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Theorem isf34lem7 8261
Description: Lemma for isfin3-4 8264. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
Assertion
Ref Expression
isf34lem7  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  U. ran  G  e.  ran  G )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, F    y, G
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x)

Proof of Theorem isf34lem7
StepHypRef Expression
1 compss.a . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
21isf34lem2 8255 . . . . . 6  |-  ( A  e. FinIII  ->  F : ~P A
--> ~P A )
32adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  F : ~P A --> ~P A
)
433adant3 978 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  F : ~P A --> ~P A
)
5 ffn 5593 . . . 4  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  F  Fn  ~P A
)
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  F  Fn  ~P A
)
7 imassrn 5218 . . . 4  |-  ( F
" ran  G )  C_ 
ran  F
8 frn 5599 . . . . . 6  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  ran  F  C_  ~P A )
93, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  ran  F  C_  ~P A
)
1093adant3 978 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  ran  F  C_  ~P A
)
117, 10syl5ss 3361 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  -> 
( F " ran  G )  C_  ~P A
)
12 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  A  e. FinIII )
13 fco 5602 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ~P A --> ~P A  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F  o.  G
) : om --> ~P A
)
142, 13sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F  o.  G
) : om --> ~P A
)
15143adant3 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  -> 
( F  o.  G
) : om --> ~P A
)
16 sscon 3483 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  y ) 
C_  ( G `  suc  y )  ->  ( A  \  ( G `  suc  y ) )  C_  ( A  \  ( G `  y )
) )
17 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  G : om --> ~P A
)
18 peano2 4867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
19 fvco3 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : om --> ~P A  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  =  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )
2017, 18, 19syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  =  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )
21 simpll 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  A  e. FinIII )
22 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : om --> ~P A  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( G `  suc  y )  e.  ~P A )
2317, 18, 22syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  suc  y )  e.  ~P A )
2423elpwid 3810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  suc  y )  C_  A
)
251isf34lem1 8254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( G `  suc  y )  C_  A )  ->  ( F `  ( G `  suc  y ) )  =  ( A  \ 
( G `  suc  y ) ) )
2621, 24, 25syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  ( G `  suc  y
) )  =  ( A  \  ( G `
 suc  y )
) )
2720, 26eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  =  ( A  \  ( G `
 suc  y )
) )
28 fvco3 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : om --> ~P A  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  y )  =  ( F `  ( G `
 y ) ) )
2928adantll 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  y )  =  ( F `  ( G `
 y ) ) )
30 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : om --> ~P A  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  y )  e.  ~P A )
3130adantll 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  y )  e.  ~P A )
3231elpwid 3810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  y )  C_  A
)
331isf34lem1 8254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( G `  y )  C_  A
)  ->  ( F `  ( G `  y
) )  =  ( A  \  ( G `
 y ) ) )
3421, 32, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  =  ( A 
\  ( G `  y ) ) )
3529, 34eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  y )  =  ( A  \  ( G `
 y ) ) )
3627, 35sseq12d 3379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( F  o.  G ) `
 suc  y )  C_  ( ( F  o.  G ) `  y
)  <->  ( A  \ 
( G `  suc  y ) )  C_  ( A  \  ( G `  y )
) ) )
3716, 36syl5ibr 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( G `
 y )  C_  ( G `  suc  y
)  ->  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  C_  ( ( F  o.  G ) `  y
) ) )
3837ralimdva 2786 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( A. y  e. 
