MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf32lem8 Structured version   Unicode version

Theorem isf32lem8 8245
Description: Lemma for isfin3-2 8252. K sets are subsets of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
Assertion
Ref Expression
isf32lem8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( K `  A )  C_  G
)
Distinct variable groups:    x, w    v, u, w, x, y,
ph    w, A, x, y   
w, F, x, y   
u, S, v, w, x, y    w, J, x, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    A( v, u)    F( v, u)    G( x, y, w, v, u)    J( v, u)    K( w, v, u)

Proof of Theorem isf32lem8
StepHypRef Expression
1 isf32lem.f . . . 4  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
21fveq1i 5732 . . 3  |-  ( K `
 A )  =  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )
3 isf32lem.d . . . . . . . 8  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
4 ssrab2 3430 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y
)  C.  ( F `  y ) }  C_  om
53, 4eqsstri 3380 . . . . . . 7  |-  S  C_  om
6 isf32lem.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
7 isf32lem.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
8 isf32lem.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
96, 7, 8, 3isf32lem5 8242 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
10 isf32lem.e . . . . . . . 8  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
1110fin23lem22 8212 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  J : om -1-1-onto-> S )
125, 9, 11sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J : om -1-1-onto-> S )
13 f1of 5677 . . . . . 6  |-  ( J : om -1-1-onto-> S  ->  J : om
--> S )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J : om --> S )
15 fvco3 5803 . . . . 5  |-  ( ( J : om --> S  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J ) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
) )
1614, 15sylan 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J
) `  A )  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) ) `
 ( J `  A ) ) )
1714ffvelrnda 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( J `  A )  e.  S
)
18 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( J `  A ) ) )
19 suceq 4649 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  suc  w  =  suc  ( J `
 A ) )
2019fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  ( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )
2118, 20difeq12d 3468 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( J `  A )  ->  (
( F `  w
)  \  ( F `  suc  w ) )  =  ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
22 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( F `  w ) 
\  ( F `  suc  w ) ) )  =  ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )
23 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( J `  A ) )  e. 
_V
24 difexg 4354 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( J `
 A ) )  e.  _V  ->  (
( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) )  e.  _V )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) )  e. 
_V
2621, 22, 25fvmpt 5809 . . . . 5  |-  ( ( J `  A )  e.  S  ->  (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `  A )
)  =  ( ( F `  ( J `
 A ) ) 
\  ( F `  suc  ( J `  A
) ) ) )
2717, 26syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
w  e.  S  |->  ( ( F `  w
)  \  ( F `  suc  w ) ) ) `  ( J `
 A ) )  =  ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
2816, 27eqtrd 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( w  e.  S  |->  ( ( F `  w )  \  ( F `  suc  w ) ) )  o.  J
) `  A )  =  ( ( F `
 ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
292, 28syl5eq 2482 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( K `  A )  =  ( ( F `  ( J `  A )
)  \  ( F `  suc  ( J `  A ) ) ) )
306adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  F : om
--> ~P G )
315, 17sseldi 3348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( J `  A )  e.  om )
3230, 31ffvelrnd 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( F `  ( J `  A
) )  e.  ~P G )
3332elpwid 3810 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( F `  ( J `  A
) )  C_  G
)
3433ssdifssd 3487 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( F `  ( J `  A ) )  \ 
( F `  suc  ( J `  A ) ) )  C_  G
)
3529, 34eqsstrd 3384 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( K `  A )  C_  G
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322    C. wpss 3323   ~Pcpw 3801   |^|cint 4052   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   suc csuc 4586   omcom 4848   ran crn 4882    o. ccom 4885   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457   iota_crio 6545    ~~ cen 7109   Fincfn 7112
This theorem is referenced by:  isf32lem9  8246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator