MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem2 Unicode version

Theorem isf32lem2 7980
Description: Lemma for isfin3-2 7993. Non-minimum implies that there is always another decrease. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
Assertion
Ref Expression
isf32lem2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `
 suc  a )  C.  ( F `  a
) ) )
Distinct variable groups:    x, a    G, a    ph, a, x    A, a, x    F, a, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem isf32lem2
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  -.  |^| ran  F  e.  ran  F )
3 isf32lem.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
4 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : om --> ~P G  ->  F  Fn  om )
53, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  om )
6 peano2 4676 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
7 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( F `  suc  A )  e.  ran  F
)
85, 6, 7syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( F `  suc  A )  e. 
ran  F )
98adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( F `  suc  A )  e. 
ran  F )
10 intss1 3877 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  A
)  e.  ran  F  ->  |^| ran  F  C_  ( F `  suc  A
) )
119, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  |^| ran  F  C_  ( F `  suc  A ) )
12 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  om  ->  (
b  e.  ran  F  <->  E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b ) )
135, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b ) )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b ) )
15 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  c  e.  om )
16 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  A  e.  om )
1716, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  suc  A  e.  om )
18 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  suc  A  C_  c
)
19 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )
20 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  suc  A  -> 
( F `  b
)  =  ( F `
 suc  A )
)
2120eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  suc  A  -> 
( ( F `  suc  A )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  suc  A )  =  ( F `
 suc  A )
) )
2221imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  suc  A  -> 
( ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  A
) ) ) )
23 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
2423eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  suc  A )  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  d
) ) )
2524imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  d  ->  (
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  d ) ) ) )
26 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( F `  b
)  =  ( F `
 suc  d )
)
2726eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( ( F `  suc  A )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  suc  A )  =  ( F `
 suc  d )
) )
2827imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d
) ) ) )
29 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  c  ->  ( F `  b )  =  ( F `  c ) )
3029eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  c  ->  (
( F `  suc  A )  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c
) ) )
3130imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  c  ->  (
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c ) ) ) )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 suc  A )  =  ( F `  suc  A )
3332a1ii 24 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  A ) ) )
34 elex 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  suc 
A  e.  _V )
35 sucexb 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
3634, 35sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  A  e.  _V )
3736adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  A  e.  _V )
38 sucssel 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  A  C_  d  ->  A  e.  d ) )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  d  ->  A  e.  d ) )
4039imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  A  e.  d )
41 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  d  ->  ( A  e.  a  <->  A  e.  d ) )
42 suceq 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  =  d  ->  suc  a  =  suc  d )
4342fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  d  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  suc  d ) )
44 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  d  ->  ( F `  a )  =  ( F `  d ) )
4543, 44eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  d  ->  (
( F `  suc  a )  =  ( F `  a )  <-> 
( F `  suc  d )  =  ( F `  d ) ) )
4641, 45imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  d  ->  (
( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  <->  ( A  e.  d  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) ) )
4746rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  om  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( A  e.  d  ->  ( F `
 suc  d )  =  ( F `  d ) ) ) )
4847com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  om  ->  ( A  e.  d  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) ) )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  ( A  e.  d  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) ) )
5040, 49mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) )
51 eqtr3 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  suc  A )  =  ( F `
 d )  /\  ( F `  suc  d
)  =  ( F `
 d ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d
) )
5251expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  suc  d
)  =  ( F `
 d )  -> 
( ( F `  suc  A )  =  ( F `  d )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d
) ) )
5350, 52syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( ( F `  suc  A )  =  ( F `  d )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d ) ) ) )
5453a2d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  (
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  d ) )  -> 
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d ) ) ) )
5522, 25, 28, 31, 33, 54findsg 4683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  c )  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c
) ) )
5655impr 602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  ( suc  A  C_  c  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) ) ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c ) )
5715, 17, 18, 19, 56syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `
 c ) )
58 eqimss 3230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  suc  A
)  =  ( F `
 c )  -> 
( F `  suc  A )  C_  ( F `  c ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  ( F `  suc  A )  C_  ( F `  c ) )
60 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  A  e.  om )
6160, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  suc  A  e.  om )
62 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  c  e.  om )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  c  C_  suc  A )
64 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  ph )
65 isf32lem.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
663, 65, 1isf32lem1 7979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( suc  A  e. 
