MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem4 Unicode version

Theorem isf34lem4 8019
Description: Lemma for isfin3-4 8024. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
Assertion
Ref Expression
isf34lem4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| ( F " X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V
Allowed substitution hints:    F( x)    X( x)

Proof of Theorem isf34lem4
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspwuni 4003 . . . . 5  |-  ( X 
C_  ~P A  <->  U. X  C_  A )
2 compss.a . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
32isf34lem1 8014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. X  C_  A )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
41, 3sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
54adantrr 697 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
6 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  -.  b  e.  U. X )
7 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  ->  b  e.  A
)
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  A )
9 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  -.  b  e.  a )
10 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( A  \ 
a )  <->  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  a ) )
118, 9, 10sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  ( A 
\  a ) )
12 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  ( A  \  a
)  e.  X )
13 elunii 3848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( A 
\  a )  /\  ( A  \  a
)  e.  X )  ->  b  e.  U. X )
1411, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  U. X
)
1514ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  ( -.  b  e.  a  ->  b  e.  U. X
) )
166, 15mt3d 117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  b  e.  a )
1716expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  a  e.  ~P A
)  ->  ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
1817ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  ->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
1918ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X )  ->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
20 n0 3477 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. c  c  e.  X )
21 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  X  C_  ~P A )
2221sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  e.  ~P A )
23 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ~P A  -> 
c  C_  A )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  C_  A )
25 dfss4 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  c
) )  =  c )
2624, 25sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  ( A  \ 
c ) )  =  c )
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  e.  X )
2826, 27eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  ( A  \ 
c ) )  e.  X )
29 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
\  c )  C_  A
30 elpw2g 4190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  c
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  c ) 
C_  A ) )
3129, 30mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  c )  e. 
~P A )
3231ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  c )  e. 
~P A )
33 difeq2 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  ( A  \  a )  =  ( A  \  ( A  \  c ) ) )
3433eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
( A  \  a
)  e.  X  <->  ( A  \  ( A  \  c
) )  e.  X
) )
35 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
b  e.  a  <->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
3634, 35imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <-> 
( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) ) )
3736rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  \  c )  e.  ~P A  -> 
( A. a  e. 
~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) ) )
3832, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) ) )
3928, 38mpid 37 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
40 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( A  \ 
c )  ->  b  e.  A )
4139, 40syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) )
4241ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( c  e.  X  ->  ( A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A
) ) )
4342exlimdv 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( E. c 
c  e.  X  -> 
( A. a  e. 
~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) ) )
4420, 43syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) ) )
4544impr 602 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) )
46 eluni 3846 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  U. X  <->  E. c
( b  e.  c  /\  c  e.  X
) )
4731ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( A  \  c
)  e.  ~P A
)
4828adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  c  e.  X
)  ->  ( A  \  ( A  \  c
) )  e.  X
)
4948adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X )
50 elndif 3313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  c  ->  -.  b  e.  ( A  \  c ) )
5150ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  b  e.  ( A  \  c ) )
5249, 51jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  /\  -.  b  e.  ( A  \  c ) ) )
53 annim 414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  /\  -.  b  e.  ( A  \  c ) )  <->  -.  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
5452, 53sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  ( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) )
5536notbid 285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  ( -.  ( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <->  -.  ( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) ) )
5655rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  c
)  e.  ~P A  /\  -.  ( ( A 
\  ( A  \ 
c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )  ->  E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5747, 54, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
58 rexnal 2567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5957, 58sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
6059ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  c  /\  c  e.  X )  ->  -.  A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
6160exlimdv 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( E. c
( b  e.  c  /\  c  e.  X
)  ->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
6246, 61syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e. 
U. X  ->  -.  A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
6362con2d 107 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  -.  b  e.  U. X ) )
6445, 63jcad 519 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X
) ) )
6519, 64impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X )  <->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
66 eldif 3175 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( A  \  U. X )  <->  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )
67 vex 2804 . . . . . 6  |-  b  e. 
_V
6867elintrab 3890 . . . . 5  |-  ( b  e.  |^| { a  e. 
~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }  <->  A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
6965, 66, 683bitr4g 279 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e.  ( A  \  U. X )  <->  b  e.  |^|
{ a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X } ) )
7069eqrdv 2294 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A  \  U. X )  =  |^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \ 
a )  e.  X } )
715, 70eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \ 
a )  e.  X } )
722compss 8018 . . 3  |-  ( F
" X )  =  { a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }
7372inteqi 3882 . 2  |-  |^| ( F " X )  = 
|^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }
7471, 73syl6eqr 2346 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| ( F " X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|cint 3878    e. cmpt 4093   "cima 4708   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  isf34lem5  8020  isf34lem6  8022
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator