groups:    x, w    t, G    x, L    t,
s, u, v, w, x, y, ph    w, F, x, y    S, s, t, u, v, w, x, y    J, s, t, w, x, y    K, s, t, x, y
Allowed substitution hints:    F( v, u, t, s)    G( x, y, w, v, u, s)    J( v, u)    K( w, v, u)    L( y, w, v, u, t, s)    V( x, y, w, v, u, t, s)

Proof of Theorem isf32lem10
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . 3  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
2 isf32lem.b . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
3 isf32lem.c . . 3  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
4 isf32lem.d . . 3  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
5 isf32lem.e . . 3  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
6 isf32lem.f . . 3  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
7 isf32lem.g . . 3  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isf32lem9 8134 . 2  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
9 fof 5557 . . . . 5  |-  ( L : G -onto-> om  ->  L : G --> om )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : G --> om )
11 fex 5869 . . . 4  |-  ( ( L : G --> om  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1210, 11sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  V )  ->  L  e.  _V )
1312ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  L  e.  _V )
)
14 fowdom 7432 . . 3  |-  ( ( L  e.  _V  /\  L : G -onto-> om )  ->  om  ~<_*  G )
1514expcom 424 . 2  |-  ( L : G -onto-> om  ->  ( L  e.  _V  ->  om  ~<_*  G ) )
168, 13, 15sylsyld 52 1  |-  ( ph  ->  ( G  e.  V  ->  om  ~<_*  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   {crab 2632   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    i^i cin 3237    C_ wss 3238    C. wpss 3239   ~Pcpw 3714   |^|cint 3964   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   suc csuc 4497   omcom 4759   ran crn 4793    o. ccom 4796   iotacio 5320   -->wf 5354   -onto->wfo 5356   ` cfv 5358   iota_crio 6439    ~~ cen 7003    ~<_* cwdom 7418
This theorem is referenced by:  isf32lem11  8136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-riota 6446  df-recs 6530  df-1o 6621  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-wdom 7420  df-card 7719
  Copyright terms: Public domain W3C validator