om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y )  ->  A. y  e.  om  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  C_  (
( F  o.  G
) `  y )
) )
39383impia 1151 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  A. y  e.  om  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  C_  (
( F  o.  G
) `  y )
)
40 fin33i 8251 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( F  o.  G ) : om --> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  C_  (
( F  o.  G
) `  y )
)  ->  |^| ran  ( F  o.  G )  e.  ran  ( F  o.  G ) )
4112, 15, 39, 40syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  |^| ran  ( F  o.  G )  e.  ran  ( F  o.  G
) )
42 rnco2 5379 . . . . 5  |-  ran  ( F  o.  G )  =  ( F " ran  G )
4342inteqi 4056 . . . 4  |-  |^| ran  ( F  o.  G
)  =  |^| ( F " ran  G )
4441, 43, 423eltr3g 2520 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  |^| ( F " ran  G )  e.  ( F
" ran  G )
)
45 fnfvima 5978 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  ( F " ran  G )  C_  ~P A  /\  |^| ( F " ran  G )  e.  ( F " ran  G
) )  ->  ( F `  |^| ( F
" ran  G )
)  e.  ( F
" ( F " ran  G ) ) )
466, 11, 44, 45syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  -> 
( F `  |^| ( F " ran  G
) )  e.  ( F " ( F
" ran  G )
) )
47 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  A  e. FinIII )
487, 9syl5ss 3361 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F " ran  G )  C_  ~P A
)
49 incom 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  i^i  ran  G )  =  ( ran  G  i^i  dom  F )
50 frn 5599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : om --> ~P A  ->  ran  G  C_  ~P A )
5150adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  ran  G  C_  ~P A
)
52 fdm 5597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  dom  F  =  ~P A )
533, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  dom  F  =  ~P A
)
5451, 53sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  ran  G  C_  dom  F )
55 df-ss 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
G  C_  dom  F  <->  ( ran  G  i^i  dom  F )  =  ran  G )
5654, 55sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( ran  G  i^i  dom 
F )  =  ran  G )
5749, 56syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( dom  F  i^i  ran 
G )  =  ran  G )
58 fdm 5597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : om --> ~P A  ->  dom  G  =  om )
5958adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  dom  G  =  om )
60 peano1 4866 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  om
61 ne0i 3636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
6260, 61mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  om  =/=  (/) )
6359, 62eqnetrd 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  dom  G  =/=  (/) )
64 dm0rn0 5088 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
G  =  (/)  <->  ran  G  =  (/) )
6564necon3bii 2635 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
G  =/=  (/)  <->  ran  G  =/=  (/) )
6663, 65sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  ran  G  =/=  (/) )
6757, 66eqnetrd 2621 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( dom  F  i^i  ran 
G )  =/=  (/) )
68 imadisj 5225 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ran  G
)  =  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ran  G )  =  (/) )
6968necon3bii 2635 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ran  G
)  =/=  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ran  G )  =/=  (/) )
7067, 69sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F " ran  G )  =/=  (/) )
711isf34lem5 8260 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( ( F " ran  G ) 
C_  ~P A  /\  ( F " ran  G )  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  |^| ( F " ran  G
) )  =  U. ( F " ( F
" ran  G )
) )
7247, 48, 70, 71syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F `  |^| ( F " ran  G
) )  =  U. ( F " ( F
" ran  G )
) )
731isf34lem3 8257 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ran  G  C_  ~P A )  ->  ( F " ( F " ran  G ) )  =  ran  G )
7447, 51, 73syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F " ( F " ran  G ) )  =  ran  G
)
7574unieqd 4028 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  U. ( F " ( F " ran  G ) )  =  U. ran  G )
7672, 75eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F `  |^| ( F " ran  G
) )  =  U. ran  G )
7776, 74eleq12d 2506 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( ( F `  |^| ( F " ran  G ) )  e.  ( F " ( F
" ran  G )
)  <->  U. ran  G  e. 
ran  G ) )
78773adant3 978 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  -> 
( ( F `  |^| ( F " ran  G ) )  e.  ( F " ( F
" ran  G )
)  <->  U. ran  G  e. 
ran  G ) )
7946, 78mpbid 203 1  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  U. ran  G  e.  ran  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   |^|cint 4052    e. cmpt 4268   suc csuc 4585   omcom 4847   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883    o. ccom 4884    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  FinIIIcfin3 8163
This theorem is referenced by:  isf34lem6  8262  fin34i  8263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-rpss 6524  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-wdom 7529  df-card 7828  df-fin4 8169  df-fin3 8170
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