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Theorem isf32lem2 8234
Description: Lemma for isfin3-2 8247. Non-minimum implies that there is always another decrease. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
Assertion
Ref Expression
isf32lem2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `
 suc  a )  C.  ( F `  a
) ) )
Distinct variable groups:    x, a    G, a    ph, a, x    A, a, x    F, a, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem isf32lem2
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  -.  |^| ran  F  e.  ran  F )
3 isf32lem.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
4 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : om --> ~P G  ->  F  Fn  om )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  om )
6 peano2 4865 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
7 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( F `  suc  A )  e.  ran  F
)
85, 6, 7syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( F `  suc  A )  e. 
ran  F )
98adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( F `  suc  A )  e. 
ran  F )
10 intss1 4065 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  A
)  e.  ran  F  ->  |^| ran  F  C_  ( F `  suc  A
) )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  |^| ran  F  C_  ( F `  suc  A ) )
12 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  om  ->  (
b  e.  ran  F  <->  E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b ) )
135, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b ) )
1413ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b ) )
15 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  c  e.  om )
166ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  suc  A  e.  om )
17 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  suc  A  C_  c
)
18 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )
19 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  suc  A  -> 
( F `  b
)  =  ( F `
 suc  A )
)
2019eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  suc  A  -> 
( ( F `  suc  A )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  suc  A )  =  ( F `
 suc  A )
) )
2120imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  suc  A  -> 
( ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  A
) ) ) )
22 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
2322eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  suc  A )  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  d
) ) )
2423imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  d  ->  (
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  d ) ) ) )
25 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( F `  b
)  =  ( F `
 suc  d )
)
2625eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( ( F `  suc  A )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  suc  A )  =  ( F `
 suc  d )
) )
2726imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d
) ) ) )
28 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  c  ->  ( F `  b )  =  ( F `  c ) )
2928eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  c  ->  (
( F `  suc  A )  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c
) ) )
3029imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  c  ->  (
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  b ) )  <->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c ) ) ) )
31 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 suc  A )  =  ( F `  suc  A )
3231a1ii 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  A ) ) )
33 elex 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  suc 
A  e.  _V )
34 sucexb 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
3533, 34sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  A  e.  _V )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  A  e.  _V )
37 sucssel 4674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  A  C_  d  ->  A  e.  d ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  d  ->  A  e.  d ) )
3938imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  A  e.  d )
40 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  d  ->  ( A  e.  a  <->  A  e.  d ) )
41 suceq 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  =  d  ->  suc  a  =  suc  d )
4241fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  d  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  suc  d ) )
43 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  d  ->  ( F `  a )  =  ( F `  d ) )
4442, 43eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  d  ->  (
( F `  suc  a )  =  ( F `  a )  <-> 
( F `  suc  d )  =  ( F `  d ) ) )
4540, 44imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  d  ->  (
( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  <->  ( A  e.  d  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) ) )
4645rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  om  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( A  e.  d  ->  ( F `
 suc  d )  =  ( F `  d ) ) ) )
4746com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  om  ->  ( A  e.  d  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) ) )
4847ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  ( A  e.  d  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) ) )
4939, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  d )  =  ( F `  d
) ) )
50 eqtr3 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  suc  A )  =  ( F `
 d )  /\  ( F `  suc  d
)  =  ( F `
 d ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d
) )
5150expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  suc  d
)  =  ( F `
 d )  -> 
( ( F `  suc  A )  =  ( F `  d )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d
) ) )
5249, 51syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( ( F `  suc  A )  =  ( F `  d )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d ) ) ) )
5352a2d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  d )  ->  (
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  d ) )  -> 
( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  suc  d ) ) ) )
5421, 24, 27, 30, 32, 53findsg 4872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  c )  ->  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c
) ) )
5554impr 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  ( suc  A  C_  c  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) ) ) )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `  c ) )
5615, 16, 17, 18, 55syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  ( F `  suc  A )  =  ( F `
 c ) )
57 eqimss 3400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  suc  A
)  =  ( F `
 c )  -> 
( F `  suc  A )  C_  ( F `  c ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  suc  A  C_  c )  ->  ( F `  suc  A )  C_  ( F `  c ) )
596ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  suc  A  e.  om )
60 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  c  e.  om )
61 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  c  C_  suc  A )
62 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  ph )
63 isf32lem.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
643, 63, 1isf32lem1 8233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( suc  A  e. 
