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Theorem isf34lem6 8022
Description: Lemma for isfin3-4 8024. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
Assertion
Ref Expression
isf34lem6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<-> 
A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    f, F, y    x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x)    V( f)

Proof of Theorem isf34lem6
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 6808 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  f : om --> ~P A )
2 compss.a . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
32isf34lem7 8021 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  f : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  (
f `  y )  C_  ( f `  suc  y ) )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )
433expia 1153 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  f : om
--> ~P A )  -> 
( A. y  e. 
om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) )
51, 4sylan2 460 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  f  e.  ( ~P A  ^m  om ) )  ->  ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f ) )
65ralrimiva 2639 . 2  |-  ( A  e. FinIII  ->  A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) )
7 elmapex 6807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( ~P A  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )
)
87simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ~P A  e.  _V )
9 pwexb 4580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
108, 9sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  A  e.  _V )
112isf34lem2 8015 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  F : ~P A --> ~P A
)
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  F : ~P A --> ~P A
)
13 elmapi 6808 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  g : om --> ~P A )
14 fco 5414 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ~P A --> ~P A  /\  g : om --> ~P A )  ->  ( F  o.  g ) : om --> ~P A )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F  o.  g ) : om --> ~P A )
16 elmapg 6801 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( ( F  o.  g )  e.  ( ~P A  ^m  om ) 
<->  ( F  o.  g
) : om --> ~P A
) )
177, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  ( ~P A  ^m  om )  <->  ( F  o.  g ) : om --> ~P A
) )
1815, 17mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( ~P A  ^m  om ) )
19 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  y )  =  ( ( F  o.  g ) `  y ) )
20 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
f `  suc  y )  =  ( ( F  o.  g ) `  suc  y ) )
2119, 20sseq12d 3220 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  <->  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y ) ) )
2221ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  <->  A. y  e.  om  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y ) ) )
23 rneq 4920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  ran  f  =  ran  ( F  o.  g ) )
24 rnco2 5196 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( F  o.  g )  =  ( F " ran  g )
2523, 24syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  ran  f  =  ( F " ran  g ) )
2625unieqd 3854 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  U. ran  f  =  U. ( F " ran  g ) )
2726, 25eleq12d 2364 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  ( U. ran  f  e.  ran  f 
<-> 
U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
) ) )
2822, 27imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  o.  g )  ->  (
( A. y  e. 
om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f )  <->  ( A. y  e.  om  (
( F  o.  g
) `  y )  C_  ( ( F  o.  g ) `  suc  y )  ->  U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g ) ) ) )
2928rspccv 2894 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( A. y  e. 
om  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y )  ->  U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
) ) ) )
3018, 29syl5 28 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )  ->  (
g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( A. y  e. 
om  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y )  ->  U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
) ) ) )
31 sscon 3323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  suc  y
)  C_  ( g `  y )  ->  ( A  \  ( g `  y ) )  C_  ( A  \  (
g `  suc  y ) ) )
3210adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  _V )
33 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : om --> ~P A  /\  y  e.  om )  ->  ( g `  y )  e.  ~P A )
3413, 33sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( g `  y )  e.  ~P A )
35 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  y )  e.  ~P A  -> 
( g `  y
)  C_  A )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( g `  y )  C_  A
)
372isf34lem1 8014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( g `  y
)  C_  A )  ->  ( F `  (
g `  y )
)  =  ( A 
\  ( g `  y ) ) )
3832, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  ( g `  y
) )  =  ( A  \  ( g `
 y ) ) )
39 peano2 4692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
40 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : om --> ~P A  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( g `  suc  y )  e.  ~P A )
4113, 39, 40syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( g `  suc  y )  e.  ~P A )
42 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  suc  y
)  e.  ~P A  ->  ( g `  suc  y )  C_  A
)
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( g `  suc  y )  C_  A
)
442isf34lem1 8014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( g `  suc  y )  C_  A
)  ->  ( F `  ( g `  suc  y ) )  =  ( A  \  (
g `  suc  y ) ) )
4532, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  ( g `  suc  y ) )  =  ( A  \  (
g `  suc  y ) ) )
4638, 45sseq12d 3220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F `
 ( g `  y ) )  C_  ( F `  ( g `
 suc  y )
)  <->  ( A  \ 
( g `  y
) )  C_  ( A  \  ( g `  suc  y ) ) ) )
4731, 46syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( g `
 suc  y )  C_  ( g `  y
)  ->  ( F `  ( g `  y
) )  C_  ( F `  ( g `  suc  y ) ) ) )
48 fvco3 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : om --> ~P A  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  g ) `  y )  =  ( F `  ( g `
 y ) ) )
4913, 48sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  g ) `  y )  =  ( F `  ( g `
 y ) ) )
50 fvco3 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : om --> ~P A  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  g ) `  suc  y )  =  ( F `  ( g `
