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Theorem isf34lem7 8005
Description: Lemma for isfin3-4 8008. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
Assertion
Ref Expression
isf34lem7  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  U. ran  G  e.  ran  G )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, F    y, G
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x)

Proof of Theorem isf34lem7
StepHypRef Expression
1 compss.a . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ~P A  |->  ( A  \  x ) )
21isf34lem2 7999 . . . . . 6  |-  ( A  e. FinIII  ->  F : ~P A
--> ~P A )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  F : ~P A --> ~P A
)
433adant3 975 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  F : ~P A --> ~P A
)
5 ffn 5389 . . . 4  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  F  Fn  ~P A
)
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  F  Fn  ~P A
)
7 imassrn 5025 . . . 4  |-  ( F
" ran  G )  C_ 
ran  F
8 frn 5395 . . . . . 6  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  ran  F  C_  ~P A )
93, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  ran  F  C_  ~P A
)
1093adant3 975 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  ran  F  C_  ~P A
)
117, 10syl5ss 3190 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  -> 
( F " ran  G )  C_  ~P A
)
12 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  A  e. FinIII )
13 fco 5398 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ~P A --> ~P A  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F  o.  G
) : om --> ~P A
)
142, 13sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F  o.  G
) : om --> ~P A
)
15143adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  -> 
( F  o.  G
) : om --> ~P A
)
16 sscon 3310 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  y ) 
C_  ( G `  suc  y )  ->  ( A  \  ( G `  suc  y ) )  C_  ( A  \  ( G `  y )
) )
17 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  G : om --> ~P A
)
18 peano2 4676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
19 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : om --> ~P A  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  =  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )
2017, 18, 19syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  =  ( F `  ( G `
 suc  y )
) )
21 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  A  e. FinIII )
22 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : om --> ~P A  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( G `  suc  y )  e.  ~P A )
2317, 18, 22syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  suc  y )  e.  ~P A )
24 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  suc  y
)  e.  ~P A  ->  ( G `  suc  y )  C_  A
)
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  suc  y )  C_  A
)
261isf34lem1 7998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( G `  suc  y )  C_  A )  ->  ( F `  ( G `  suc  y ) )  =  ( A  \ 
( G `  suc  y ) ) )
2721, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  ( G `  suc  y
) )  =  ( A  \  ( G `
 suc  y )
) )
2820, 27eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  =  ( A  \  ( G `
 suc  y )
) )
29 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : om --> ~P A  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  y )  =  ( F `  ( G `
 y ) ) )
3029adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  y )  =  ( F `  ( G `
 y ) ) )
31 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : om --> ~P A  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  y )  e.  ~P A )
3231adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  y )  e.  ~P A )
33 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  y )  e.  ~P A  -> 
( G `  y
)  C_  A )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  y )  C_  A
)
351isf34lem1 7998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( G `  y )  C_  A
)  ->  ( F `  ( G `  y
) )  =  ( A  \  ( G `
 y ) ) )
3621, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  ( G `  y ) )  =  ( A 
\  ( G `  y ) ) )
3730, 36eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( F  o.  G ) `  y )  =  ( A  \  ( G `
 y ) ) )
3828, 37sseq12d 3207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( F  o.  G ) `
 suc  y )  C_  ( ( F  o.  G ) `  y
)  <->  ( A  \ 
( G `  suc  y ) )  C_  ( A  \  ( G `  y )
) ) )
3916, 38syl5ibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. FinIII  /\  G : om --> ~P A )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( G `
 y )  C_  ( G `  suc  y
)  ->  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  C_  ( ( F  o.  G ) `  y
) ) )
4039ralimdva 2621 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( A. y  e. 
