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Theorem isf32lem9 8233
Description: Lemma for isfin3-2 8239. Construction of the onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
isf32lem.g  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
isf32lem9  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
Distinct variable groups:    x, w    t, G    x, L    t,
s, u, v, w, x, y, ph    w, F, x, y    S, s, t, u, v, w, x, y    J, s, t, w, x, y    K, s, t, x, y
Allowed substitution hints:    F( v, u, t, s)    G( x, y, w, v, u, s)    J( v, u)    K( w, v, u)    L( y, w, v, u, t, s)

Proof of Theorem isf32lem9
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.g . . . 4  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
2 ssab2 3419 . . . . . . 7  |-  { s  |  ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) }  C_  om
3 iotacl 5433 . . . . . . 7  |-  ( E! s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  {
s  |  ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s
) ) } )
42, 3sseldi 3338 . . . . . 6  |-  ( E! s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om )
5 iotanul 5425 . . . . . . 7  |-  ( -.  E! s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s
) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  =  (/) )
6 peano1 4856 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
75, 6syl6eqel 2523 . . . . . 6  |-  ( -.  E! s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s
) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om )
84, 7pm2.61i 158 . . . . 5  |-  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om
98a1i 11 . . . 4  |-  ( t  e.  G  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om )
101, 9fmpti 5884 . . 3  |-  L : G
--> om
1110a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  L : G --> om )
12 isf32lem.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
13 isf32lem.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
14 isf32lem.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
15 isf32lem.d . . . . . 6  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
16 isf32lem.e . . . . . 6  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
17 isf32lem.f . . . . . 6  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
1812, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem6 8230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( K `  a )  =/=  (/) )
19 n0 3629 . . . . 5  |-  ( ( K `  a )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( K `  a
) )
2018, 19sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b 
b  e.  ( K `
 a ) )
2112, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem8 8232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( K `  a )  C_  G
)
2221sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  b  e.  G )
23 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  b  ->  (
t  e.  ( K `
 s )  <->  b  e.  ( K `  s ) ) )
2423anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  b  ->  (
( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `
 s ) )  <-> 
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
2524iotabidv 5431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  b  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  =  ( iota s ( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `  s
) ) ) )
26 iotaex 5427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  _V
2725, 1, 26fvmpt3i 5801 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  G  ->  ( L `  b )  =  ( iota s
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
2822, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  ( L `  b )  =  ( iota s
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
29 simp1r 982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  b  e.  ( K `  a
) )
30 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  ph )
31 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  s  =/=  a )
3231necomd 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  a  =/=  s )
33 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  a  e.  om )
34 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  s  e.  om )
3512, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem7 8231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  =/=  s )  /\  (
a  e.  om  /\  s  e.  om )
)  ->  ( ( K `  a )  i^i  ( K `  s
) )  =  (/) )
3630, 32, 33, 34, 35syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  (
( K `  a
)  i^i  ( K `  s ) )  =  (/) )
37 disj1 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K `  a
)  i^i  ( K `  s ) )  =  (/) 
<-> 
A. b ( b  e.  ( K `  a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) )
3836, 37sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  A. b
( b  e.  ( K `  a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) )
3938ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om 
/\  s  e.  om )  ->  ( s  =/=  a  ->  A. b
( b  e.  ( K `  a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
40 sp 1763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b ( b  e.  ( K `  a
)  ->  -.  b  e.  ( K `  s
) )  ->  (
b  e.  ( K `
 a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s )
) )
4139, 40syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om 
/\  s  e.  om )  ->  ( s  =/=  a  ->  ( b  e.  ( K `  a
)  ->  -.  b  e.  ( K `  s
) ) ) )
4241com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om 
/\  s  e.  om )  ->  ( b  e.  ( K `  a
)  ->  ( s  =/=  a  ->  -.  b  e.  ( K `  s
) ) ) )
43423adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  (
b  e.  ( K `
 a )  -> 
( s  =/=  a  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
4429, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  (
s  =/=  a  ->  -.  b  e.  ( K `  s )
) )
4544necon4ad 2659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  (
b  e.  ( K `
 s )  -> 
s  =  a ) )
46453expia 1155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
s  e.  om  ->  ( b  e.  ( K `
 s )  -> 
s  =  a ) ) )
4746imp3a 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) )  ->  s  =  a ) )
48 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  a  ->  (
s  e.  om  <->  a  e.  om ) )
49 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  a  ->  ( K `  s )  =  ( K `  a ) )
5049eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  a  ->  (
b  e.  ( K `
 s )  <->  b  e.  ( K `  a ) ) )
5148, 50anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  a  ->  (
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) )  <-> 
( a  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 a ) ) ) )
5251biimprcd 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  ( K `  a ) )  -> 
( s  =  a  ->  ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
5352ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( K `
 a )  /\  a  e.  om )  ->  ( s  =  a  ->  ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
5453adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
s  =  a  -> 
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
5547, 54impbid 184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) )  <-> 
s  =  a ) )
5655iota5 5430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) )  =  a )
5756an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) )  =  a )
5828, 57eqtr2d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  a  =  ( L `  b ) )
5922, 58jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  (
b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b ) ) )
6059ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( b  e.  ( K `  a
)  ->  ( b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b ) ) ) )
6160eximdv 1632 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( E. b  b  e.  ( K `  a )  ->  E. b ( b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b ) ) ) )
62 df-rex 2703 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  G  a  =  ( L `  b )  <->  E. b
( b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b )
) )
6361, 62syl6ibr 219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( E. b  b  e.  ( K `  a )  ->  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) ) )
6420, 63mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) )
6564ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) )
66 dffo3 5876 . 2  |-  ( L : G -onto-> om  <->  ( L : G --> om  /\  A. a  e.  om  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) ) )
6711, 65, 66sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2280   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312    C. wpss 3313   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   |^|cint 4042   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   suc csuc 4575   omcom 4837   ran crn 4871    o. ccom 4874   iotacio 5408   -->wf 5442   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446   iota_crio 6534    ~~ cen 7098
This theorem is referenced by:  isf32lem10  8234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818
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