om  /\  c  e.  om )  /\  ( c 
C_  suc  A  /\  ph ) )  ->  ( F `  suc  A ) 
C_  ( F `  c ) )
6559, 60, 61, 62, 64syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e. 
om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) )  /\  c  e.  om ) )  /\  c  C_  suc  A )  ->  ( F `  suc  A )  C_  ( F `  c )
)
66 nnord 4853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  Ord 
suc  A )
676, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  suc 
A )
6867ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  ->  Ord  suc  A )
69 nnord 4853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  om  ->  Ord  c )
7069ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  ->  Ord  c )
71 ordtri2or2 4678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  c )  ->  ( suc  A  C_  c  \/  c  C_  suc  A ) )
7268, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  -> 
( suc  A  C_  c  \/  c  C_  suc  A
) )
7358, 65, 72mpjaodan 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  ( A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  /\  c  e. 
om ) )  -> 
( F `  suc  A )  C_  ( F `  c ) )
7473anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )  /\  c  e.  om )  ->  ( F `  suc  A ) 
C_  ( F `  c ) )
75 sseq2 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c )  =  b  ->  (
( F `  suc  A )  C_  ( F `  c )  <->  ( F `  suc  A )  C_  b ) )
7674, 75syl5ibcom 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )  /\  c  e.  om )  ->  (
( F `  c
)  =  b  -> 
( F `  suc  A )  C_  b )
)
7776rexlimdva 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( E. c  e.  om  ( F `  c )  =  b  ->  ( F `
 suc  A )  C_  b ) )
7814, 77sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( b  e.  ran  F  ->  ( F `  suc  A ) 
C_  b ) )
7978ralrimiv 2788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  A. b  e.  ran  F ( F `
 suc  A )  C_  b )
80 ssint 4066 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  A
)  C_  |^| ran  F  <->  A. b  e.  ran  F
( F `  suc  A )  C_  b )
8179, 80sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  ( F `  suc  A )  C_  |^|
ran  F )
8211, 81eqssd 3365 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  |^| ran  F  =  ( F `  suc  A ) )
8382, 9eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  om )  /\  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
842, 83mtand 641 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  -.  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) ) )
85 rexnal 2716 . . 3  |-  ( E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  <->  -.  A. a  e.  om  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a
) ) )
8684, 85sylibr 204 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )
87 suceq 4646 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  suc  x  =  suc  a )
8887fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  a ) )
89 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
9088, 89sseq12d 3377 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( F `  suc  x )  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a ) ) )
9190cbvralv 2932 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x )  <->  A. a  e.  om  ( F `  suc  a )  C_  ( F `  a )
)
9263, 91sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a ) )
9392adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  A. a  e.  om  ( F `  suc  a )  C_  ( F `  a )
)
94 pm4.61 416 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  <->  ( A  e.  a  /\  -.  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) ) )
95 dfpss2 3432 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  a
)  C.  ( F `  a )  <->  ( ( F `  suc  a ) 
C_  ( F `  a )  /\  -.  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) ) )
9695simplbi2 609 . . . . . 6  |-  ( ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a )  ->  ( -.  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a )  ->  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) )
9796anim2d 549 . . . . 5  |-  ( ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a )  ->  (
( A  e.  a  /\  -.  ( F `
 suc  a )  =  ( F `  a ) )  -> 
( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) ) )
9894, 97syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( F `  suc  a
)  C_  ( F `  a )  ->  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a ) 
C.  ( F `  a ) ) ) )
9998ralimi 2781 . . 3  |-  ( A. a  e.  om  ( F `  suc  a ) 
C_  ( F `  a )  ->  A. a  e.  om  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  ( A  e.  a  /\  ( F `
 suc  a )  C.  ( F `  a
) ) ) )
100 rexim 2810 . . 3  |-  ( A. a  e.  om  ( -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a ) 
C.  ( F `  a ) ) )  ->  ( E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a )  =  ( F `  a ) )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) ) )
10193, 99, 1003syl 19 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( E. a  e.  om  -.  ( A  e.  a  ->  ( F `  suc  a
)  =  ( F `
 a ) )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `  suc  a )  C.  ( F `  a )
) ) )
10286, 101mpd 15 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  E. a  e.  om  ( A  e.  a  /\  ( F `
 suc  a )  C.  ( F `  a
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320    C. wpss 3321   ~Pcpw 3799   |^|cint 4050   Ord word 4580   suc csuc 4583   omcom 4845   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454
This theorem is referenced by:  isf32lem5  8237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462
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