om  /\  c  e.  om )  /\  ( c 
C_  suc  A  /\  ph ) )  ->  ( F `  suc  A ) 
C_  ( F `  c ) )
6761, 62, 63, 64, 66syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  ( F `  suc  A )  C_  ( F `  c )
)
68 nnord 4664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  Ord 
suc  A )
696, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  suc 
A )
7069ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  ->  Ord  suc  A )
71 nnord 4664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  om  ->  Ord  c )
7271ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  ->  Ord  c )
73 ordtri2or2 4489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  c )  ->  ( suc  A  C_  c  \/  c  C_  suc  A ) )
7470, 72, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  -> 
( suc  A  C_  c  \/  c  C_  suc  A
) )
7559, 67, 74mpjaodan 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  -> 
( F `  suc  A )  C_  ( F `  c ) )
7675anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )  /\  c  e.  om )  ->  ( F `  suc  A ) 
C_  ( F `  c ) )
77 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c )  =  b  ->  (
( F `  suc  A )  C_  ( F `  c )  <->  ( F `  suc  A )  C_  b ) )
7876, 77syl5ibcom 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )  /\  c  e.  om )  ->  (
( F `  c
)  =  b  -> 
( F `  suc  A )  C_  b )
)
7978rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b  ->  ( F `
 suc  A )  C_  b ) )
8014, 79sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( b  e.  ran  F  ->  ( F `  suc  A ) 
C_  b ) )
8180ralrimiv 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  A. b  e.  ran  F ( F `
 suc  A )  C_  b )
82 ssint 3878 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  A
)  C_  |^| ran  F  <->  A. b  e.  ran  F
( F `  suc  A )  C_  b )
8381, 82sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( F `  suc  A )  C_  |^|
ran  F )
8411, 83eqssd 3196 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  |^| ran  F  =  ( F `  suc  A ) )
8584, 9eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
862, 85mtand 640 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  -.  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) ) )
87 rexnal 2554 . . 3  |-  ( E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  <->  -.  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) ) )
8886, 87sylibr 203 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )
89 suceq 4457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  suc  x  =  suc  a )
9089fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  a ) )
91 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
9290, 91sseq12d 3207 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( F `  suc  x )  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a ) ) )
9392cbvralv 2764 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x )  <->  A. a  e.  om  ( F `  suc  a )  C_  ( F `  a )
)
9465, 93sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a ) )
9594adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  A. a  e.  om  ( F `  suc  a )  C_  ( F `  a )
)
96 pm4.61 415 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  <->  ( A  e.  a  /\  -.  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )
97 dfpss2 3261 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  a
)  C.  ( F `  a )  <->  ( ( F `  suc  a ) 
C_  ( F `  a )  /\  -.  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )
9897simplbi2 608 . . . . . 6  |-  ( ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a )  ->  ( -.  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a )  ->  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) )
9998anim2d 548 . . . . 5  |-  ( ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a )  ->  (
( A  e.  a  /\  -.  ( F `
 suc  a )  =  ( F `  a ) )  -> 
( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) ) )
10096, 99syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a )  ->  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a ) 
C.  ( F `  a ) ) ) )
101100ralimi 2618 . . 3  |-  ( A. a  e.  om  ( F `  suc  a ) 
C_  ( F `  a )  ->  A. a  e.  om  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( A  e.  a  /\  ( F `
 suc  a )  C.  ( F `  a
) ) ) )
102 rexim 2647 . . 3  |-  ( A. a  e.  om  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a ) 
C.  ( F `  a ) ) )  ->  ( E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) ) )
10395, 101, 1023syl 18 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) ) )
10488, 103mpd 14 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `
 suc  a )  C.  ( F `  a
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    C. wpss 3153   ~Pcpw 3625   |^|cint 3862   Ord word 4391   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  isf32lem5  7983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator