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Theorem isf34lem4 8192
Description: Lemma for isfin3-4 8197. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
Assertion
Ref Expression
isf34lem4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| ( F " X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V
Allowed substitution hints:    F( x)    X( x)

Proof of Theorem isf34lem4
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspwuni 4119 . . . . 5  |-  ( X 
C_  ~P A  <->  U. X  C_  A )
2 compss.a . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
32isf34lem1 8187 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. X  C_  A )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
41, 3sylan2b 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
54adantrr 698 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
6 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  -.  b  e.  U. X )
7 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  ->  b  e.  A
)
87ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  A )
9 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  -.  b  e.  a )
108, 9eldifd 3276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  ( A 
\  a ) )
11 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  ( A  \  a
)  e.  X )
12 elunii 3964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( A 
\  a )  /\  ( A  \  a
)  e.  X )  ->  b  e.  U. X )
1310, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  U. X
)
1413ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  ( -.  b  e.  a  ->  b  e.  U. X
) )
156, 14mt3d 119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  b  e.  a )
1615expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  a  e.  ~P A
)  ->  ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
1716ralrimiva 2734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  ->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
1817ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X )  ->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
19 n0 3582 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. c  c  e.  X )
20 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  X  C_  ~P A )
2120sselda 3293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  e.  ~P A )
2221elpwid 3753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  C_  A )
23 dfss4 3520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  c
) )  =  c )
2422, 23sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  ( A  \ 
c ) )  =  c )
25 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  e.  X )
2624, 25eqeltrd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  ( A  \ 
c ) )  e.  X )
27 difss 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
\  c )  C_  A
28 elpw2g 4306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  c
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  c ) 
C_  A ) )
2927, 28mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  c )  e. 
~P A )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  c )  e. 
~P A )
31 difeq2 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  ( A  \  a )  =  ( A  \  ( A  \  c ) ) )
3231eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
( A  \  a
)  e.  X  <->  ( A  \  ( A  \  c
) )  e.  X
) )
33 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
b  e.  a  <->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
3432, 33imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <-> 
( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) ) )
3534rspcv 2993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  \  c )  e.  ~P A  -> 
( A. a  e. 
~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) ) )
3630, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) ) )
3726, 36mpid 39 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
38 eldifi 3414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( A  \ 
c )  ->  b  e.  A )
3937, 38syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) )
4039ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( c  e.  X  ->  ( A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A
) ) )
4140exlimdv 1643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( E. c 
c  e.  X  -> 
( A. a  e. 
~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) ) )
4219, 41syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) ) )
4342impr 603 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) )
44 eluni 3962 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  U. X  <->  E. c
( b  e.  c  /\  c  e.  X
) )
4529ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( A  \  c
)  e.  ~P A
)
4626adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  c  e.  X
)  ->  ( A  \  ( A  \  c
) )  e.  X
)
4746adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X )
48 elndif 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  c  ->  -.  b  e.  ( A  \  c ) )
4948ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  b  e.  ( A  \  c ) )
5047, 49jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  /\  -.  b  e.  ( A  \  c ) ) )
51 annim 415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  /\  -.  b  e.  ( A  \  c ) )  <->  -.  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
5250, 51sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  ( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) )
5334notbid 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  ( -.  ( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <->  -.  ( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) ) )
5453rspcev 2997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  c
)  e.  ~P A  /\  -.  ( ( A 
\  ( A  \ 
c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )  ->  E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5545, 52, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
56 rexnal 2662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5755, 56sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5857ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  c  /\  c  e.  X )  ->  -.  A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
5958exlimdv 1643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( E. c
( b  e.  c  /\  c  e.  X
)  ->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
6044, 59syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e. 
U. X  ->  -.  A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
6160con2d 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  -.  b  e.  U. X ) )
6243, 61jcad 520 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X
) ) )
6318, 62impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X )  <->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
64 eldif 3275 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( A  \  U. X )  <->  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )
65 vex 2904 . . . . . 6  |-  b  e. 
_V
6665elintrab 4006 . . . . 5  |-  ( b  e.  |^| { a  e. 
~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }  <->  A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
6763, 64, 663bitr4g 280 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e.  ( A  \  U. X )  <->  b  e.  |^|
{ a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X } ) )
6867eqrdv 2387 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A  \  U. X )  =  |^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \ 
a )  e.  X } )
695, 68eqtrd 2421 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \ 
a )  e.  X } )
702compss 8191 . . 3  |-  ( F
" X )  =  { a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }
7170inteqi 3998 . 2  |-  |^| ( F " X )  = 
|^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }
7269, 71syl6eqr 2439 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| ( F " X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   {crab 2655    \ cdif 3262    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   U.cuni 3959   |^|cint 3994    e. cmpt 4209   "cima 4823   ` cfv 5396
This theorem is referenced by:  isf34lem5  8193  isf34lem6  8195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fv 5404
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