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Theorem isf32lem5 8073
Description: Lemma for isfin3-2 8083. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
Assertion
Ref Expression
isf32lem5  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, F, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
2 isf32lem.b . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
3 isf32lem.c . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
41, 2, 3isf32lem2 8070 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
54ralrimiva 2702 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  (
a  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
6 isf32lem.d . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
7 ssrab2 3334 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  C_  om
86, 7eqsstri 3284 . . . . . . 7  |-  S  C_  om
9 nnunifi 7198 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
108, 9mpan 651 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  U. S  e.  om )
1110adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
12 elssuni 3936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  b  C_ 
U. S )
13 nnon 4744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
14 omsson 4742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  C_  On
1514, 11sseldi 3254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  On )
16 ontri1 4508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  On  /\  U. S  e.  On )  ->  ( b  C_  U. S  <->  -.  U. S  e.  b ) )
1713, 15, 16syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  (
b  C_  U. S  <->  -.  U. S  e.  b ) )
1812, 17syl5ib 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  (
b  e.  S  ->  -.  U. S  e.  b ) )
1918con2d 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. S  e.  b  ->  -.  b  e.  S
) )
2019impr 602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  b  e.  S )
216eleq2i 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  S  <->  b  e.  { y  e.  om  | 
( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } )
2220, 21sylnib 295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } )
23 suceq 4539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  suc  y  =  suc  b )
2423fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  suc  y )  =  ( F `  suc  b ) )
25 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  y )  =  ( F `  b ) )
2624, 25psseq12d 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  b  ->  (
( F `  suc  y )  C.  ( F `  y )  <->  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
2726elrab3 3000 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  (
b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  <->  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b ) ) )
2827ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  ( b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } 
<->  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
2922, 28mtbid 291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) )
3029expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. S  e.  b  ->  -.  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
31 imnan 411 . . . . . . 7  |-  ( ( U. S  e.  b  ->  -.  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b ) )  <->  -.  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
3230, 31sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  -.  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
3332nrexdv 2722 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  -.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
34 eleq1 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  U. S  -> 
( a  e.  b  <->  U. S  e.  b
) )
3534anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  U. S  -> 
( ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) ) )
3635rexbidv 2640 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. S  -> 
( E. b  e. 
om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) ) ) )
3736notbid 285 . . . . . 6  |-  ( a  =  U. S  -> 
( -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  -.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) ) ) )
3837rspcev 2960 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  om  /\ 
-.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )  ->  E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
3911, 33, 38syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
40 rexnal 2630 . . . 4  |-  ( E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  (
a  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) )  <->  -.  A. a  e.  om  E. b  e. 
om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
4139, 40sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  -.  A. a  e.  om  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
4241ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  Fin  ->  -.  A. a  e. 
om  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) ) )
435, 42mt2d 109 1  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623    C_ wss 3228    C. wpss 3229   ~Pcpw 3701   U.cuni 3908   |^|cint 3943   Oncon0 4474   suc csuc 4476   omcom 4738   ran crn 4772   -->wf 5333   ` cfv 5337   Fincfn 6951
This theorem is referenced by:  isf32lem6  8074  isf32lem7  8075  isf32lem8  8076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-1o 6566  df-er 6747  df-en 6952  df-fin 6955
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