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Theorem isf32lem9 7987
Description: Lemma for isfin3-2 7993. Construction of the onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isf32lem.a  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
isf32lem.b  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
isf32lem.c  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
isf32lem.d  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
isf32lem.e  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
isf32lem.f  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
isf32lem.g  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
isf32lem9  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
Distinct variable groups:    x, w    t, G    x, L    t,
s, u, v, w, x, y, ph    w, F, x, y    S, s, t, u, v, w, x, y    J, s, t, w, x, y    K, s, t, x, y
Allowed substitution hints:    F( v, u, t, s)    G( x, y, w, v, u, s)    J( v, u)    K( w, v, u)    L( y, w, v, u, t, s)

Proof of Theorem isf32lem9
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isf32lem.g . . . 4  |-  L  =  ( t  e.  G  |->  ( iota s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) ) )
2 ssab2 3257 . . . . . . 7  |-  { s  |  ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) }  C_  om
3 iotacl 5242 . . . . . . 7  |-  ( E! s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  {
s  |  ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s
) ) } )
42, 3sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( E! s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om )
5 iotanul 5234 . . . . . . 7  |-  ( -.  E! s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s
) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  =  (/) )
6 peano1 4675 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
75, 6syl6eqel 2371 . . . . . 6  |-  ( -.  E! s ( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `  s
) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om )
84, 7pm2.61i 156 . . . . 5  |-  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om
98a1i 10 . . . 4  |-  ( t  e.  G  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  om )
101, 9fmpti 5683 . . 3  |-  L : G
--> om
1110a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  L : G --> om )
12 isf32lem.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : om --> ~P G
)
13 isf32lem.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x ) )
14 isf32lem.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  F  e. 
ran  F )
15 isf32lem.d . . . . . 6  |-  S  =  { y  e.  om  |  ( F `  suc  y )  C.  ( F `  y ) }
16 isf32lem.e . . . . . 6  |-  J  =  ( u  e.  om  |->  ( iota_ v  e.  S
( v  i^i  S
)  ~~  u )
)
17 isf32lem.f . . . . . 6  |-  K  =  ( ( w  e.  S  |->  ( ( F `
 w )  \ 
( F `  suc  w ) ) )  o.  J )
1812, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem6 7984 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( K `  a )  =/=  (/) )
19 n0 3464 . . . . 5  |-  ( ( K `  a )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( K `  a
) )
2018, 19sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b 
b  e.  ( K `
 a ) )
2112, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem8 7986 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( K `  a )  C_  G
)
2221sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  b  e.  G )
23 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  b  ->  (
t  e.  ( K `
 s )  <->  b  e.  ( K `  s ) ) )
2423anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  b  ->  (
( s  e.  om  /\  t  e.  ( K `
 s ) )  <-> 
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
2524iotabidv 5240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  b  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  =  ( iota s ( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `  s
) ) ) )
26 iotaex 5236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota s ( s  e. 
om  /\  t  e.  ( K `  s ) ) )  e.  _V
2725, 1, 26fvmpt3i 5605 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  G  ->  ( L `  b )  =  ( iota s
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
2822, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  ( L `  b )  =  ( iota s
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
29 simp1r 980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  b  e.  ( K `  a
) )
30 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  ph )
31 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  s  =/=  a )
3231necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  a  =/=  s )
33 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  a  e.  om )
34 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  s  e.  om )
3512, 13, 14, 15, 16, 17isf32lem7 7985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  a  =/=  s )  /\  (
a  e.  om  /\  s  e.  om )
)  ->  ( ( K `  a )  i^i  ( K `  s
) )  =  (/) )
3630, 32, 33, 34, 35syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  (
( K `  a
)  i^i  ( K `  s ) )  =  (/) )
37 disj1 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K `  a
)  i^i  ( K `  s ) )  =  (/) 
<-> 
A. b ( b  e.  ( K `  a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) )
3836, 37sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  /\  s  =/=  a )  ->  A. b
( b  e.  ( K `  a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) )
3938ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om 
/\  s  e.  om )  ->  ( s  =/=  a  ->  A. b
( b  e.  ( K `  a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
40 sp 1716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. b ( b  e.  ( K `  a
)  ->  -.  b  e.  ( K `  s
) )  ->  (
b  e.  ( K `
 a )  ->  -.  b  e.  ( K `  s )
) )
4139, 40syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om 
/\  s  e.  om )  ->  ( s  =/=  a  ->  ( b  e.  ( K `  a
)  ->  -.  b  e.  ( K `  s
) ) ) )
4241com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om 
/\  s  e.  om )  ->  ( b  e.  ( K `  a
)  ->  ( s  =/=  a  ->  -.  b  e.  ( K `  s
) ) ) )
43423adant1r 1175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  (
b  e.  ( K `
 a )  -> 
( s  =/=  a  ->  -.  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
4429, 43mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  (
s  =/=  a  ->  -.  b  e.  ( K `  s )
) )
4544necon4ad 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om  /\  s  e. 
om )  ->  (
b  e.  ( K `
 s )  -> 
s  =  a ) )
46453expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
s  e.  om  ->  ( b  e.  ( K `
 s )  -> 
s  =  a ) ) )
4746imp3a 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) )  ->  s  =  a ) )
48 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  a  ->  (
s  e.  om  <->  a  e.  om ) )
49 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  a  ->  ( K `  s )  =  ( K `  a ) )
5049eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  a  ->  (
b  e.  ( K `
 s )  <->  b  e.  ( K `  a ) ) )
5148, 50anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  a  ->  (
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) )  <-> 
( a  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 a ) ) ) )
5251biimprcd 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  ( K `  a ) )  -> 
( s  =  a  ->  ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
5352ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( K `
 a )  /\  a  e.  om )  ->  ( s  =  a  ->  ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) ) )
5453adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
s  =  a  -> 
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) ) ) )
5547, 54impbid 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  (
( s  e.  om  /\  b  e.  ( K `
 s ) )  <-> 
s  =  a ) )
5655iota5 5239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  ( K `  a
) )  /\  a  e.  om )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) )  =  a )
5756an32s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  ( iota s ( s  e. 
om  /\  b  e.  ( K `  s ) ) )  =  a )
5828, 57eqtr2d 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  a  =  ( L `  b ) )
5922, 58jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  om )  /\  b  e.  ( K `  a
) )  ->  (
b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b ) ) )
6059ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( b  e.  ( K `  a
)  ->  ( b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b ) ) ) )
6160eximdv 1608 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( E. b  b  e.  ( K `  a )  ->  E. b ( b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b ) ) ) )
62 df-rex 2549 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  G  a  =  ( L `  b )  <->  E. b
( b  e.  G  /\  a  =  ( L `  b )
) )
6361, 62syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  ( E. b  b  e.  ( K `  a )  ->  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) ) )
6420, 63mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  om )  ->  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) )
6564ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  om  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) )
66 dffo3 5675 . 2  |-  ( L : G -onto-> om  <->  ( L : G --> om  /\  A. a  e.  om  E. b  e.  G  a  =  ( L `  b ) ) )
6711, 65, 66sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  L : G -onto-> om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   |^|cint 3862   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690    o. ccom 4693   iotacio 5217   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255   iota_crio 6297    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  isf32lem10  7988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572
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