MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem7 Unicode version

Theorem isf32lem7 8001
Description: Lemma for isfin3-2 8009. Different K values are disjoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
Assertion
Ref Expression
isf32lem7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( K `  A )  i^i  ( K `  B )
)  =  (/) )
Distinct variable groups:    x, w, B    v, u, w, x, y, ph    w, A, x, y    w, F, x, y    u, S, v, w, x, y    w, J, x, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    A( v, u)    B( y, v, u)    F( v, u)    G( x, y, w, v, u)    J( v, u)    K( w, v, u)

Proof of Theorem isf32lem7
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . . 5  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
21fveq1i 5542 . . . 4  |-  ( K `
 A )  =  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )
3 isf32lem.d . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
4 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  C_  om
53, 4eqsstri 3221 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  om
6 isf32lem.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
7 isf32lem.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
8 isf32lem.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
96, 7, 8, 3isf32lem5 7999 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
10 isf32lem.e . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
1110fin23lem22 7969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  J : om -1-1-onto-> S )
125, 9, 11sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : om -1-1-onto-> S )
13 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( J : om -1-1-onto-> S  ->  J : om
--> S )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J : om --> S )
15 fvco3 5612 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om --> S  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
) )
1614, 15sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J
) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  A ) ) )
1716ad2ant2r 727 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
) )
1814adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  B )  ->  J : om
--> S )
19 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
20 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om --> S  /\  A  e.  om )  ->  ( J `  A
)  e.  S )
2118, 19, 20syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  A
)  e.  S )
22 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( J `  A ) ) )
23 suceq 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  suc  w  =  suc  ( J `
 A ) )
2423fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  ( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )
2522, 24difeq12d 3308 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  (
( F `  w
)  \  ( F `  suc  w ) )  =  ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
26 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  =  ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )
27 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( J `  A ) )  e. 
_V
28 difexg 4178 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( J `
 A ) )  e.  _V  ->  (
( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) )  e.  _V )
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )  e. 
_V
3025, 26, 29fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( ( J `  A )  e.  S  ->  (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
)  =  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) ) )
3121, 30syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  A ) )  =  ( ( F `  ( J `  A ) )  \  ( F `
 suc  ( J `  A ) ) ) )
3217, 31eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )  =  ( ( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
332, 32syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( K `  A
)  =  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) ) )
341fveq1i 5542 . . . 4  |-  ( K `
 B )  =  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  B )
35 fvco3 5612 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om --> S  /\  B  e.  om )  ->  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  B )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  B )
) )
3614, 35sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  om )  ->  ( (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J
) `  B )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  B ) ) )
3736ad2ant2rl 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  B )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  B )
) )
38 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  B  e.  om )
39 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om --> S  /\  B  e.  om )  ->  ( J `  B
)  e.  S )
4018, 38, 39syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  B
)  e.  S )
41 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  B )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( J `  B ) ) )
42 suceq 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( J `  B )  ->  suc  w  =  suc  ( J `
 B ) )
4342fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  B )  ->  ( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  ( J `  B
) ) )
4441, 43difeq12d 3308 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( J `  B )  ->  (
( F `  w
)  \  ( F `  suc  w ) )  =  ( ( F `
 ( J `  B ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  B ) ) ) )
45 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( J `  B ) )  e. 
_V
46 difexg 4178 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( J `
 B ) )  e.  _V  ->  (
( F `  ( J `  B )
)  \  ( F `  suc  ( J `  B ) ) )  e.  _V )
4745, 46ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( J `
 B ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  B
) ) )  e. 
_V
4844, 26, 47fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( ( J `  B )  e.  S  ->  (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  B )
)  =  ( ( F `  ( J `
 B ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  B
) ) ) )
4940, 48syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  B ) )  =  ( ( F `  ( J `  B ) )  \  ( F `
 suc  ( J `  B ) ) ) )
5037, 49eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  B )  =  ( ( F `  ( J `  B )
)  \  ( F `  suc  ( J `  B ) ) ) )
5134, 50syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( K `  B
)  =  ( ( F `  ( J `
 B ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  B
) ) ) )
5233, 51ineq12d 3384 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( K `  A )  i^i  ( K `  B )
)  =  ( ( ( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) )  i^i  ( ( F `
 ( J `  B ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  B ) ) ) ) )
53 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  ->  ph )
54 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  ->  A  =/=  B )
55 f1of1 5487 . . . . . . . . 9  |-  ( J : om -1-1-onto-> S  ->  J : om
-1-1-> S )
5612, 55syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J : om -1-1-> S
)
5756adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  B )  ->  J : om
-1-1-> S )
58 f1fveq 5802 . . . . . . 7  |-  ( ( J : om -1-1-> S  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( J `  A )  =  ( J `  B )  <->  A  =  B ) )
5957, 58sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( J `  A )  =  ( J `  B )  <-> 
A  =  B ) )
6059biimpd 198 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( J `  A )  =  ( J `  B )  ->  A  =  B ) )
6160necon3d 2497 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( A  =/=  B  ->  ( J `  A
)  =/=  ( J `
 B ) ) )
6254, 61mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  A
)  =/=  ( J `
 B ) )
635, 21sseldi 3191 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  A
)  e.  om )
645, 40sseldi 3191 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( J `  B
)  e.  om )
656, 7, 8isf32lem4 7998 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( J `  A )  =/=  ( J `  B
) )  /\  (
( J `  A
)  e.  om  /\  ( J `  B )  e.  om ) )  ->  ( ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )  i^i  ( ( F `  ( J `  B ) )  \  ( F `
 suc  ( J `  B ) ) ) )  =  (/) )
6653, 62, 63, 64, 65syl22anc 1183 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) )  i^i  (
( F `  ( J `  B )
)  \  ( F `  suc  ( J `  B ) ) ) )  =  (/) )
6752, 66eqtrd 2328 1  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  B )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om ) )  -> 
( ( K `  A )  i^i  ( K `  B )
)  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165    C. wpss 3166   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   |^|cint 3878   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   suc csuc 4410   omcom 4672   ran crn 4706    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   iota_crio 6313    ~~ cen 6876   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  isf32lem9  8003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588
  Copyright terms: Public domain W3C validator