 suc  y )
) )
5113, 39, 50syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  g ) `  suc  y )  =  ( F `  ( g `
 suc  y )
) )
5249, 51sseq12d 3220 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( F  o.  g ) `
 y )  C_  ( ( F  o.  g ) `  suc  y )  <->  ( F `  ( g `  y
) )  C_  ( F `  ( g `  suc  y ) ) ) )
5347, 52sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( g `
 suc  y )  C_  ( g `  y
)  ->  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y ) ) )
5453ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( A. y  e.  om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  A. y  e.  om  ( ( F  o.  g ) `  y
)  C_  ( ( F  o.  g ) `  suc  y ) ) )
55 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  F  Fn  ~P A
)
5612, 55syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  F  Fn  ~P A )
57 imassrn 5041 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ran  g )  C_ 
ran  F
58 frn 5411 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  ran  F  C_  ~P A )
5912, 58syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ran  F 
C_  ~P A )
6057, 59syl5ss 3203 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F " ran  g ) 
C_  ~P A )
61 fnfvima 5772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  ( F " ran  g )  C_  ~P A  /\  U. ( F
" ran  g )  e.  ( F " ran  g ) )  -> 
( F `  U. ( F " ran  g
) )  e.  ( F " ( F
" ran  g )
) )
62613expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  ( F " ran  g )  C_  ~P A )  ->  ( U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
)  ->  ( F `  U. ( F " ran  g ) )  e.  ( F " ( F " ran  g ) ) ) )
6356, 60, 62syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
)  ->  ( F `  U. ( F " ran  g ) )  e.  ( F " ( F " ran  g ) ) ) )
64 incom 3374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  i^i  ran  g )  =  ( ran  g  i^i  dom  F )
65 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : om --> ~P A  ->  ran  g  C_  ~P A )
6613, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ran  g  C_  ~P A )
67 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  dom  F  =  ~P A )
6812, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  dom  F  =  ~P A )
6966, 68sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ran  g  C_  dom  F )
70 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  g  C_  dom  F  <->  ( ran  g  i^i  dom  F )  =  ran  g )
7169, 70sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( ran  g  i^i  dom  F
)  =  ran  g
)
7264, 71syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( dom  F  i^i  ran  g
)  =  ran  g
)
73 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : om --> ~P A  ->  dom  g  =  om )
7413, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  dom  g  =  om )
75 peano1 4691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  e.  om
76 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
7775, 76mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  om  =/=  (/) )
7874, 77eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  dom  g  =/=  (/) )
79 dm0rn0 4911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  g  =  (/)  <->  ran  g  =  (/) )
8079necon3bii 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  g  =/=  (/)  <->  ran  g  =/=  (/) )
8178, 80sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ran  g  =/=  (/) )
8272, 81eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( dom  F  i^i  ran  g
)  =/=  (/) )
83 imadisj 5048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " ran  g
)  =  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ran  g )  =  (/) )
8483necon3bii 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " ran  g
)  =/=  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ran  g )  =/=  (/) )
8582, 84sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F " ran  g )  =/=  (/) )
862isf34lem4 8019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( ( F " ran  g )  C_  ~P A  /\  ( F " ran  g )  =/=  (/) ) )  ->  ( F `  U. ( F " ran  g ) )  = 
|^| ( F "
( F " ran  g ) ) )
8710, 60, 85, 86syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F `  U. ( F
" ran  g )
)  =  |^| ( F " ( F " ran  g ) ) )
882isf34lem3 8017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ran  g  C_  ~P A
)  ->  ( F " ( F " ran  g ) )  =  ran  g )
8910, 66, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F " ( F " ran  g ) )  =  ran  g )
9089inteqd 3883 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  |^| ( F " ( F " ran  g ) )  = 
|^| ran  g )
9187, 90eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( F `  U. ( F
" ran  g )
)  =  |^| ran  g )
9291, 89eleq12d 2364 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  (
( F `  U. ( F " ran  g
) )  e.  ( F " ( F
" ran  g )
)  <->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) )
9363, 92sylibd 205 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
)  ->  |^| ran  g  e.  ran  g ) )
9454, 93imim12d 68 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  (
( A. y  e. 
om  ( ( F  o.  g ) `  y )  C_  (
( F  o.  g
) `  suc  y )  ->  U. ( F " ran  g )  e.  ( F " ran  g
) )  ->  ( A. y  e.  om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) ) )
9530, 94sylcom 25 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )  ->  (
g  e.  ( ~P A  ^m  om )  ->  ( A. y  e. 
om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) ) )
9695ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y
)  C_  ( f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )  ->  A. g  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) )
97 isfin3-3 8010 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<-> 
A. g  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( g `  suc  y )  C_  (
g `  y )  ->  |^| ran  g  e. 
ran  g ) ) )
9896, 97syl5ibr 212 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. f  e.  ( ~P A  ^m  om )
( A. y  e. 
om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f )  ->  A  e. FinIII ) )
996, 98impbid2 195 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<-> 
A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. y  e.  om  ( f `  y )  C_  (
f `  suc  y )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|cint 3878    e. cmpt 4093   suc csuc 4410   omcom 4672   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788  FinIIIcfin3 7923
This theorem is referenced by:  isfin3-4  8024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rpss 6293  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-wdom 7289  df-card 7588  df-fin4 7929  df-fin3 7930
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