om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y )  ->  A. y  e.  om  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  C_  (
( F  o.  G
) `  y )
) )
41403impia 1148 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  A. y  e.  om  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  C_  (
( F  o.  G
) `  y )
)
42 fin33i 7995 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( F  o.  G ) : om --> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( ( F  o.  G ) `  suc  y )  C_  (
( F  o.  G
) `  y )
)  ->  |^| ran  ( F  o.  G )  e.  ran  ( F  o.  G ) )
4312, 15, 41, 42syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  |^| ran  ( F  o.  G )  e.  ran  ( F  o.  G
) )
44 rnco2 5180 . . . . . 6  |-  ran  ( F  o.  G )  =  ( F " ran  G )
4544inteqi 3866 . . . . 5  |-  |^| ran  ( F  o.  G
)  =  |^| ( F " ran  G )
4645, 44eleq12i 2348 . . . 4  |-  ( |^| ran  ( F  o.  G
)  e.  ran  ( F  o.  G )  <->  |^| ( F " ran  G )  e.  ( F
" ran  G )
)
4743, 46sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  |^| ( F " ran  G )  e.  ( F
" ran  G )
)
48 fnfvima 5756 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  ( F " ran  G )  C_  ~P A  /\  |^| ( F " ran  G )  e.  ( F " ran  G
) )  ->  ( F `  |^| ( F
" ran  G )
)  e.  ( F
" ( F " ran  G ) ) )
496, 11, 47, 48syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  -> 
( F `  |^| ( F " ran  G
) )  e.  ( F " ( F
" ran  G )
) )
50 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  A  e. FinIII )
517, 9syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F " ran  G )  C_  ~P A
)
52 incom 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  i^i  ran  G )  =  ( ran  G  i^i  dom  F )
53 frn 5395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : om --> ~P A  ->  ran  G  C_  ~P A )
5453adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  ran  G  C_  ~P A
)
55 fdm 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ~P A --> ~P A  ->  dom  F  =  ~P A )
563, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  dom  F  =  ~P A
)
5754, 56sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  ran  G  C_  dom  F )
58 df-ss 3166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran 
G  C_  dom  F  <->  ( ran  G  i^i  dom  F )  =  ran  G )
5957, 58sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( ran  G  i^i  dom 
F )  =  ran  G )
6052, 59syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( dom  F  i^i  ran 
G )  =  ran  G )
61 fdm 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : om --> ~P A  ->  dom  G  =  om )
6261adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  dom  G  =  om )
63 peano1 4675 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  om
64 ne0i 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
6563, 64mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  om  =/=  (/) )
6662, 65eqnetrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  dom  G  =/=  (/) )
67 dm0rn0 4895 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
G  =  (/)  <->  ran  G  =  (/) )
6867necon3bii 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
G  =/=  (/)  <->  ran  G  =/=  (/) )
6966, 68sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  ran  G  =/=  (/) )
7060, 69eqnetrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( dom  F  i^i  ran 
G )  =/=  (/) )
71 imadisj 5032 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ran  G
)  =  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ran  G )  =  (/) )
7271necon3bii 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ran  G
)  =/=  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ran  G )  =/=  (/) )
7370, 72sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F " ran  G )  =/=  (/) )
741isf34lem5 8004 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( ( F " ran  G ) 
C_  ~P A  /\  ( F " ran  G )  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  |^| ( F " ran  G
) )  =  U. ( F " ( F
" ran  G )
) )
7550, 51, 73, 74syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F `  |^| ( F " ran  G
) )  =  U. ( F " ( F
" ran  G )
) )
761isf34lem3 8001 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ran  G  C_  ~P A )  ->  ( F " ( F " ran  G ) )  =  ran  G )
7750, 54, 76syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F " ( F " ran  G ) )  =  ran  G
)
7877unieqd 3838 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  ->  U. ( F " ( F " ran  G ) )  =  U. ran  G )
7975, 78eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( F `  |^| ( F " ran  G
) )  =  U. ran  G )
8079, 77eleq12d 2351 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A )  -> 
( ( F `  |^| ( F " ran  G ) )  e.  ( F " ( F
" ran  G )
)  <->  U. ran  G  e. 
ran  G ) )
81803adant3 975 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  -> 
( ( F `  |^| ( F " ran  G ) )  e.  ( F " ( F
" ran  G )
)  <->  U. ran  G  e. 
ran  G ) )
8249, 81mpbid 201 1  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  G : om
--> ~P A  /\  A. y  e.  om  ( G `  y )  C_  ( G `  suc  y ) )  ->  U. ran  G  e.  ran  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  FinIIIcfin3 7907
This theorem is referenced by:  isf34lem6  8006  fin34i  8007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-wdom 7273  df-card 7572  df-fin4 7913  df-fin3 7914
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