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Theorem isf32lem5 7983
Description: Lemma for isfin3-2 7993. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
Assertion
Ref Expression
isf32lem5  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, F, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem isf32lem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.a . . . 4  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
2 isf32lem.b . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
3 isf32lem.c . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
41, 2, 3isf32lem2 7980 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
54ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  (
a  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
6 isf32lem.d . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
7 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  C_  om
86, 7eqsstri 3208 . . . . . . 7  |-  S  C_  om
9 nnunifi 7108 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
108, 9mpan 651 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  U. S  e.  om )
1110adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
12 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  b  C_ 
U. S )
13 nnon 4662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
14 omsson 4660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  C_  On
1514, 11sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  On )
16 ontri1 4426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  On  /\  U. S  e.  On )  ->  ( b  C_  U. S  <->  -.  U. S  e.  b ) )
1713, 15, 16syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  (
b  C_  U. S  <->  -.  U. S  e.  b ) )
1812, 17syl5ib 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  (
b  e.  S  ->  -.  U. S  e.  b ) )
1918con2d 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. S  e.  b  ->  -.  b  e.  S
) )
2019impr 602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  b  e.  S )
216eleq2i 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  S  <->  b  e.  { y  e.  om  | 
( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } )
2220, 21sylnib 295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } )
23 suceq 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  suc  y  =  suc  b )
2423fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  suc  y )  =  ( F `  suc  b ) )
25 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  ( F `  y )  =  ( F `  b ) )
2624, 25psseq12d 3270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  b  ->  (
( F `  suc  y )  C.  ( F `  y )  <->  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
2726elrab3 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  (
b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  <->  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b ) ) )
2827ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  ( b  e.  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) } 
<->  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
2922, 28mtbid 291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  (
b  e.  om  /\  U. S  e.  b ) )  ->  -.  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) )
3029expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. S  e.  b  ->  -.  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
31 imnan 411 . . . . . . 7  |-  ( ( U. S  e.  b  ->  -.  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b ) )  <->  -.  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) )
3230, 31sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  S  e.  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  -.  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
3332nrexdv 2646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  -.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )
34 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  U. S  -> 
( a  e.  b  <->  U. S  e.  b
) )
3534anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  U. S  -> 
( ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) ) ) )
3635rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. S  -> 
( E. b  e. 
om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) ) ) )
3736notbid 285 . . . . . 6  |-  ( a  =  U. S  -> 
( -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) )  <->  -.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b ) 
C.  ( F `  b ) ) ) )
3837rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  om  /\ 
-.  E. b  e.  om  ( U. S  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) )  ->  E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
3911, 33, 38syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
40 rexnal 2554 . . . 4  |-  ( E. a  e.  om  -.  E. b  e.  om  (
a  e.  b  /\  ( F `  suc  b
)  C.  ( F `  b ) )  <->  -.  A. a  e.  om  E. b  e. 
om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
4139, 40sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  Fin )  ->  -.  A. a  e.  om  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `
 suc  b )  C.  ( F `  b
) ) )
4241ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  Fin  ->  -.  A. a  e. 
om  E. b  e.  om  ( a  e.  b  /\  ( F `  suc  b )  C.  ( F `  b )
) ) )
435, 42mt2d 109 1  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152    C. wpss 3153   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  isf32lem6  7984  isf32lem7  7985  isf32lem8  7986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
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