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Theorem isf34lem4 8247
Description: Lemma for isfin3-4 8252. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
Assertion
Ref Expression
isf34lem4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| ( F " X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V
Allowed substitution hints:    F( x)    X( x)

Proof of Theorem isf34lem4
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspwuni 4168 . . . . 5  |-  ( X 
C_  ~P A  <->  U. X  C_  A )
2 compss.a . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
32isf34lem1 8242 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. X  C_  A )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
41, 3sylan2b 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
54adantrr 698 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  ( A  \  U. X
) )
6 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  -.  b  e.  U. X )
7 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  ->  b  e.  A
)
87ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  A )
9 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  -.  b  e.  a )
108, 9eldifd 3323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  ( A 
\  a ) )
11 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  ( A  \  a
)  e.  X )
12 elunii 4012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( A 
\  a )  /\  ( A  \  a
)  e.  X )  ->  b  e.  U. X )
1310, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  /\  -.  b  e.  a )  ->  b  e.  U. X
)
1413ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  ( -.  b  e.  a  ->  b  e.  U. X
) )
156, 14mt3d 119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  ( a  e.  ~P A  /\  ( A  \ 
a )  e.  X
) )  ->  b  e.  a )
1615expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( X 
C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  /\  a  e.  ~P A
)  ->  ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
1716ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )  ->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
1817ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X )  ->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
19 n0 3629 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. c  c  e.  X )
20 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  X  C_  ~P A )
2120sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  e.  ~P A )
2221elpwid 3800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  C_  A )
23 dfss4 3567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  c
) )  =  c )
2422, 23sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  ( A  \ 
c ) )  =  c )
25 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  c  e.  X )
2624, 25eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  ( A  \ 
c ) )  e.  X )
27 difss 3466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
\  c )  C_  A
28 elpw2g 4355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  c
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  c ) 
C_  A ) )
2927, 28mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  c )  e. 
~P A )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A  \  c )  e. 
~P A )
31 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  ( A  \  a )  =  ( A  \  ( A  \  c ) ) )
3231eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
( A  \  a
)  e.  X  <->  ( A  \  ( A  \  c
) )  e.  X
) )
33 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
b  e.  a  <->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
3432, 33imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  (
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <-> 
( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) ) )
3534rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  \  c )  e.  ~P A  -> 
( A. a  e. 
~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) ) )
3630, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) ) )
3726, 36mpid 39 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
38 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( A  \ 
c )  ->  b  e.  A )
3937, 38syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A
)  /\  c  e.  X )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) )
4039ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( c  e.  X  ->  ( A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A
) ) )
4140exlimdv 1646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( E. c 
c  e.  X  -> 
( A. a  e. 
~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) ) )
4219, 41syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  X  C_  ~P A )  ->  ( X  =/=  (/)  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) ) )
4342impr 603 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  b  e.  A ) )
44 eluni 4010 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  U. X  <->  E. c
( b  e.  c  /\  c  e.  X
) )
4529ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( A  \  c
)  e.  ~P A
)
4626adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  c  e.  X
)  ->  ( A  \  ( A  \  c
) )  e.  X
)
4746adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X )
48 elndif 3463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  c  ->  -.  b  e.  ( A  \  c ) )
4948ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  b  e.  ( A  \  c ) )
5047, 49jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  /\  -.  b  e.  ( A  \  c ) ) )
51 annim 415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  /\  -.  b  e.  ( A  \  c ) )  <->  -.  (
( A  \  ( A  \  c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )
5250, 51sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  ( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) )
5334notbid 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( A  \ 
c )  ->  ( -.  ( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <->  -.  ( ( A  \ 
( A  \  c
) )  e.  X  ->  b  e.  ( A 
\  c ) ) ) )
5453rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  c
)  e.  ~P A  /\  -.  ( ( A 
\  ( A  \ 
c ) )  e.  X  ->  b  e.  ( A  \  c
) ) )  ->  E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5545, 52, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
56 rexnal 2708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a  e.  ~P  A  -.  ( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a )  <->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5755, 56sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  /\  ( b  e.  c  /\  c  e.  X ) )  ->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
5857ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  c  /\  c  e.  X )  ->  -.  A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
5958exlimdv 1646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( E. c
( b  e.  c  /\  c  e.  X
)  ->  -.  A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
6044, 59syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e. 
U. X  ->  -.  A. a  e.  ~P  A
( ( A  \ 
a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
6160con2d 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  -.  b  e.  U. X ) )
6243, 61jcad 520 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a )  ->  (
b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X
) ) )
6318, 62impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X )  <->  A. a  e.  ~P  A ( ( A 
\  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) ) )
64 eldif 3322 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( A  \  U. X )  <->  ( b  e.  A  /\  -.  b  e.  U. X ) )
65 vex 2951 . . . . . 6  |-  b  e. 
_V
6665elintrab 4054 . . . . 5  |-  ( b  e.  |^| { a  e. 
~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }  <->  A. a  e.  ~P  A ( ( A  \  a )  e.  X  ->  b  e.  a ) )
6763, 64, 663bitr4g 280 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( b  e.  ( A  \  U. X )  <->  b  e.  |^|
{ a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X } ) )
6867eqrdv 2433 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( A  \  U. X )  =  |^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \ 
a )  e.  X } )
695, 68eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \ 
a )  e.  X } )
702compss 8246 . . 3  |-  ( F
" X )  =  { a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }
7170inteqi 4046 . 2  |-  |^| ( F " X )  = 
|^| { a  e.  ~P A  |  ( A  \  a )  e.  X }
7269, 71syl6eqr 2485 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( X  C_  ~P A  /\  X  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. X )  =  |^| ( F " X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   |^|cint 4042    e. cmpt 4258   "cima 4873   ` cfv 5446
This theorem is referenced by:  isf34lem5  8248  isf34lem6  8250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454
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